1、现代控制理论Modern Control Theory,中南大学信息科学与工程学院自动化专业2018年5月6日,第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,5.1 稳定性的基本概念 5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.3 李雅普诺夫方法在线性系统中应用*5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用小结,所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。,在控制工程和控制理论中，稳定性问题一直是一个最基本和最重要的问题。,经典控制理论中系统的稳定性判别方法,Routh-Hurwitz判据根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性。不必求解特
2、征方程。Nyquist判据根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。,对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。在解决这类系统的稳定性问题时，最通用的方法是利用俄国科学家李亚普诺夫（Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。,李亚普诺夫方法的提出1892年，Lyapunov发表博士论文运动稳定性的一般问题 两类解决运动稳定性问题的方法第一方法：通过求微分方程的解来分析运动稳定性，对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化微分方程来近似描述（局部运
3、动）；第二方法：通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考察该函数对时间的变化来判断稳定性。又称直接方法，现今学术界广为应用且影响巨大的方法。在1960年前后被系统地引入到系统与控制理论中，就很快得到了广泛的应用，不管是理论上还是在应用上都显示出了它的重要性。,返 回,5.1 稳定性的基本概念,定义5.1.1 自治系统 零输入作用的系统，用如下方程描述,其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。,定义5.1.2 受扰运动 系统状态的零输入响应,定义5.1.3 平衡状态 如果对于所有的t总存在着,则称xe为系统的平衡状态。,如果系统是线性定常的，则,称为x向量的欧几里德范数。,定
4、义5.1.4 欧几里德(Euclid)范数n维空间中的任意一个点,当A非奇异，原点是系统唯一的平衡状态。当A奇异，则存在无穷多个平衡状态。,到原点距离,表示在n维平衡状态xe周围，半径为k的超球域，其中,研究平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的结构因素返回到平衡状态，或限制在他的一个有限领域内。 稳定与一致稳定 渐近稳定与一致渐近稳定 不稳定,定义5.1.5 稳定 系统(5.1.1)中，,对 ，若,使得由满足不等式,则称xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。,的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式,二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图,xe平衡状态,x0初始
5、状态,定义5.1.6 一致稳定,如果 只依赖于 而和 t0 的选取无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。,对于定常系统，稳定和一致稳定是等价的。通常要求系统是一致稳定的。,定义5.1.7 渐近稳定,如果xe是李雅普诺夫意义稳定的，,并且对于 和,总,使得由满足不等式,则称平衡状态xe是渐近稳定的。,的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式,随着0，显然有T，因此原点的平衡状态xe为渐近稳定时，必成立,既反映了运动的有界性，同时又反映了运动随时间变化过程的渐近性。,二维空间李雅普诺夫意义下渐近稳定性的几何解释示意图,xe平衡状态,x0初始状态,定义5.1.8 一致渐近稳定,如果实数 和T 的大小都
6、不依赖于初始时刻t0 ，则称平衡状态xe是一致渐近稳定的。,对于定常系统，渐近稳定和一致渐近稳定是等价的。从实际应用的角度，渐近稳定性比稳定性重要，一致渐近稳定又比渐近稳定重要。,定义5.1.9 大范围渐近稳定,则称平衡状态xe=0 为大范围渐近稳定的。,如果从状态空间的任一有限非零初始状态x0出发的受扰运动都是有界的，且满足在,时，,另一种说法：如果xe=0 是稳定的平衡状态，且当t 时，系统(5.1.1)的每个解都收敛于xe=0，则此平衡状态就是大范围渐近稳定的。,显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。,对于线性系统，若其平衡状态为渐近稳定，则必然是大范围渐近稳
