1、李雅普诺夫稳定性分析朱志甜（ 大 庆 师 范 大 学 物 理 与 电 气 信 息 工 程 学 院 自 动 化 一 班 200801071497 ）摘要：稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。1892 年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一
2、方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法） 。李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。关键词：李雅普诺夫 稳定性 线性定常系统0.发展概况从 19 世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1
3、957 年，祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。1.李雅普诺夫稳定性概念忽略
4、输入后，非线性时变系统的状态方程如下（1）),(txf式中， x 为 n 维状态向量； t 为时间变量； 为 n 维函数，其展开式为),(txf12(,iinxf i,1假定方程的解为 ， x0和 t0 分别为初始状态向量和初始时刻，);0t。00),;(xtx平衡状态 如果对于所有 t，满足（2）0),(xfee的状态 xe称为平衡状态（又称为平衡点） 。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态方程，令 所求得的解 x，便是平衡状态。0对于线性定常系统 ，其平衡状态满足 ，如果 A 非奇异，系统只有惟A 0eAx一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统， 的解0),(
5、txfe可能有多个，由系统状态方程决定。控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。（a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c） 不稳定性图 1 稳定性的平面几何表示2.李雅普诺夫稳
6、定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的 0，均存在一个 ，当初始0),(t状态满足 时，系统运动轨迹满足 ，则称该平衡状态ex0 limtext),;(xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示见图 8-18（a） ，表示状态空间中 x0点至 xe点之间的距离，其数学表达式为0（3）20210 )()(neee x设系统初始状态 x0位于平衡状态 xe为球心、半径为 的闭球域 内，如果系统()S稳定，则状态方程的解 在 的过程中，都位于以 xe为球心，半径为 的),;(0t闭球域 内。()S（2）一致稳定性： 通常 与、 t0 都有关。如果 与 t0 无关，则
7、称平衡状态是一致稳定的。定常系统的 与 t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。（3）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有（4）0lim(;,)etxtx称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从 出发的轨迹不仅不会超出 ，且当S()S时收敛于 xe或其附近，其平面几何表示见图 8-18（b） 。t（4）大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时， ， ， 。对于线性系)(Sx统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切
8、相关，通常只能在小范围内稳定。（5）不稳定性 不论 取得得多么小，只要在 内有一条从 x0 出发的轨迹跨出()S，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图 8-18（c） 。()S注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过 ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振()S荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。3.李雅普诺夫稳定性间接判别法 李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性
9、化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据 系统 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的全Ax部特征值位于复平面左半部，即（5）0)Re(i ni,1证明 假定 A 有相异特征值 ，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换n,1（P 由特征值 对应的特征向量构成，为一常数矩阵） ，可使 对角化，有xi A),(11ndiagAP变换后状态方程的解为 0()0()( xexet ttt 由于 ，1)1故原状态方程的解为 ()()(xePetxAttA有 11 )diag1Petttt n将上式展开， 的每一元素都是 的线性组合，因而可写成矩阵多项式Atettne,1tnttniAti eRRe11故
10、可以显式表出与 i的关系)(tx )0()0()(1xeexet tntAt 当式（8-74）成立时，对于任意 x（0） ，均有 ，系统渐近稳定。只要有一个)(t特征值的实部大于零，对于 , 便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或)(t一对，且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零， 便含有常)(tx数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。4.李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟
11、早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及 t 有关，是一个标量函数，记以 ；nx,1 (,)Vxt若不显含 t ，则记以 。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用()Vx表示。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。(,)Vx实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。PxT1.标量函数定号性（1）正定性 标量函数 在域 S 中对所有非零状态 有 且()Vx)0(xV，称 在域 S 内正定。如 是正定的。0)(V()x21)(xV（2）负定性 标量函数 在域
12、 S 中对所有非零 x 有 且 ，称x0)(V)(在域 S 内负定。如 是负定的。如果 是负定的，- 则一定()x )()21 x是正定的。（3）负（正）半定性 ，且 在域 S 内某些状态处有 ，而其它0)(V()x0)(V状态处均有 （ ） ，则称 在域 S 内负（正）半定。设 为负半定，0)(xV x则 为正半定。如 为正半定。21)()x（4）不定性 在域 S 内可正可负，则称 不定。如 是不定的。(x()V21)(x关于 正定性的提法是：标量函数 在域 S 中，对于 及所有非零状态,)Vt ,xt0t有 ,且 ，则称 在域 S 内正定。 的其它定号性提法类同。0(x0,(t),(t )
13、,(x二次型函数是一类重要的标量函数，记（6）nnT xpxPxV 111)(其中， 为对称矩阵，有 。显然满足 ，其定号性由赛尔维斯特准则判Pjiijp0)(V定。当 的各顺序主子行列式均大于零时，即（7）11121 10,0, nnnppp 为正定矩阵，则 正定。当 的各顺序主子行列式负、正相间时，即P()VxP（8）11121 10,0,()0nnnpp 为负定矩阵，则 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则 为正半定或负半P()Vx ()Vx定。不属以上所有情况的 不定。下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。2.李雅普诺夫第二法诸
14、稳定性定理 设系统状态方程为 ，其平衡状态满足 ,不失一般性，把状态空),(txf 0),(tf间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在 对 的连续的一阶偏导数。Vx定理 1 若 正定， 负定；则原点是渐近稳定的。(,)Vxt(,)xt负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。(,)xt定理 2 若 正定； 负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近(,)xt(,)Vxt稳定的。负半定表示在非零状态存在 ，但在从初态出发的轨迹 上，(,)Vxt (,)0t ),;(0tx不存在 的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状0态，而不会维持在该状态。定理
15、3 若 正定； 负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普(,)Vxt(,)xt诺夫意义下稳定的。沿状态轨迹能维持 ，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零0),(t状态而不运行至原点。定理 4 若 正定； 正定；则原点是不稳定的。(,)Vxt(,)xt正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。(,)xt参考定理 2 可推论： 正定，当 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原(,)xt(,)Vxt点不稳定。应注意到，李雅普诺夫函数正定的 的选取是不惟一的，但只要找到一个(,)t满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的 不同而有(,)Vxt (,)Vxt所影响
16、。不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。如果 选取不当，会导致 不定的结果，这时便作不出确定的判断，(,)Vxt(,)Vxt需要重新选取 。以上定理按照 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统(,)xt可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数 ，通常选二次型函数，求其导数(,)Vxt，再将状态方程代入，最后根据 的定号性判别稳定性。(,)Vxt 至于如何判断在非零状态下 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：)
17、,;(0txt令 ，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对 ， 的条件是0),(tx 0x),(tV成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足 的条件。),(tV5结束语通过对本次论文的研究，我对李雅普诺夫稳定性有了更进一步的了解，巩固了理论知识，对自动控制这一门学科更产生了浓厚的兴趣。（1）胡寿松主编.自动控制原理.第四版.北京：科学出版社，2001 年（2）刘豹主编.现代控制理论.第二版.北京：机械工业出版社，2004 年（3）朱晓青主编.过程检测控制技术与应用.北京：冶金工业出版社，2002 年（4）姚伯威，孙锐主编.控制工程基础.北京：国防工业出版社，2002 年（5）戴文进，章卫国主编.自动化专业英语.武汉：武汉理工大学出版社，2001 年（6）谈振藩编，自动控制专业英语.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1999 年
