1、图是最直观的模型,第六章 图与网络规划,第六章 图与网络规划,6.1 图的基本概念6.1.1 图论导引图论的研究最早可以追溯到著名的七桥问题。18世纪欧洲的哥尼斯堡有一条流经全城的普雷格尔河，河的两岸和河中两个小岛有七座桥彼此相连如图。当时人们讨论，从陆地A、B、C、D中的任一个地方开始，能否通过每一座桥一次且仅通过一次就能返回原地。,瑞士数学家Euler将这个问题抽象化，用含有四个点，七个边的图表示。探讨从图的任一点出发，是否能一笔画出右图，Euler发表了一篇关于图的论文，证明七桥问题不能一笔画出，结束了人们当时的争论，Euler被认为是图论的奠基人。1840年，莫别斯提出了著名的四色问题
2、。1859年提出了Hamilton回路问题。1936年，哥尼格发表了第一本图论专著。目前图论与计算机科学、系统论、控制论等密切结合，在工程技术、生物化学、系统工程、通讯科学等领域得到了广泛的应用。,第六章 图与网络规划,图论的方法同样可以应用到经济管理、辅助决策等领域，图论已成为运筹学的一个重要组成部分，它是建立和处理离散型数学模型的一个重要工具。,第六章 图与网络规划,第六章 图与网络规划,6.1 图与网路的基本概念,6.1.1图与网络图 节点 (Vertex) 物理实体、事物、概念 一般用 vi 表示 边 (Edge) 节点间的连线，表示有关系 一般用 eij 表示 图 (Graph) 节
3、点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V=v1,v2, vn 边集E=eij ,网络图 (Network) 边上具有表示连接强度的权值，如 wij 又称加权图(Weighted graph),第六章 图与网络规划,6.1.2 无向图与有向图,边都没有方向的图称为无向图，如图6.1 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 图中既有边又有弧，称为混合图,第六章 图与网络规划,6.1.3 端点，关联边，相邻，次,图中可
4、以只有点，而没有边；而有边必有点 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点(end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同端点的边称为相邻边 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的“次”(degree)，记为 d (vi)；次数为奇数的点称为奇点(od
5、d),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的图称为偶图(even graph),第六章 图与网络规划,有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的点称为悬挂点(pendant vertex) 定理 1：图中奇点的个数总是偶数 6.1.4 链，圈，路径，回路，欧拉回路 相邻节点的序列 v1 ,v2 , vn 构成一条链(link)，又称为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在有向
6、图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径(directed path) 首尾相连的路径称为回路(circuit)；,第六章 图与网络规划,走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回路，若图G上含有一个欧拉回路，则这个图称为欧拉图，简称E图。 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理)。 6.1.4 连通图，子图，成分 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected gr
7、aph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图 平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交 6.1.5 中国邮路问题中国邮路问题：一个邮递员负责街道的邮件投递工作，每次从邮局出发走遍他负责的所有街道再回到邮局。那么他应该怎样安排投递线路使所走的总路程最短？,该问题可以归结为：如果一个连通图G=，它的每条边e都有一个长度W(e)。对于这个加权连通图，要求至少通过一次的闭回路P，使总权 最小。如图所示，假定每条街道长一公里，其中v1是邮局。,第六章 图与网络规划,用奇偶点图上作业法求解中国邮路问题的基本
8、步骤： 1.找出图上所有的奇点，两两配对，每对奇点间加上重复边。 2.如果每个边上的重复遍多于一条，去掉偶数个重复边。 3.检查，如果一个回路重复边之和小于总长的一半，得最优方案。否则去掉盖全所有重复边，在原来没有重复的边上加上重复边，转2。,第六章 图与网络规划,6.2 树图与最小生成树,一般研究无向图 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类学、组织结构等都是典型的树图,第六章 图与网络规划,6.2.1 树的定义及其性质,任两点之间有且只有一条路径的图称为树(tree)，记为T 树的性质： 最少边的连通子图，树中必不存在回路
9、 任何树必存在次数为 1 的点 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有n 个节点， n1 条边的连通图必是一棵树 6.2.2 图的生成树 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部分指定节点的树称为 steiner tree 每个节点有唯一标号的图称为标记图，标记图的生成树称为标记树(labeled tree) Caylay 定理：n (2)个节点，有nn2个不同的标记树,第六章 图与网络规划,如何找到一棵生成树 深探法(depth first search)：任选一点标记为 0 点开始搜
10、索，选一条未标记的边走到下一点，该点标记为 1，将走过的边标记；假设已标记到 i 点，总是从最新标记的点向下搜索，若从 i 点无法向下标记，即与 i 点相关联的边都已标记或相邻节点都已标记，则退回到 i 1 点继续搜索，直到所有点都被标记 广探法(breadth first search)：是一种有层级结构的搜索，一般得到的是树形图,第六章 图与网络规划,6.2.3 最小生成树,有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的，如何敷设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度最短 显然，这要求在已知边长度的网路图中找最小生成树 最小生成树的算法： Kruskal 算法：将图中所有边按权值从小到大排列，依次选所
11、剩最小的边加入边集 T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树 Kruskal 算法基于下述定理 定理 3 指定图中任一点vi，如果 vj 是距 vi 最近的相邻节点，则关联边 eij 必在某个最小生成树中。 推论 将网路中的节点划分为两个不相交的集合V1和V2，V2=VV1，则V1和V2间权值最小的边必定在某个最小生成树中。,第六章 图与网络规划,最小生成树不一定唯一 定理 3 推论是一个构造性定理，它指示了找最小生成树的有效算法 Prim 算法：不需要对边权排序，即可以直接在网路图上操作，也可以在边权矩阵上操作，后者适合计算机运算边权矩阵上的 Prim 算法： 1、根据网路写出边权矩阵，两点间若没有边，则用表示； 2、从 v1 开始标记，在第一行打 ，划去第一列； 3、从所有打 的行中找出尚未划掉的最小元素，对该元素画圈，划掉该元素所在列，与该列数对应的行打 ； 4、若所有列都划掉，则已找到最小生成树(所有画圈元素所对应的边)；否则，返回第 3 步。 该算法中，打 行对应的节点在 V1中，未划去的列在 V2中,第六章 图与网络规划,
