1、第七节 导数在经济中的应用7.1 经济中常用的一些函数一、成本函数某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳动力，原料，设备等)的价格或费用的总额。它由固定成本与可变成本组成，平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。设产品数量为q，成本为c，若产品生产的越多，成本越高，所以C是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，q只能是整数，所以c的图象如图7。7 成本函数， 成本函数，q取值为正整数 q取值为正数但我们通常将C有图象看成一条通过这些点的连续，对于研究问题更利，如图所示3-18，成本函数通常所具有的一般形状如图3-18，(也有特殊的情形)，c轴上的截距表示固定成
2、本，它是即使不生产也要支出的费用(例如厂房、设备等)成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，这称为规模经济，当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长，因此，c(q)开始时是下凹的，后来变成上凹。设C为固定成本，C2为可变成本，为平均成本，则CCC2(q)， (q)=二、收益函数总收益是企业出售一定量产品所得到的全部收入。平均收益是企业出售一定量产品，平均每出售单产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表示，p与q有关，因此，pp(q)，设总收益为R，则 Rqp=qp(
3、q)三、利润函数设利润为L，则利润收入成本，即 L四、需求函数“需求”指的是顾客的购买同种商品在不同价格水平的商品的数量。一般来说，价格的上涨导致购买量的下降。设p表示商品价格，q表示需求量，需求是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求与价格的关系，则q=f(p)是单调减少函数，称为需求函数。若q=f(p)存在反函数，则p=f(q)也是单调减少函数，也称为需求函数。根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据(p,q)，常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建经验曲线，有q=b-qp a0，b0q= k0,p0q= k0,p0q= a,k0,p0q=ae a,b0五、供给函数“
4、供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量，一般说来当价格上涨时，供给量增加，设p表示商品价格，q表示供给量，略去价格以外的其它因，只讨论供给与价格的关系，则q=(p)是单调增加函数，称为供给函数。图3-19 若q=(p)存在反函数，则q=(q)也是单调增函数，曲线如图。我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线q=ap-b a，b0q=kpa ka0q=aebp a,p0六、均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，在图中是在需求曲线与供给曲线相交的点处的模坐标p=p，此时需求量与供给量q称为均衡商品量。当pp时，如图pp，此时消费者希望购买的商品量为q需，生产者愿意出卖
5、的商品量为q供，由q供q需，市场出现了供不应求商品短缺，会形成抢购，黑市等情况，从而会导致价格上涨，P增大，因而生产者增加产品的生产，有pp当pp时，如同pp处，此时q供q需，市场出现了供大于求，商品滞销，自然会导致价格下跌，p减少，有pp。总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即p和q，而两条曲线正是在此处相交，这意味者在平衡点处，一种数量为q的商品将被生产出来并以单位商品的价格p销售。7.2 边际分析一、边际分析很多经济决策是基于对“边际”成本和收入的分析得到的。假如你是一个航空公司经理，春节来临，你想决定是否增加新的航班，如果纯碎是从财务角度出发，你该如何决策，换句话说，如果
