1、第 四 章 扭 转同济大学航空航天与力学学院 顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭 转 的概念；(2)熟练 掌握扭 转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切 应 力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。2、教学内容(1) 扭 转的概念和工程实例；(2) 扭 转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切 应力互等定理 , 剪切胡克定律;(4)
2、扭 转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭 转杆件 变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴 受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）（6）。2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时6 学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：
3、图 4-1*扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的 这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。I 圆轴 扭转时的应力和强度计算一、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩(T) 的计算KNm (7-1)nPp02.7Pp指轴 所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）KNm (7-2)TkW5
4、.9PkW指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n）的确定及其符号规定（1）Mn的确定 截面法图 4-30xMAnT左 AnT左x0Bn右 Bn右（2）Mn的符号规定 右手螺旋法则图 4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。作法：轴线（基线）x 横截面的位置纵坐标 Mn的值正、负 正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。例题 7-1 一传动轴作每分钟 200 转的匀速转动，轴上装有 5 个轮子（7-2,a）。主 动轮 2 输入的功率为 60kW,从动轮 1，3，4，5 依次输出的功率为 18kW,12kW,22kW 和 8
5、kW。试作出该轴的扭矩图。图 4-5解：（1）代入公式 7-2，将计算所得的外力偶矩 值标上各轮上。（2）作扭矩图，见图 4-5，b、 圆轴扭转时横截面上的应力1、实心圆轴（1） 的分布规律(a) (b) 图 4-6（2） 的方向由 Mn确定， 与 M n同向（见图 4-6，a） 注意 半径（3） 的计算(7-3)pnIM式中 Mn- 横截面上的扭矩； -指截面上所求应力的点到截面圆心的距离 ; Ip-指 实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为 。324DIp（4） 计算公式的讨论：对于某一根受扭的圆轴而言， 一定发生在 所在段；maxmaxnM在确定的截面上， 一定发生在 处（周边上）；m
6、axIp的意义从 的计算公式讨论 Ip ：Ip愈大， 愈小；从应力分布状况讨 Ip ：靠近圆心的材料，承受 较小的应力。设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，达到充分利用材料、减轻自重的目的。2、空心圆轴（1） 的分布规律（2） 的计算图 4-7计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同空心圆轴的 Ip 空 计算441.01324 DIp空式中的 Dd（3） 的方向仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。3、薄壁圆筒1 界限及误差当 时，可用薄壁圆筒公式计算 ，用空心、薄壁计算公9.0Dd式之误差仅为 3%左右。2 的分布规律 图 4-8（3） 的计算（r0见图 4-8） （7-
7、4） tMn20三、圆轴扭转时斜截面上的应力横截面上： 发生在周边各点，=0max圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。在任意一点取一微小的正六面体 abcdefgh:图 4-9分析垂直于前后两个面的任一斜截面 mn 上的应力：设斜截面 mn 的面积为 dA,则 mb 面和 bn 面的面积：cosdAmbinn选取参考轴 、写出平衡方程：0nF 0cos)in(si)co( dAdA利用 ，整理上两式，得：(a) 2sin(b)co据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：（1）由(b
8、) 式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于 。)0(2cos180 )90(2cos2709（2）由（a）式知： )45(2sin0450 )1(13130即：图 4-11这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。（低碳钢）（ 铸铁 ）图 4-11四、圆轴扭转时强度条件（7-5）-等直圆轴受扭时的强度条件pnWMmaxax对于实心圆截面 332.016dp对于空心圆截面 )1(.)(4343Dp空而 ：（1）可通过扭转试验测定：S-塑性材料b-脆性材料（2）6.05）（ 例题 4-2 已知：主传动轴 AB 由 45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,壁厚 t=2.5mm
