1、第四章 扭转,4.5 圆杆在扭转时的变形、刚度计算,4.1 概述,4.2 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图,4.3 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件,4.6 简单静不定轴,4.4 圆杆在扭转时的强度条件,4.1 扭转的概念,一、扭转的概念及实例,汽车的转向操纵杆,电动机传动轴扭转,工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。,机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。,二、扭转受力计算简图,4-2 传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图,一、 传动轴的外力偶矩的计算,图示的传动机构，通常外力偶矩m
2、不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P 和转速n计算得到的。,一传动轴，转速为 n转/min ，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为 P千瓦（KW)，则作用在该轮上的外力偶矩 m 可按以下方法求得。,若功率 P 采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为,轴在m作用下匀速转过角度，则功：,1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS,m,n,m,n,A,(a),二、扭矩 扭矩图,T,右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。,扭矩符号规定：,
3、用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。,2 扭矩图,图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。, 例题,解：分2段研究,AB段：,T1+mA=0,T1=-4kNm,BC段：,-T2+mC=0,T2=6kNm,6kNm,4kNm,T,T1=-4kNm,T2=6kNm,一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA400kW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120kW，ND160kW。试画出此圆
4、轴的扭距图。, 例题,n300转分，NA400kW，NBNC120kW，ND160kW。,3.82kNm,7.64kNm,5.10kNm,解:1.计算外力偶矩,2. 计算各段扭矩、画扭矩图,T,最大扭矩在 CA段内。,me,me,4-3 圆轴扭转横截面上的应力,一、扭转实验,1.实验前：,在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线,施加外力偶,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。,平面假定,me,me,变形几何,平面假定,平面假设成立,相邻截面绕轴线作相对转动,横截面上没有正应力，只有剪应力, 各点的剪（切）应力
5、的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。,结论,二、横截面上的应力,1. 变形几何关系：, 扭转角沿长度方向变化率。,剪切虎克定律：,2. 物理关系：,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,T,虎克定律：,剪应力方向垂直于半径,3. 静力学关系：,令,截面的极惯性矩,圆轴扭转任一点剪应力计算公式。,公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,抗扭截面系数,三、最大切应力公式,D,d,O,O,d,应力分布,T,t,ma
6、x,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,应力公式,1)横截面上任意点：,2)横截面边缘点：,其中：,四、 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,平面假设成立,相邻截面绕轴线作相对转动,横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切(垂直于半径)。,扭转实验后,结论,于是由静力关系，得到,得到,在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.51
7、2, 例题,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。, 思考题,解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者
8、交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）,一、扭转失效预扭转极限应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,4-4 圆轴扭转强度条件预合理设计应力,二、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5m
9、m，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求。, 例题,故轴的强度满足要求。,同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,由上式解出：d=46.9mm。,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：,功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x, 例题,已知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 求: 实心轴
10、的直径d1和空心轴的外径D2。, 例题,一传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功率为有 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW及P4 = 200 kW。试做轴力图。,(a),A,B,C,D,P1,P2,P3,P4,n, 例题,解:1.计算外力偶矩,（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm， (1) 试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。 (2) 若已知=40MPa，试校核轴的强度。,解：内力分析,由扭矩图得知T2=9.56kN.m,危险横截面在AC段， Tmax=9.56
11、kN.m,应力计算, 例题, 强度计算,若AD轮互换位置，试校核轴的强度。,解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示:,强度不符合要求。,Tmax=15.9 kN.m, 例题,若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。,解：,由,得,d=0.9D=141mm, 例题,因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计,薄壁圆筒设计,设平均半径 R0=(d+)/2,空心圆轴设计,当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒,一内径d=100mm的空心圆轴如图，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa
12、，试确定空心圆轴的壁厚。, 例题,圆柱形密圈螺旋弹簧的计算,1. 应力的计算,=,+,t,Q,t,T,Q,T,近似值：,P,Q,T,2. 弹簧丝的强度条件:,精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）,其中：,称为弹簧指数。,称为曲度系数。,圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？,解：最大剪应力的近似值：, 例题,最大剪应力的精确值：,弹簧圈数：,（圈）,一、扭转时的变形,相对扭转角：,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变
13、形能力的强弱。,4-5圆轴扭转变形 刚度条件,单位长度的扭转角：,或,图 所示等直圆杆，AB 两截面的相对扭转角为：,图所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB 两截面的相对扭转角为：,从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,式中：,二、刚度条件,取值可根据有关设计标淮或规范确定。,或, 称为许用单位扭转角。,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,下列框图表示了求解过程：,图示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm， M22.3KNm
14、， M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。,0.8kNm,1.5kNm, 例题,图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19kNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。, 例题,M19kNm，M24kNm，M33.5kNm，M41.5kNm。d/D1/2，G80GPa，60MPa。,5kN,1.5kN,4kN,已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=5
15、0mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。, 例题,D=60mm，内径d=50mm，P=7.35kW，n=180r/min，L=40m，G=80GPa，=40MPa。,单位长度阻力矩,图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0
16、105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。,解： 1扭转变形分析,利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm,设其扭转角分别为AB和BC，则：, 例题,各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。,由此得轴AC的总扭转角为,2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：,可见，该轴的扭转刚度符合要求。,某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =
17、1/m ，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm), 例题,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),综上：,全轴选同一直径时, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,解: (1) 计算力偶距,(2)根据强度条件计算直径 从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。, 例题,若上题规定,且
18、已知,按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。,解：, 例题,长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径, 例题,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。, 由扭转刚度条件校核刚度,40Nm,x,T,右端面转角为：,一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时
19、无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。, 例题,因两杆扭转变形时无相对转动,三、 提高圆轴扭转强度和刚度的措施,为了使 与 下降，有两条途径。,使Tmax降低。(通过调整主动轮的位置),提高Wt 和 IP。,(b)采用空心轴。,(a)加大直径；,若d2d，则 Wt 8Wt IP 16IP,4-6 扭转超静定问题,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,长为L的等截面圆轴AB，两端固定；外力偶M0作用于C处使轴
20、发生扭转变形，已知轴的抗扭刚度GIP，试求轴在C截面处的扭转角。,解：取AB为研究对象,1) 静力平衡方程,Mx=0:,MA+MB-M0=0 ,2) 变形协调方程,C,C, 例题,3) 物理关系方程,联解方程与，得补充方程：,MA a=MB b ,联解方程与 ，得：,C,长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：, 例题,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可
21、由对称性直接求得结果。,4-7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。,一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。横截面上无正应力,二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。横截面上有正应力，但很小。,自由扭转时，主要结果如下：,(1) 横截面周边各点处剪应力方向与周边相切，角点处剪应力为零。,(2) 剪应力在截面上非线性分布。,(3) 最大剪应力发生在矩形长边中点处。,三、矩形截面杆的扭转
22、,剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点）,2. 最大剪应力及单位扭转角,其中：,其中：It相当极惯性矩。,注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：,查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。,矩形截面轴扭转时切应力的分布特点,角点切应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,最大切应力 发生在 长边中点,分别计算两种截面杆最大切应力,圆杆：,矩形杆：,查表：0.801,分别计算两杆截面面积,圆杆：,矩形杆：,矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。,一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作
23、用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。,一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。,二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚度中点处，应力为零。,4-8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力,三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同一厚度处，应力均匀分布。,四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c）图上取单元体如图（d）。,图（c）,下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm，b=75mm，厚度t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆的最大剪应力。,解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：,b,a,t, 例题,轴力FN,扭矩T,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,截点或截面的线位移,截面的角位移,