6、该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收入。设C(q)是经营q个航班的总成本函数，若该航空公司原经营100个航班，则边际成本=C(101)C(100)=C(100)，因此，很多经济学家都选择边际成本MC定义为成本的瞬时变化率，即 边际成本=MCC（q） 边际收入=R(101)R(100)=R(100)因而经济学家常常定义 边际收入MRR(q)因此，比较R（100）与C（100），即可决定是否增加航班，所以，一般地，若函数y=f(x)可导，则导函数f（x）也称为边际函数。
7、称为f(x)在x，xx上的平均变化率，它表示在x，xx内f(x)的平均变化速度。f（x）称为f(x)在点x处的变化率，也称为f(x)在点x处的边际函数值，它表示f(x)在点x处的变化速度。在点x处，x从x改变一个单位，y相应改变的真值为yf(x)f(x)，当x的一个单位与x值相对来比很小时，则有 yf(x)f(x)dyf(x）dxf(x)(当x时，标志着x由x减小一个单位)这说明f(x)在点x处，当x产生一个单位的改变时，y近似改变f（x）单位，在实际应用中解释边际函数值的具体意义也略去“近似”二字。因此，我们称C（q）,R（q）,L（q）分别为边际成本，边际收益，边际利润，而C（q）称为当产
8、量为q时的边际成本，它们经济意义是当产量达到q时，生产q前最后一个单位产品所增添的成本。同样R（q）称为当产量为q时的边际收益，它们经济意义是当产量达到q时，生产q前最后一个单位产品所得到收益二、最大利润。由 L(q)(q)-C(q)然后利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润由 L(q)=R（q）-C（q） 令L（q）=0, R（q）=C（q）即L(q)取到最大值的必要条件是：边际收益等于边际成本，当然最大利润或最小利润也不一定发生在MR时，有时还要考虑导数不存在的点和端点，可是这一关系要比我们对个别问题得出的答案有力的多，因为它是帮助我们一般情形下确定最大(或最小值)利润的条件。例 已知
9、某厂生产x件产品的成本为 Cxx(元)问 (1)要使平均成本最小，应生产多少件产品；(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?解(1)设平均成本为y，则 y=，由 y0，解得x，x0(舍去)，由 y，yx10005.100，所以当x3时，y取得唯一的极小值，因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品 (2)L(x)500x（25000200x）300x25000由 L（x）300，令（x），解得x因 L(x)=，L（）0，所以当x时，L取得唯一的极大值，即最大值，因此，要使利润最大，应生产6000作产品。例 一商家销售某种商品的价格满足关系P.2x(万元吨)，x为销售量
10、(单位：吨)，商品的成本函数是C3x(万元)。(1)若每销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量。(2)t为何值时，政府税收总额量大。解(1)总税额为Ftx，商品销售总收入为Rpx=(7.2x)x利润函数为Lx(4t)x 0.4x4t,令0，解得x（t），又0，所以x= (4t)为利润最大时的销售量。 (2)将x (4t)代入Ttx，有 T10tt由 105t,令0,解得t=2又 50，所以t=2时，为唯一极大值，故t时T有最大值，此时，政府税收总额最大。7.3 弹性分析一、弹性的概念函数的改变量与函数的变化率实际上是绝对改变量与绝对变化率，仅仅研究这些还是不够，在市
11、场上，假若一千克大米由2元上涨1元和千克黄金由100000元上涨100元哪一种商品价格的波动对你震动比较大，显然是大米，虽然大米每千克单位价格的改变量1，黄金每千克单位的改变量是100，但这二个量是绝对改变量，实际上大米涨幅是，黄金的涨幅是.，当然大米的涨幅对我们振动比较大。这里就涉及到相对改变量，同样对一个函数yf(x)，当自变x相对改变时，因变量y的相对改变受到什么影响。例 y=x，当x，x时，x的绝对改变量是1，x的相对改变量是0，而y的绝对改变量为yf(10)f(10)，y的相对改变量是21%，而2.1，它表示在10，11上，从x，x改变1%时，y平均改变2.1%。我们称它为从x10到