9、,=60MPa,工作时承受 Mnmax=1.5KNm试：校核该轴的强度。图 4-12解： 945.02Dtd1 按薄壁圆管公式计算 ： MPa501.20)25.9(12 360trMn2 按空心圆轴公式计算 ： 34343 m1029)5.01(69)1(6DWp空 MPa7.025.93max空pnM校核结果：强度足够。两种计算方法的误差比较： %4.31057.例题 4-3 若将 AB 轴改为实心轴， 应力条件相同（即 ），试MPa7.51确定实心轴的直径 D1=？并比较空心轴和实 心轴的重量。解： 53m0.1605.7.5136max DWMpn两轴长度相等，材料相同，则重量之比=
10、面积 之比则： （用料）2.385904221dDA空 心实 心（重量）1.3221实 心空 心小结：在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的 31%；截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。图 4-13、圆轴扭转时的变形计算1、扭转角与剪切角的概念图 4-14。AB2、圆轴扭转时的变形计算扭转角的计算（7-6）pnGIlM（7-7）180pnIl单位长度扭转角的计算（7-8）pnGIMl（7-9）180pnIl3、扭转时刚度条件
11、（7-10）pnGIMmaxax（7-11）180axaxpnI例题 4-4 某轴 AB 段是空心轴，内外径之比 ；BC 段是实8.0Dd心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知rad（弧度） （度） Rad/m/mRad/m/m轴材料的=80MPa 、=1 、G=80GPa,试设计 D 和 d 应等于多少？m图 4-15解：1、作扭矩图2、根据强度条件设计 D、dAB 段： MPa80)1(643max WMnp空 m6.4908).(34DBC 段： MPa8016743maxdWnp实36.5m0.187643 d3、根据刚度条件设计 D、dAB 段： m180)1
12、(320846149 GIMnp空 6.0.).1(032449 DBC 段： m18空pGIMn0321807649d48.6m0.1849 4 结论：D=61.1mm 刚度条件确定。d=48.1mm 刚度条件确定。 扭转超静定例题 4-5 圆轴受力如图 4-15 所示。已知：D=3cm，d=1.5cm, =50MPa、=2.5 、G= ,试对此轴进行强度和刚度校核。mPa1089图 4-16解： 截面的几何性质计算：AC 段： 4884844 105.710325.103232 mdDIP 空CE 段： 488449.7mIP 实求约 束反力:解除 A 端约束，建立变形协调条件：图 4-1
13、7，即：0EA 01250143015301414 2222 实实空实空 PPPPAP GIIGIITGIT将 G、 、 代入上式运算，得 空 实 MNAT再由静力平衡方程解出 25E强度校核BC 段： 364343 m1097.)5.1(6)0.()1(6D空pWMPaPa9.097.4286max空pnMDE 段： 363310.51).(D实p PaPa.4703.5286max实pnW刚度校核BC 段： mGIMPn 38.21045.7108289max 空DE 段： IPn 789ax 实均 2. 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别（a） (
14、b)图 4-18圆截面杆受扭：平面假定非圆截面受扭：截面翘曲图 a 所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图 b）。说明：原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。二、非圆截面杆扭转的两种情况1、自由扭转等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。2、约束扭转由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势 必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束
15、扭转。三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形1、矩形截面杆（1）截面上剪应力的分布规律图 4-19最大剪 应力发生在截面长边的中点处pnWMht2maxp-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数max（短边中点）-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数式中： 、 可按截面尺寸比 值从教材提供的表格中 查取。截面周 边各点处的剪应力方向一定与周围平行（相切）。截面凸角点处的剪应力一定为零。（2）单位长度扭转角 的计算式pnnGIMht23Ip-与截面尺寸比值（h/t ）的有关系数2、狭长矩形截面杆当矩形截面的 h/t10 时，称为狭长矩形。（1）截面上的应力分布规律最大剪 应力发生在截面长边除靠近顶
16、点外的各点。pnWMht2max3231htp长边上除靠近顶点以外均相等长边 各点处的剪应力方向均与长边相切。截面凸角点的剪应力为零。图 4-20（2）单位长度扭转角 的计算式pnGIMht2331htp例题 4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面 I-I 上的 可近似地按矩形截面杆受扭计算。若 t=23mm,h=102mm,Mn=26.3mm,求该截面上的 max=?截面 I-I图 4-21解：由截面 I-I 的尺寸求得 43.th查教材 P159 表，并利用插入法，求出 .286则 MPa7.123086.2max 。htMn例题 4-7 试求由薄板卷成的薄壁圆管的应力和扭角。圆管用两种不同的制作方法；1）开口圆管；2）焊接封闭圆管。请比较两种截面的应力和扭角。图 4-22解： tDtDMttAttthItnnmn nnnpn 23242 313 121 闭 2213222 3331 4)4(4 1 tDtGMtDtGASMttht nnmn nnn 闭注 S截面中线长度若 D=30cm,t=1cm,则 1=452 , 1=6752
