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类型运筹学之线性规划.ppt

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:4875584
  • 上传时间:2019-01-18
  • 格式:PPT
  • 页数:36
  • 大小:1.73MB
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    运筹学之线性规划.ppt
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    1、1,第二章 线性规划及单纯形法,线性规划问题的数学模型 图解法 模型的标准型及其解与基的概念 单纯形法 大M法和两阶段法,2,第二章 线性规划问题的数学模型,问题的提出例2-1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品,已知生产单位产品所需设备台时及A、B两种原材料的消耗如表所示。该工厂每生产一件产品I可获利2元,每生产一件产品II可获利3元,问应如何安排计划使该工厂获利最多?,3,解析:设 、 分别表示在计划期内产品I、II的产量。该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下,如何确定产量、以得到最大的利润。若用 表示利润,该问题可用数学模型表达如下:目标函数约束条件,4,例2-2 某农场有

    2、男劳力22人,女劳力10人,要求在一天内完成割麦任务30亩,且使除草的亩数最多。已知一个男劳力每天能割麦1.5亩,除草2亩;一个女劳力一天能割麦1.2亩,除草1.4亩。问如何安排现有劳力,既能完成割麦任务,又能使除草的亩数最多?,5,解析:设安排割麦的男女劳力分别为 、 ,安排除草的男女劳力分别为 、 ,在一定的劳力资源限制条件下,既要完成割麦任务,又要使除草越多越好。该问题的数学模型为:目标函数约束条件,6,线性规划(linear programming)数学模型的一般形式线性规划数学模型由三个要素构成:决策变量、目标函数和约束条件。,7,第二节 图解法,图解法求解步骤:1、建立平面直角坐标

    3、系 2、图示约束条件,找出可行域例2-3 用图解法求解线性规划 目标函数 约束条件,8,3、图示目标函数,寻求最优解 等值线最优解B(50,250) 最优目标值Z=27500,9,例2-4 某公司共需要可相互替代的A,B两种原料至少350吨,其中A原料至少购进125吨。加工每吨A原料需要2个小时,加工每吨B原料需要1小时,而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元,每吨B原料的价格为3万元,试问在满足生产需要的前提下,在公司加工能力的范围内,如何购买A,B两种原料,使得购进成本最低?,解:目标函数: Min f = 2x1 + 3 x2约束条件: s.t. x1 + x2 3

    4、50x1 1252 x1 + x2 600x1 , x2 0采用图解法。如下图:得Q点坐标(250,100)为最优解。,10,例2-4 图解法求解线性规划目标函数约束条件最优解Q(250,100)最优值Z=800 图2-3,11,例2-5 无穷多最优解,例2-6 无界解,12,例2-7 无可行解,线性规划解的结论:1.可行解区域都是“凸”区域。2.最优解在可行解区域的顶点或边界上达到。无界解有可行解 唯一解无穷多个解 3.解的结果无可行解,1,2,1,0,x,2,2,3,x1,13,第三节 线性规划的标准型及其解与基的概念,线性规划模型的标准形式,标准型的特点 1.决策变量非负 2.约束条件是

    5、等式 3.常数项非负 4.求目标函数的最小值,14,非标准型化为标准型1. 约束条件为“ ”时,加一个非负松弛变量;约束条件为“ ”时,减一个非负松弛变量。松弛变量在目标函数中的系数为零,不影响目标函数值。2. 约束条件右端项 为负数时,可在方程两端同乘以 。3. 目标函数为 时,可令 ,把目标函数改为 。4. 决策变量没有非负要求时,当 时,可引入新变量 ,令 ;当对 无约束要求时,可引入新变量 和 ,令 且 , 。,15,例2-8 把下面的线性规划模型变换为标准形式:解 (1)约束条件为不等式,引入松弛变量 和 ,且 , 原模型可变换为:,16,续解(2)第一个约束条件右端项为负数,将该方