12、x=11时，函数y=x的平均相对变化率。定义 函数的相对改变量，与自变量的相对改变量之比称为函数f(x)从x=x到xxx两点间的相对变化率或称两点间的弹性。若f（x）存在，则极限值 f(x) 称为f(x)在点x处的相对变化率，也称为相对导数或弹性，记作 或f(x) 即 f(x)f（x）若f(x)存在，则 f(x)f(x) 是x的函数称为f(x)的弹性函数。由 f（x）有x充分小时f（x）有yy0f（x），f(x)若取，则f(x)%，弹性的经济意义：若f(x)存在，则f(x)表在点x处，改变时，f(x)近似地改变f(x)%(我们常略去近似二字)。因此，函数f(x)在点x的弹性f(x)反映随x变化
13、的幅度引起函数f(x)幅度变化的大小，也就是f(x)对x变化反应强烈程度或灵敏度。例3 y=ax，求， (a0，a1)解 yaxlnaxlna lna例4 y=xa，求解 yaxaa设Df(x)f(x)在区间X上可导，则DX是函数空间F的线性子空间定义 ：DXFf(x)f(x)， f(x)DX则 ：DF是线性算子设 Df(x)f(x)在x可导则 D是函数空间F的线性子空间定义 ：DFf(x)f(x) f(x)Dx则 ：DR是线性设函。二、需求弹性需求弹性是反映当商品价格变动时需求变动的强弱，由qf(p)为递减函数，所以f(p)0，从而f（p）为负数，经济学家一般用正数表示需求弹性，因此，采用需
14、求函数相对变化率的相反数来定义需求弹性。定义 设某商品的需求函数为q=f(p)，则称(p，pp)为该商品f(p)从p=p到p=pp两点间的需求弹性，若f（p）存在。则称p=p(p)f（p）该商品在p=p处的需求导性。例 已知某商品需求函数为q=(1)从p=30到p=20,50各点间的需求弹性。(2)p=30时的需求弹性，并解释经济意义。解 (1)由p=30时，q=40，(30，20)1.5 (30，50)则 (30，20)1.5说明，商品价格p从30降至20，在该区间内p从30每降1%需求从40平均增加1.5%。 (30，50)0.6说明商品价格p从30涨至50，在这个区间内p从30每涨1%，
15、需求从40平均减少0.6%。(2)由(30)，这说明在p=30时，价格上涨1%，需求减少1%，价格下跌1%，需求则增加1%。三、供给弹性供给弹性与一般函数弹性定义一致，即定义 设某商品供给函数为q=(p)，则称 (p，pp)为该商品在p=p与p=pp两点间的供给弹性，若（p）存在，则称(p)(p)为该商品在p=p处的弹性例6 q=ep，求(2)，并解释经济意义解 由(e2p)=2e2p则 (p)=（p）2e2p2p，有(2)4(2)4,说明在p=2时，价格上涨1%，供给增加4%价格下跌1%，供给减少4%。例 设某产品的需求函数为QQ(p)，收益函数为RpQ，其中p为产品价格，Q为需求量(产品的
16、产量)，Q(p)是单调减函数如果当价格为p，对应产量为Q时，边际收益a0，收益对价格的边际效应为0，需求对价格的弹性为Epb1，求p和Q。解 收益RpQ，有 pQp()(p)p(1)由 p(1)a，得p QpQ（）QQ(1Ep)由 =Q（p）c,得Q三、用需求弹性分析总收益由 RQ Qf(p)有 RPf(p)有Rf(p)pf（p）f(p)1f(p)f(p)，由f(p)0，于是图3-20 (1)若1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时R0，R递增，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少。(2)若1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时R0，R递减，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总
