1、第 四 章 扭 转I 圆轴扭转时的应力和强度计算一、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩( T)的计算KNm (7-1)nPp02.7Pp 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min）KNm (7-2)TkW5.9PkW 指轴所传递的功率（千瓦、 Kw） n 指轴的转速（转/分、r/min）2、扭矩（ Mn）的确定及其符号规定（1） Mn 的确定 截面法图 4-30xMAnT左 AnT左x0Bn右 Bn右（2） Mn 的符号规定 右手螺旋法则图 4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。作法：轴线（基线）x 横截面的位置纵坐标 Mn 的值正、负 正值画
2、在基线上侧，负值画在基线下侧。例题 7-1 一传动轴作每分钟 200 转的匀速转动，轴上装有 5 个轮子（7-2,a） 。主动轮 2 输入的功率为 60kW,从动轮 1，3，4，5 依次输出的功率为 18kW,12kW,22kW 和 8kW。试作出该轴的扭矩图。图 4-5解：（1）代入公式 7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。（2）作扭矩图，见图 4-5，b一、 圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1） 的分布规律(a) (b) 图 4-6（2） 的方向由 Mn 确定， 与 M n 同向（见图 4-6，a） 注意 半径（3） 的计算(7-3)pnI式中 Mn- 横截面上的扭矩； -指截
3、面上所求应力的点到截面圆心的距离; Ip-指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为 。324DIp（4） 计算公式的讨论：对于某一根受扭的圆轴而言， 一定发生在 所在段；maxmaxnM在确定的截面上， 一定发生在 处（周边上） ；max Ip 的意义从 的计算公式讨论 Ip ： Ip 愈大， 愈小；从应力分布状况讨 Ip ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。2、空心圆轴（1） 的分布规律（2） 的计算图 4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同空心圆轴的 Ip 空 计算441.01324 D
4、Ip空式中的 d（3） 的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。3、薄壁圆筒（1） 界限及误差当 时，可用薄壁圆筒公式计算 ，用空心、薄壁计算9.0Dd公式之误差仅为 3%左右。（2） 的分布规律 图 4-8（3） 的计算（r 0 见图 4-8） （7-4） tMn20三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上： 发生在周边各点，=0max圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。在任意一点取一微小的正六面体 abcdefgh:图 4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面 mn 上的应力：设斜截面 mn 的面积为 dA,则 mb 面和 bn 面的
5、面积：cosdAmbinn选取参考轴 、写出平衡方程：0nF 0cos)in(si)co( dAdA利用 ，整理上两式，得：(a) 2sin(b)co据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b) 式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于 。)0(2cos180 )90(2cos2709（2）由（ a）式知： )45(2sin0450 )1(13130即：图 4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。（低碳钢）（ 铸铁 ）图 4-11四、圆轴扭转时强度条件（7-5 ）-等直圆轴受扭时的强度条件pnWMmaxa
6、x对于实心圆截面 332.016dp对于空心圆截面 )1(.)(4343Dp空而 ：（1）可通过扭转试验测定：S-塑性材料b-脆性材料（2） 6.05）（ 例题 4-2 已知：主传动轴 AB 由 45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,壁厚 t=2.5mm,=60MPa,工作时承受 Mnmax=1.5KNm试：校核该轴的强度。图 4-12解： 945.02Dtd1、 按薄壁圆管公式计算 ： MPa501.20)25.9(12 360trMn2、 按空心圆轴公式计算 ： 34343 m1029)5.01(69)1(6DWp空 MPa7.025.93max空pnM校核结果：强度足够。两种计算方法
7、的误差比较： %4.31057.例题 4-3 若将 AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即 ） ，MPa7.51试确定实心轴的直径 D1=？并比较空心轴和实心轴的重量。解： 53m0.605.7.51316max WMpn两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比则： （用料）2.385904221dDA空 心实 心（重量）1.3221实 心空 心小结：在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的 31%；截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力
