1、3. 李雅普诺夫第二法的几个定理下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: 渐近稳定性定理(定理5-4) 稳定性定理(定理5-5) 不稳定性定理(定理5-6),(1) 渐近稳定性定理定理5-4 设系统的状态方程为 x=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件: 1) 若V(x,t)为负定的，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着|x|，有V(x,t)，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。,李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。 它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统;既
2、适用于定常系统，也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件，而非必要条件。 也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数，则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。,但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;4)
3、 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。,例5-3 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解: 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数,为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数,是负定函数。此外，当|x|时，必有V(x)。 因此，由定理5-4知，在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。,例5-4 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解: 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数,为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)
4、，V(x)对时间的全导数,是负定函数，故由定理5-4知，根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。 但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。,定理5-4中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函数,其导数为负定函数。 这给该定理的应用，特别是寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。 下面给出一个定理对上述定理5-4作一补充，以减弱判别条件。,(2) 稳定性定理 定理5-5 设系统的状态方程为x=f(x,t)，其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件: 1) V(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的; 2) 更进一步，
5、若V(x,t)的定义域为Rn，对任意的t0和任意的x(t0)0，V(x,t)在tt0时不恒为零，那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时，随着|x|，有V(x,t)，则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。,由此定理的结论可知，定理5-5不仅可用于判别平衡态的稳定性，而且可作为定理5-4的补充，用于判别平衡态的渐近稳定性。例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。解： 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。 该函数及其导数分别为,由于V(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。,对例5-5，选取李
6、雅普诺夫函数为则是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。,例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数,解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数,由于V(x)非正定，由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。,由于V(x)对任意的x0恒为零，因此由定理5-5中2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定，但非渐近稳定。,(3) 不稳定性定理 定理5-6 设系统的状态方程为x=f(x,t)，其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件: 1) V(x,
7、t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是不稳定的; 2) 若V(x,t)为正半定的，且对任意的t0和任意的x(t0)0， V(x,t)在tt0时不恒为零，那么该平衡态xe亦是不稳定的。,例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择李雅普诺夫函数为,则,由于V(x)正半定，但其只在x1=0，x2=0时才恒为零，而在其他状态不恒为零，因此由定理5-6的2)可知，系统的该平衡态为不稳定的。,下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结,V(x),V(x),结论,正定(0),负定(0),该平衡态渐近稳定,正定(0),负半
8、定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态渐近稳定,正定(0),负半定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解),该平衡态稳定 但非渐近稳定,正定(0),正定(0),该平衡态不稳定,正定(0),正半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解),该平衡态不稳定,5.4 线性定常系统的稳定性分析本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有: 基本方法: 1.线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 2.矩阵李雅普诺夫方程的求解,由上节知，李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法，但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。 由
9、于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时，难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法。,设线性定常连续系统的状态方程为 x=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平衡态xe=0，即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。,上述第(3)点可由如下定理中得到说明。定理5-7 线性定常连续系统 x=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任
10、意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P为矩阵方程 PA+ATP=-Q的解，并且正定函数V(x)=xTPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。,上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法，该方法 不需寻找李雅普诺夫函数， 不需求解系统矩阵A的特征值，只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。 由上述定理，可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵方程的唯一解的推论。,推论5-1 如果线性定常系统x=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的，那么李雅普诺夫代数方程 PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。,由定理5-7及其推论5
11、-1可知，运用此方法判定系统的渐近稳定性时，最方便的是选取Q为单位矩阵，即Q=I。 于是，矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程: PA+ATP=-I求解，然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。,例5-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,解: 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程 PA+ATP=-I.,于是，令对称矩阵P为,将P代入李雅普诺夫方程，可得,展开后得，有:,因此，得如下联立方程组:,解出p11、p12和p22，得,为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法检验如下:,由于变换后的对角线矩阵的对角线上的
12、元素都大于零，故矩阵P为正定的。因此，系统为大范围渐近稳定的。 此时，系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为,例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。,解: 由图可写出系统的状态方程为,不难看出，原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则,由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的Q，李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立。,设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程，可得,求得,为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，矩阵P须为正定。,采用合同变换法，有,从而得到P为正定矩阵的条件,即 0k
13、6 由上例可知，选择Q为某些非负定矩阵，也可以判断系统稳定性，益处是可使数学运算得到简化。,本章小结稳定性问题是控制系统分析和设计的主要问题,也是系统综合的主要目标。 本章讨论动力学系统的李雅普诺夫稳定性分析。 它深刻刻画了动力学系统的内部运动状态的发展变化规律,是具有普遍性的稳定性方法。 5.2节首先给出了动力学系统的平衡态定义、稳定性的局部性概念,然后讨论了李雅普诺夫稳定、渐近稳定、不稳定等稳定性概念的定义。,5.3节首先讨论了线性定常系统输入输出稳定性判据的李雅普诺夫第一法。 然后从能量变化观点讨论了平衡态邻域的稳定性,着重讨论了基于李雅普诺夫函数的变化趋势分析的动力学系统稳定性分析的普遍性方法-李雅普诺夫第二法。 5.4节深入讨论了基于李雅普诺夫第二法的线性定常连续系统的稳定性分析,导出了相应的李雅普诺夫矩阵代数(或微分)方程。,