17、收益增加。(3)若1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时R0，则R取到最大值。因此，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹的变化而变化，其关系如图。第八节 曲率8.1 曲率一、 曲率的定义在实际问题中，我们经常要遇到诸如此类的问题；如一弹性桥梁在荷载的作用下要产生弯曲变形，设计时需要对该梁的允许弯曲程度有一定的限制，又如火车在转变的地方，路轨需要用适当的曲线来衔接，图3-21 使火车平稳地转弯道，而在弯道的行驶过程中为什么乘客几乎没有感觉，这些都与曲线的弯曲程度有关。用怎样的量才能描述曲线的弯曲程度呢?我们看到，如图321两条曲线的长度一样，那么，切线的转角较大的一条弯曲的厉害，又若两
18、条曲线的转角一样，则较短的曲线弯曲的厉害，(如图322)图3-22 设M，N是曲线上邻近两点，弧段的长度为，切线的转角为，表示平均单位弧长上的切线转角，由上面的分析知道，越大，弧的平均弯曲程度越大，比值称为弧的平均曲率，(如图823)曲率公式。图3-23 对于一般的曲线来说，它在各点的弯曲程度不一样，如何描述一点的弯曲程度，当取得越小，越接近曲线点M附近的弯曲程度，因此，有定义 当0(N沿曲线起于M时)若弧的平均曲率是的极限 存在，则该极限值称为曲线在点M的曲率，记作k，即 k曲率是描述曲线弯曲程度的量例 求半径为R的圆上一点M处的曲率解 在圆上取一点N，设的长为，NOM，则 =R有 ，因此，
19、所以曲率k图3-25 即图上各点的曲率相同，这正是车子的轮子为什么要用圆的缘故，而且图上每一点的曲率k都等于半径的倒数，半径越大，曲率越小，半径越小曲率越大。2.曲率在直角坐标系下的表达式除了圆以外，直接用极限去求曲线上一点曲率的是很麻烦的，我们需要寻求更常用的表达式。分析 设曲线方程为M(x(t)，y(t),N(x(t+t),y(tt)由 tan有 arctan，(t+t)(t)设 的长为s(tt)，s(t+t)s(t)于是由 (将在定积分中给予证明)因此 k从分析的过程中可知，要求x(t),y(t)存在二阶导数，且x(t)，y（t）不同时为0，若曲线yf(x)则相应的曲线公式为 k例3 求
20、椭圆xacost,y=bsint，0t2上使曲率为最大和最小的点。(设ab)解 由xasint，xacost,ybcost,bbsint，则 k由t=0,时，sint0最小，t=，时，sint=1最大所以t=0,时，曲率k=为最大值，t=，时，曲率k为最小值，特别abR时，椭圆为圆，则 k，和我们用前面公式求出的结果一致。8.2 曲率圆一、 曲率圆设y=f(x)在点M(x,y)的曲率k0，在点M引曲线Mp，在法线上位于曲线凹的一侧取线段AM，以A为中心，为半径作一圆，这个圆称为曲线在点M的曲率圆，这个圆具有下列性质：图3-26 (1)它通过点M，在点M与曲线相切(即两曲线有公切线)；(2)在点
21、M与曲线有相同的凹向；(3)圆的曲率与曲线在点M的曲率相同；图3-27 曲率圆的中心称为曲率中心，其半径为曲率半径，记作R，有 R由于曲率圆有上述三性质，在研究某些实际问题(如弹性梁的弯曲)时，就用曲线在一点处的曲率园来近似地代替在该点邻近的曲线。例 火车轨道从直道进入到半径为R的园弧弯道时，为了行车安全必须经过一段缓冲的轨道，以使铁道的曲率由至连续地增加到 (保证向心加速度不发生跳跃性的突破)。解 设铁道如图3-27所示，其中x轴(x0)表示直线轨道，是半径为R的圆弧形轨道(点p为其圆心)，为缓冲曲线，我同一般采用的缓冲曲线是三次曲线 y=其中为曲线的弧长，曲线OA每点的曲率 k=当x从o变
22、为x时，曲率k从o连续变为k若以直线段OC的长近似地代替的长，即x，则有 ko（）若比值很小，那么可略去项和高阶无穷小得k因此缓冲曲线的曲率从0逐渐增加到，从而走到了缓冲作用。二、渐屈线和渐伸线对于曲线C上每一点M，只要在该点曲率k0，都对应着一个曲率中心A(，)当点M沿曲线变动时，点A随着变动，点A的轨迹G称为曲线C的渐屈线，而曲线C称为曲线G的渐伸线(如图所示)。图3-28 下面推导曲率中心A的坐标(，)的公式由距离公式可得 (AM)（x）（y)有 (x)（y）又因pM是曲线y=f(x)在点M的法线，故其斜率为，又pM的斜率为即 x（y）y代入上式，化简 (y)，故得 y=或y若y0，则曲