8、将大为降低。图 4-13、圆轴扭转时的变形计算1、扭转角与剪切角的概念图 4-14。AB2、圆轴扭转时的变形计算扭转角的计算（7-6）pnGIlM（7-7）180pnIl单位长度扭转角的计算（7-8）pnGIMlrad（弧度） （度） Rad/m（7-9 ）180pnGIMl3、扭转时刚度条件（7-10 ）pnImaxax（7-11）180axaxpnGIM例题 4-4 某轴 AB 段是空心轴，内外径之比 ；BC 段是8.0Dd实心轴（其倒角过度忽略不计） ，承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的=80MPa、=1 、G=80GPa, 试设计 D 和 d 应m等于多少？图 4-15解：1、
9、作扭矩图/mRad/m/m2、根据强度条件设计 D、dAB 段： MPa80)1(643max DWMnp空 m6.4908).(34BC 段： MPa8016743maxdWnp实 36.5m0.87436d3、根据刚度条件设计 D、dAB 段： m180)1(320846149 DGIMnp空 6.0.).1(032449 DBC 段： m18空pGIMn0321807649d48.6m0.1849 4 结论：D=61.1mm 刚度条件确定。d=48.1mm 刚度条件确定。 扭转超静定例题 4-5 圆轴受力如图 4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, =50MPa、 =2.5
10、、G= ,试对此轴进行强度和刚度校核。mPa1089图 4-16解：截面的几何性质计算：AC 段： 4884844 105.710325.103232 mdDIP 空CE 段： 488449.7mIP 实求约束反力:解除 A 端约束，建立变形协调条件：图 4-17，即：0EA 01250143015301414 2222 实实空实空 PPPPAP GIIGIITGIT将 G、 、 代入上式运算，得 空 实 MNAT再由静力平衡方程解出 25E强度校核BC 段： 364343 m1097.)5.1(6)0.()1(6D空pWMPaPa9.097.4286max空pnMDE 段： 363310.5
11、1).(D实p PaPa.4703.5286max实pnW刚度校核BC 段： mGIMPn 38.21045.7108289max 空DE 段： IPn 789ax 实均 2. 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别（a） (b)图 4-18圆截面杆受扭：平面假定非圆截面受扭：截面翘曲图 a 所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图 b） 。说明：原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。二、非圆截面杆扭转的两种情况1、自由扭转等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转
12、。因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。2、约束扭转由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形1、矩形截面杆（1）截面上剪应力的分布规律图 4-19最大剪应力发生在截面长边的中点处pnWMht2maxp-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数 max（短边中点）-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数式中： 、 可按截面尺寸比值从教材提供的表格中查取。截面周边各点处的剪应力方向一定与周围平行（
13、相切） 。截面凸角点处的剪应力一定为零。（2）单位长度扭转角 的计算式pnnGIMht23Ip-与截面尺寸比值（h/t）的有关系数2、狭长矩形截面杆当矩形截面的 h/t10 时，称为狭长矩形。（1）截面上的应力分布规律最大剪应力发生在截面长边除靠近顶点外的各点。pnWMht2max3231htp长边上除靠近顶点以外均相等长边各点处的剪应力方向均与长边相切。截面凸角点的剪应力为零。图 4-20（2）单位长度扭转角 的计算式pnGIMht2331htp例题 4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面 I-I 上的 可近似地按矩形截面杆受扭计算。若 t=23mm,h=102mm,Mn=26.3mm,求该截面上的 max=?截面 I-I图 4-21解：由截面 I-I 的尺寸求得 43.th查教材 P159 表，并利用插入法，求出.286则 MPa7.123086.2max 。htMn例题 4-7 试求由薄板卷成的薄壁圆管的应力和扭角。圆管用两种不同的制作方法；1）开口圆管； 2）焊接封闭圆管。请比较两种截面的应力和扭角。图 4-22解： tDtDMttAttthItnnmn nnnpn 23242 口313 121 闭 2213222 3331 4)4(4 口1 tDtGMtDtGASMttht nnmn nnn 闭注 S截面中线长度若 D=30cm,t=1cm,则 1=452 , 1=6752