7、定。,定义5.1.10 不稳定 如果平衡状态既不是稳定的，更不是渐近稳定的，则称此平衡状态为不稳定的。在不稳定平衡状态下：,对于某个实数 和 ，在超球域 内始终存在状态x0，,使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域,二维空间不稳定的几何解释示意图,x0初始状态,图(a),(b),(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。取平衡状态xe=0 。S() 是由初始状态x0所引起的运动轨迹的边界，S() 表示x0的取值范围。,几种稳定性之间的关系,定义5.1.11 正定函数 令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域。如果对于S中的所有x，都有,1）
8、 存在且连续,2）,则称V(x)是正定的（正半定的）。,如果条件3）中不等式的符号反向，则称V(x)是负定的（负半定的）。如果在S域内，不论S多么小，V(x)既可为正值也可为负值时，则称 V(x)是不定的。,例5.1.1,1） 正定的,2） 半正定的,3） 负定的,4） 半负定的,5） 不定的,定义5.1.12 二次型 建立在李雅普诺夫第二方法上的稳定性分析中，有一类标量函数起着重要的作用，即为二次型函数,P 为权矩阵。一般，有,于是,常取P 为对称矩阵，即pij=pji,塞尔维斯特（Sylvester）定理： 中的P是对称矩阵时，V(x)为正定的充要条件是P 的所有顺序主子行列式都是正的。即
9、,如果P的所有主子行列式为非负的(有的为零)，那么V(x)即为半正定的。如果V(x)是正定的（半正定的），则V(x)将是负定的（半负定的）。,例5.1.2 证明下列二次型函数是正定的。,解：二次型V(x)可以写为,因为,所以,返 回,为正定,5.2 李雅普诺夫稳定性理论,返回,5.2.1 李雅普诺夫第一方法5.2.2 李雅普诺夫第二方法5.2.3 几点说明,Lyapunov稳定性理论主要内容 Lyapunov第一法 由系统的动态方程来找出其一次近似的线性化方程，在通过对线性化方程的稳定性的分析而给出原非线性系统在小范围内稳定性的有关信息。 Lyapunov第二法 不需要引入线性近似，而直接由系
10、统的运动方程出发，通过构造一个类似于“能量”的Lyapunov函数，并分析它和其一次导数的定号性而获得系统稳定性的有关信息。,5.2.1 李雅普诺夫第一方法,李雅普诺夫第一方法又称间接法，其基本思想是解出系统的状态方程，状态方程解的性质判别系统的稳定性。线性系统，只须求出系数矩阵的特征值即可判断其稳定性。非线性系统，则由若干过程组成，其中每个过程都要用到具体的形式。若系统存在一个以上的平衡状态，则要对每个平衡状态进行研究。,将平衡状态移到坐标的原点，得,*考察非线性系统，设在零输入下的状态方程为,将 在原点展开得,讨论系统在其平衡状态xe的稳定性，将非线性向量函数f(x)在平衡状态xe附近展开
11、成泰勒级数，引入新的向量,A为nn雅可比(Jacobian)矩阵，即,出现在雅可比矩阵A中的所有偏导数都是在平衡状态 x=xe 或 y=0 处求取的。G(y)由泰勒级数展开式的高阶导数项组成，其元素在平衡状态为0。,因此，可在原点附近将方程式线性化表示为,为非线性方程式的一次近似。,定理5.2.1,如果 ，即A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 xe 是渐近稳定的，且系统的稳定性与高阶导数项无关。,如果A的特征值中至少有一个实部为正，则原非线性系统的平衡状态 xe 是不稳定的。如果A的特征值中，虽然没有实部为正的，但有为零的，则原非线性系统的平衡状态 xe 的稳定性要由高阶导数
12、项G(y)来决定。,解得系统的一个平衡状态为,例5.2.1 已知非线性系统,其中u=U=常数，试分析其平衡状态的稳定性。,解: 先求系统可能的平衡状态。由,为将坐标原点移到平衡状态xe，取新的状态变量为,则得给定非线性系统新状态方程为,计算,得给定非线性方程在其平衡状态附近的一次近似方程为,该近似方程的特征方程为,当 时，系统在xe渐近稳定；,当 时，系统在xe不稳定；,如果 ，其稳定性靠一次近似不能判断。,返回,5.2.2 李雅普诺夫第二方法,李雅普诺夫第二方法又称直接法，其基本特点是不必求解系统的状态方程，就能对其在平衡点处的稳定性进行分析和做出判断，且这种判断是准确的，而不包含近似。,能