    6、程两端同乘以 ;(3)该问题的目标函数是要求 ,令 ; (4)对于 ,引入新变量 ,令 ;(5)对于 无约束,引入新变量 和 ,令 则上述模型可变换为:即为原问题的标准型,17,线性规划模型的解与基线性规划模型向量形式: 线性规划模型矩阵形式:式中,18,1. 可行解、最优解 。 满足 , 的解,称为可行解。全部可行解的集合称为可行域。使目标函数达到最优值的可行解,称为最优解。2. 基、典则基。对于 , ,设 的秩为 ,由 的 个列向量构成 阶方阵 ,若 ,则 为一个基,或称为一个基矩阵。若 为单位矩阵,则称为典则基。3. 基变量、非基变量。若变量 对应的列向量 包含在基 中,则称其为基变量;

    7、否则称其为非基变量。4. 基解、基可行解、基最优解。当一个基 确定后,令非基变量等于零,再由方程组 解得基变量的唯一解。于是可得方程组的一个解,称为对应于基 的基解。 若基解满足 称为基可行解。 使目标函数达到最优值的基可行解,称为基最优解。,19,第四节 单纯性法,单纯形法原理 例2-9 以例2-1为例。首先引入松弛变量 ,化为标准形式,解析:系数矩阵,20,第一步:寻找初始基可行解。典则基:基变量 被非基变量 表达令非基变量 ,得到初始基可行解,同时得到目标函数值,21,第二步:检验所得解用非基变量表示目标函数,由 可见目标函数可以进一步减少第三步:确定换入变量(最小负系数原则)和换出变量

    8、(最小正比值原则) 选择负系数最小的那个非基变量 为换入变量 。 仍为非基变量 。令 ,决定 的最大取值和换出变量的取值由第三约束式决定,相应的 为换出变量,22,第四步:求以 为基变量的一个基可行解用 表达 :用矩阵表达就是: 初等变换 令非基变量 ,得到一个基可行解,同时得到目标函数,23,第五步:检验。若所有 ,则基可行解为最优解,否则转向第三步。续:用非基变量表示目标函数:确定 为换入变量,令 ,由取 为换出变量。,24,用非基变量 表达基变量 和目标函数,25,由 , 决定 换出, 换入令 ,得到基可行解和目标函数及其值:即为最优解和最优值。,26,单纯形法的计算步骤,27,28,第

    9、五节 大 法和两阶段法,大 法解:化为标准型例2-10 求解线性规划问题最优解和最优值:,29,引入人工变量 ,在目标函数中的系数为任意大正 得到初始基可行解:因为人工变量是虚拟变量,要求将它们从基变量中逐个替换出来。若经过基的变换,基变量中不再含有非零的人工变量,这表示原问题有解。若当所有检验数 ,而在基变量中还有非零人工变量,这表示无可行解。,30,1-,31,32,两阶段法例2-11 求解线性规划问题(原题见例2-10) 第一阶段:加入人工变量 ,构造仅含人工变量的目标函数并最小化。用单纯形法求得第一阶段问题的最优解中,所有人工变量恰好都为零,即 ,那么,去掉人工变量后即可得到原问题的初

    10、始基本可行解,可以进入第二阶段计算。否则原问题无可行解,应停止计算。,33,34,求得的结果是 , ,得到原问题的基可行解是:第二阶段:将第一阶段的最终表中的人工变量列取消,并将目标函数行的系数,换为原问题的目标函数系数,进行第二阶段计算。,35,求得最优解为 ,目标函数值,36,解的判定1、当非基变量的检验数大于零时,有唯一解。 2、当检验数为非负时,人工变量不为零,则无可行解。 3、当某小于零的检验数对应的列的系数都小于或等于零时,则该规划问题有无界解。 4、当取得最有解时,如果存在非基变量的检验数等于零,则有无穷多个解。 5、在确定换入变量,如果求出两个最小比值,会出现迪代循环,称为退化情况。,

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