23、线上凹，y要为正，若y0，曲线下凹，y要为负，因此，y与y同号，有 y从而有 x故得曲率中心的坐标为 这就是曲线C的渐屈线G的参数方程。第九节 方程的近似根在解决力学、物理和其他科学技术中的各种问题时，常常需要求方程f(x)=0的实根，但到目前为止，我们已经会用代数方法比如用二次方程根的公式解决这样的问题，但三次或四次方程的解的公式非常复杂，而五次和五次以上的方程其解的公式不存在，而大多数非多项式方程也不可能用公式加以求解，因此，求方程的精确根往往是困难的，甚至是不可能的。而在实际应用中，只要能够获得具有一定精确度的近似根就足够了，因此，怎样求方程的近似根，就显得尤为的重要。9.1 图解法f(
24、x)的实根在圆形上表示曲线y=f(x)与ox轴交点的横坐标，因此，只要比较精确地画出yf(x)的曲线，该曲线与x轴交点的横坐标为x，观察x落在哪两个数之间，然后在这两个数之间任取一个数x作为方程根的近似值，则误差不超过这两个数的差。例 用圆解法求方程 2xx0的近似根图3-29 解 作出函数yxx的图形，如图在图形上看到这条曲线与ox轴只有一个交点，且这个交点的横坐标在0.6与0.5之间(如果用坐标纸画图形看得更加清楚)，因此，取x0.55作为方程的近似根。有时作函数yf(x)的图形比较困难，可把f(x)0化成f(x)f(x)，使得函数yf(x)与yf(x)的图形容易作，而方程的根在图形上就是
25、曲线yf(x)与曲线yf(x)交点的横坐标x。图3-30 我们仍以上面的方程为例，2xx化成2xx-1，作出y2x，yx的图形，如图，这两条曲线的交点的模坐标在0.6与0.5之间故取x0.55作为方程的近似根。这两种方法主要是利用我们所熟悉的函数图形，较准确地画出函数图形，这种求方程近似根的方法叫图解法，在精确度要求不高时，可以使用。9.2 数值法一、隔根区间为了求方程f(x)=0的根，并按一定的精度，求出根的近似值，首先要确定方程在哪个区间内肯定有一个根，然后逐步逼近方程的根，这个区间也就称为隔根区间。若在区间(a,b)内方程f(x)=0有且仅有一个根，而且f(a)f(b)0，则称区间(a,
26、b)为方程的一个隔根区间。由根的存在定理和单调性定理知若f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)0，且x（a,b）时f(x)0(或f（x）0)则(a,b)是方程的一个隔根区间。例 求方程2xx0的隔根区间解 设f(x)=2xx 由f(x)2x10 且f()，f(0)1所以，(，)是方程的一个隔根区间。当隔根区间确定以后，在区间内可构造一数列xn，使xn收敛于方程的根，于是，我们可以取充分大n时的xn作为方程根的近似值，并可作出误差估计。二、对分法设区间(a,b)是方程f(x)=0的一个隔根区间，f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)0，不妨设f(a)0，f(b)0。与构造证明根的存在定理的方
27、法完全类似。若f()，那么x=就是方程的一个根，若f()0，当f()时，取a, a,b，当f()时，取，ba，b，因此(a，b)是方程f(x)=0的新的隔根区间，它被包含在原有的隔根区间(a,b)之内，且长度是原来隔根区间长度的一半，这样继续下去，如果还没有找出方程的根，我们也得到一列隔根区间套。 a,ba,ba2,b2an,bn bnan=，如果取最后区间an,bn的中点 xn作为方程f(x)0的近似根，它的误差小于虽然对分法相当简单，但它有两个主要缺点，首先，它无法确定曲线与x轴相切而不与x轴相交这种情况下根的位置，其次由于需要多次迭代才能达到我们所要求的精度，在这种意义下，此方法相对来说
28、速度慢，尽管解单个方程时，速度可能并不显得重要，但一个实际问题，当参数改变时，可能涉及成千上万个方程，所以简化送代步聚使非常重要了，因此，我们有下面的切线法(牛顿法)。三、切线法(牛顿法)设(a,b)是方程f(x)的一个隔根区间，且f(x)0，yf(x)在a,b上的图形，如图，从的一端点N作曲线的切线，此切线交Ox轴于点A，设A的横坐标为x，于是x可以作为所求根的第一个近似值，过点A作oy轴的平行线交曲线于点N，过N作曲线的切线，此切线交于ox轴于点A，A的横坐 标为x，x可作为所求根的第二个近似值，继续进行这种步聚，得一数到xn则xn=x，xn可作为方程根的近似值，上述的方法叫做牛顿切线法，
