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34函数的最值和导数在经济中的应用.ppt

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1、,3.4.1 函数的最值,最值的定义,如果函数f(x)在其定义域a,b上的函数值满足 其中 则称 为函数的最小值, 为函数的最大值。,3.4 函数的最值与导数在经济中的应用,3.4.1 函数的最值,我们知道,连续函数 在闭区间 上一定存在最大值和最小值,且最大值和最小值只可能在区间 内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点(驻点及个别不可导点)和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最小值。,3.4.1 函数的最值,3.4.1 函数的最值,如图所示,如果 在上单调增加,则函 数 的最小值是 , 最大值是 。,3.4.1 函数的最值,3.4.1 函数的最值,如右图

2、所示,如果 在上单调减少,则函 数 的最小值是 , 最大值是 。,3.4.1 函数的最值,在什么情况下函数 的极大值一定是最大值,在什么情 况下函数 的极小值一定是最小值,?,3.4.1 函数的最值,如果连续函数 在 上仅有一个极大值而 没有极小值,则此极大值就 是 在 上的最大值, 如右图所示。,3.4.1 函数的最值,如果连续函数 在 上仅有一个极小值而 没有极大值,则此极小值就 是 在 上的最小值, 如右图所示。,3.4.1 函数的最值,求函数 在 上的最值。,解:,因为,3.4.1 函数的最值,求函数 在 上的最大值和最小值。,解:,因为,显然 与 是 的不可导点,令 ,,得驻点为 ,

3、,比较各值,得函数最大值为 ,最小值为 。,(4) 训练题一,3.4.1 函数的最值,1 . 求函数 在 上的最大值和最小值。,答案:最大值f(-1)=10,最小值f(3)=-22,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,设某产品的总成本函数为 (元)(为产品的产量),求当产量为多少时,该产品的平均成本最小,并求最小平均成本?,解:,该产品的平均产品函数为,令 ,即,求得唯一驻点 ,,所以 在 处取得最小值,最小值为,又因为,(2) 训练题二,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,1. 设某产品的价格与需求的关系为 ,总成本函数 (元),求当产量和价格分别是多少时,该产品的利润最大,并求最大

4、利润,答案:当产品为250个单位,价格为175元/单位时, 利润最大,最大利润为16950元,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,定义3.2,边际函数 反映了函数 在点 处的变化率。,设函数 在点 处可导,则导函数 称为函数 的边际函数。 也称为函数 在 处的边际函数值。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,因为 ,当 , 时有 因此,函数 在点 处的边际函数值的具体意义是, 当 在点 处改变一个单位时,函数 近似地改变 个单位。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,求函数 在点 处的边际函数值。,解:,它表示函数 在 处,当 改变一

5、个单位时,函数 近似地改变14个单位。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,边际需求的定义,设需求函数 在点 处可导(其中 为需求量, 为价格),则其边际函数 称为边际需求函数。简称边际需求。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际供给的定义,若供给函数 在点 处可导(其中 为供给量, 为价格),则其边际函数 称为边际供给函数。简称边际供给。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际成本的定义,设成本函数 可导(其中 表示总成本, 表示产量),则其边际函数 称为边际成本函数,简称边际成本。 称为当产量为 时的边际成本。,其经济意义为

6、:当产量达到 时,如果增减一个单位产品,则成本相应增减 个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际收益的定义,设收益函数 可导(其中 表示收益, 表示商品销售量),则其边际函数 称为边际收益函数,简称边际收益。 称为当商品销售量为 时的边际收益。,经济意义:销售量达到 时,如果销售量增减一个单位产品,则收益相应增减 个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际利润的定义,设利润函数 可导,则其边际函数 称为边际利润。 称为当产量为 时的边际利润。,经济意义:当产量达到 时,如果增减一个单位产品,则利润相应增减 个单位。,

7、2.边际函数在经济学中的应用,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,设总成本函数 (元),求: 边际成本函数; 生产50个单位时的平均单位成本,和边际成本值,并解释后者的经济意义。, q=50时的平均单位成本为,q=50时的边际成本为,经济意义:当生产达到50个单位产品时,如果再多生产1个产品所最加的成本为17.5元。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,某工厂日产能力最高为1000吨,每日产品的总成本C(元)是日产量x(吨)的函数:求当日产量为100吨时的边际成本,并解释经济意义。,答案:边际成本: 经济意义是:当产量是100吨时,每

8、增加1吨产量,成本增加9.5元。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,定义3.3,设函数 在点 处可导,称极限 为函数 的弹性函数,记为 ,即,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,在点 处,弹性函数值 称为函数 在点 处的弹性值,简称弹性。它表示在点 处,当 变动1%时, 的值近似地变动 。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,设函数 ,求其弹性函数以及在 处的弹性。,解:因为,所以弹性函数,于是,,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.4,设需求函数 在 处可导,则,称为该商品在 处的需求弹性,记作 或 ,即,3.4.3

9、 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.5,设供给函数 在 处可导,则,称为该商品在 处的供给弹性,记作 或 ,即,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,设某商品的需求函数为 ,求 需求弹性函数; 时的需求弹性,并说明其经济意义; 时,价格上涨1%,其总收益增加还是减少?变化的幅度是多少? 当 取多少时,总收益最大?,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性, 需求弹性函数:, 当p=4时的需求弹性,这说明,在p=4时,价格每上涨1%,则需求减少0.54%;而价格若下降1%,则需求增加0.54%。,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,解:, 当p=4时的收益弹性:,所以,当P=4时,价格上涨1%,总收益增加0.46% 。, 要使总收益R(p)最大,应有需求弹性 ,即,得p=5,p=-5(舍去),故当p=5时,总收益取得最大值。,(3) 训练题四,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,1. 设某商品的供给函数为s=2+3p,求供给弹性函数以及p=3 时的供给弹性2. 某产品的销售量x与价格p之间的关系式为 ,求需求弹性。如果价格为0.5,试确定此时需求弹性的值。,

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