1、第四章 留数定理及其应用,本章主要内容：,1. 留数的定义 2. 留数定理、留数的计算 3. 利用留数定理计算围线积分 4. 利用留数定理计算实积分,4.1 留数定理,一. 留数的定义,设z0为 f (z)的孤立奇点， f (z) 在 z0 的去心邻域内有洛朗展式 :,称 为 f (z)在 z0点的留数，记作 Res f (z0).,即，留数是 (孤立奇点洛朗级数的) 负一次幂的系数.,Q: 为什么强调 z0 孤立奇点？ e.g.,f (z) 在 解析, 则沿 对f (z)积分，有,Tips：由复连通区域的柯西积分定理知，留数的值与圆 c 的半径 无关.,证明: 对复变函数 f (z) 积分：
2、,二. 留数定理,得证！,定理4.1 (多个奇点的留数定理) 设 f (z)在曲线c所围闭域 上除了 D 内的有限个奇点 外均解析，则,证明：分别以 zk 为中心作小圆周 ck .,定理得证.,(复连通区域柯西积分定理),(单奇点留数定理),由留数定理泰勒展开，可反推出,柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形., 解析函数的无穷可导公式：, 解析函数的柯西积分公式：,如何证明？,1.极点处的留数的计算,公式 I 若z0是 f (z)的 m 阶极点，则,从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.,三.留数的计算,b.利用留数定理+解析函数求导公式,特别的，若z0是 f (z)
3、的单极点，则,公式 II 若 , 其中 P(z) 和 Q(z) 均在z0点 解析，且 ，则,证明：由公式 I,如何判断极点 z = z0 的阶数？,例4.1 求,例4.2 求,例4.3 求,例：z0是函数f (z) 的m阶极点，是g(z) 的n 阶零点 (m n)，判断z0极点/零点阶数：,留数：负一次幂的系数.,2.直接应用留数的定义.,例4.4 求,例4.5 求,适用于所有的孤立奇点类型; 特别是本性奇点或性质不明的奇点.,2.另一个定义:在无穷远点的去心邻域 , 若 f (z) 的洛朗展式为：,1.定义: 设 是 f (z)的孤立奇点, 在圆周 的外部没有其他奇点. 无穷远点的留数值的定
4、义为：,四.无穷远点处的留数,则无穷远点的留数值为：,Tip1:无穷远点去心邻域 , 也是以 为中心的环域. 但该区域与 的展开式并不相同.,Tip2: 与有限远奇点不同，即使无穷远点是 f (z)的可去奇点， 仍可能不等于0.,即，无穷远点的留数值 f (z) 在环域 的洛朗展开式的负一次幂的系数 乘以(1),例：,回顾:无穷远点 奇点类型的判定?,证明：沿 逐项积分, 并由例2.2, 得：,例: , 则 ？,定理4.2 如果 f (z)在扩充复平面上只有有限个奇点，则 f (z)在所有奇点(包括无穷远点在内)的留数之和为零.,如何证明？,例4.6 ，求,例：若 f (z)= tan z，是
5、否能求出Res f () ?,Tips：注意非孤立奇点的情况！,例4.7 计算积分,例4.8 计算积分,五. 利用留数定理计算复积分,例4.* 计算积分,类型 I , 其中 是 的有理函数, 且在 上连续.,4.2 应用留数定理计算定积分,一. 类型积分的计算,解：令 , 则积分线段 变成单位 圆周： , 并且：,例4.9 计算,例4.10 计算,将实积分化为复积分, 进而可应用留数定理计算.,代入，得：,二. 类型积分的计算,思路: 添加曲线C1 (如图所示)，构成围线C， 将实积分转化为复积分.,上式的左边可由留数定理求出. 因此需要先计算出,例如，为计算 , 由区间R, R 和 半圆CR
6、构成围线C ，则,因此问题归结于求出,对 R 取极限, 则围线 C 包含上半平面所有奇点. 而，,引理4.1 设CR为半圆周： f (z)在CR连续, 且 则：,证明： 设 M 是 | z f (z)| 在CR上的最大值，则,因此：,因此， 成立.,意味着对 ，在上半平面内，,只要 | z | 足够大，就有 . 即上半平面内， 时， z f (z) 关于幅角一致趋于0.,类型II 设积分 存在，复变函数 f (z) 在 实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点，且,表示对 f (z)在上半平面内的所有奇点的留数求和.,(*),证明：,(引理4.1),(留数定理),则,特别的, 若 ，其中 多
7、项式 P(x) 和 Q(x) 没有公因式, Q(x) 无实零点, Q(x) 的次数比 P(x) 至少高两次，则以下公式成立：,例4.11 求,引理4.2 (若尔当引理) 设 区域 D为 ，CR为 圆周 | z | = R 位于 D 中的一段. f (z)在CR上连续， 并且,证明： 设 M 是 | f (z)| 在CR上的最大值，则,则有：,当 时，,对 ，设 ，则,因此,若尔当引理成立！,特别的, 如右图所示.,类型III 设积分 存在， f (z) 在实轴上没有奇点，在上半平面内只有有限个奇点，且 则:,证明：,(若尔当引理),(留数定理),例4.12 计算拉普拉斯积分,因此,习题4.1 1（8）求奇点的留数,2阶零点,为 的2阶极点,解：,法二：,不存在！,习题4.2 （1）,其中：,由,得奇点：,由 得奇点：,习题4.2 （10）,解：由类型II公式：,又，,习题4.2 （11）,O,x,y,-1,1,