29、简称切线法，现推导切线法的计算公式，例如图。图3-31 在N点处的切线方程为 y-f(b)=f(b)(x-b)在上式中，令y=0,解得 xb- (1)这就是所求根的第一近似值，用x代替(1)中b的位置，可得根的第二个近似值 xx如果达不到精确度要求，可以继续进行，从而得到一列精度越来越高的近似值 xx x4x3 xnxn (2)这就是切线法的求根公式但若在上图M点作一切线，是不恰当的，因此，我们要考察：在怎样的条件下，切线法产生的送代序列收敛于方程f(x)=0的解C。为了方便于讨论，我们假设函数f(x)在闭区间a,b上二阶导数存在且满足f(a)f(b)0，f(x)0，xa,b，在这样的条件下，
30、关于函数f(x)在闭区间a,b上凹向与升降有如下四种情况：(1)上凹递增(f（x）0，f(x)0)(2)上凹递增(f（x）0，f(x)0)(3)下凹递增(f（x）0，f(x)0)(4)下凹递增(f（x）0，f(x)0)如图所示 图3-32 图3-33 图3-34 图3-35 分析上面四种情况的图形，我们知道，只要选择x(a,b)，且f(x)f(x)0，就能保证xx与x在C的同侧，并且x比x离C更近，同样xx与x在C的同侧，并且x比x离C更近，这样的迭代过程可以不断地继续下去，并得到一个数到xn xnxn (1)xn单调有界，所以xn存在，设xnx在(1)式中令n，有 x*x* 即f(x*)，因
31、而x*是方程f(x)=0在闭区间上的唯一解C。定理 设函数f(x)在区间a,b上二阶连续可导，并且满足条件f(a)f(b)0 f(x)f(x)0，xa,b如果xa,b，f(x)f(x)0那么迭代程 xnxn-1- 1，2，3所产生的数到xn单调收敛于方程f(x)0在a,b中的唯一解C。证 不妨函数f(x)在闭区间a,b上，f(x)0，f(x)0，对这些情况关于初始条件 f(x)f(x)0 不防设 f(x)0，则xC xxx设 (x)x，(C)c由(x)10于是 x-(x)(C)（）(x)0在f(x)0，f(x)0，我们证明了只要xC，就有 xxC假设nk时成立，xkxkC xkxkxk xk+
32、1(xk)(C)(k)(xk)0即 xkxkC，由数学归纳法知，xn递减有下界，因此xn收敛，设xnx在xn+1=xn中令n，有 x*x*，有f(x)0，由f(x)在(a,b)在有唯一的一个根，故x*对实际计算来说，仅仅知道数到收叙于根C是不够的，还需要了解这个数列收敛的速度。定理 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，f(x),f(x)在a,b存在且不变号，C(a,b)是f(x)0的根，则按牛顿法产生的迭代序列 xn+1xn n=0,1,2满足 xn+1qxn这里q=，m=f(x),Mf(x)证 利用泰勒公式 f(C)=f(xn)f（xn）(C-xn) (C-xn)n介与C，xn之间 xn (
33、Cxn)，有 xn+1C (x-xn)qxn因此，只要初始值x0选得比较好，逼近数列xn收敛于根C的速度还是很快的。定理 用牛顿法求根时，xn这里m=f(x)证 利用拉格朗日中值定理 f(xn）f(xn)f(C)f（n）(xn) n介与C，xn之间 xn例3 求方程xlnx-1=0的近似根解 设f(x)=xlnx-1,f(x)=lnx，f(x)由f(x)的定义域为(，)，而x（，）时，f(x)0，因而方程无根。x(1，)时，f(x)0，所以方程f(x)=0，至多有一个根。又f(1)=-10，f(2)=2ln2-1=ln4-10，所以方程f(x)=0的唯一根在开区间(1，2)之中，由f(2)与f(2)同号，所以取x2牛顿法的迭代公式为 xn+1xnxn 则 x1.77185 x1.76324 x1.76323利用定理来估计误差，由m=f（x）所以 xf(x)0.00000026因此，牛顿迭代法的精确度是非常高的。例4 设a0，试写出用牛顿法求算术平方根的迭代公式解 设f(x)xa，由f（x）2x0，f(x)=20，x（0，）用牛顿法求解方程xa0的迭代公式为 xnxn-1xn-1- (xn-1)只要选取x，有f(x)f(x)0，因此把大于的数作为初始点即可。