13、量函数李雅普诺夫稳定性理论建立了系统能量与稳定性之间的关系。如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当它转移到该平衡状态的邻域内时，系统所具有的能量随着时间的增加而逐渐减少，直到在平衡状态达到最小值。需要有一个抽象的能量函数来描述系统的虚拟能量。能量函数：状态和时间的标量函数。此能量函数称为李雅普诺夫函数，记作V(x,t) 。,通过分析系统能量的变化来确定系统运动的稳定性！对一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量函数，它沿着轨迹对时间的导数总是负值，则随着时间的增加，V(x)将取越来越小的值，随时间的进一步增加， 最终将导致V(x)变为零，x也变为零。这意味着状态空间的原点是渐近稳定的。,定理
14、5.2.2a 假设系统的状态方程为,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数（李雅普诺夫函数）V(x,t)，并且满足条件：,1） V(x,t) 是正定的；,2） 是负定的。,那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。,如果随着 ，有 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,V(x,t)对时间t的导数,定理5.2.2b 对于系统,那么系统在原点处是一致渐近稳定的。,如果存在一个标量函数V(x,t)，并且满足条件,1） V(x,t) 是正定的；,2） 是半负定的。,在 时不恒等于零。,如果随着 ，有 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,表示在t0时从x0出发的解。,定理5.2.3 系统状态方
15、程,则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的。,如果存在一个标量函数V(x,t)，它具有连续的一阶偏导数，并且满足条件,1） V(x,t) 是正定的；,2） 是半负定的。,如果系统的平衡状态x=0是不稳定的，那么就存在一个标量函数W(x,t)，并可以W(x,t)来确定平衡状态的不稳定性。,注意：,的半负定表示原点是一致稳定的，但未必是一致渐近稳定的。,定理5.2.4 系统状态方程,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,如果存在一个标量函数W(x,t)，它具有连续的一阶偏导数，并且满足条件,1） W(x,t) 在原点的某一邻域内是正定的；,2） 在同样的邻域中是正定的。,例5.2.2 已知系统,试用
16、李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。,解: 显然，原点 是唯一平衡点,取 ，则,又因为当 时，有 所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,例5.2.3 已知系统,试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。,解: 系统具有唯一的平衡点,取,则,因为除原点处外， 不会恒等于零。,所以系统在其原点处大范围渐近稳定。,当 时，,例5.2.4 系统的状态方程为,试确定系统在其平衡状态的稳定性。,则,于是知系统在原点处不稳定。,返回,5.2.3 几点说明,1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4）若不
17、能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。,5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。经验表明，李雅普诺夫函数最简单的形式是二次型，即,返回,P 为实对称方阵。,5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用,返回,5.3.1 用李雅普诺夫方法判断线性系统的稳定性*5.3.2 用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题*5.3.3 用李雅普诺夫函数估计线性系统动态响应的快速性*5.3.4 利用MATLAB进行稳定性分析,线性时不变系统,5.3.1 用李雅普诺夫方法判断线性系统的稳定性,候选
18、的李雅普诺夫函数：V(x)=xTPx李雅普诺夫函数：本身是正定，时间导数负定！沿系统轨线的时间导数,式中,为正定的。,A为nn常数非奇异矩阵。系统在平衡状态x=0处是大范围渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定的实对称阵Q，存在一个正定的实对称阵P，它们满足李雅普诺夫(矩阵代数)方程,定理5.3.1 设系统的状态方程为,标量函数 xTPx 就是系统的李雅普诺夫函数。,注意：,(1) 如果 沿任意一条轨迹都不恒等于零，那么Q可取为半正定的。,(2) 如果取一个任意的正定矩阵(或，若 沿一轨迹不恒等于零时，取为半正定矩阵)，并求解矩阵方程式以确定P，则对于系统在 x=0 的平衡状态是渐近稳定的来说
19、，P为正定是个充分必要条件。分析过程：先确定Q，再由方程计算P，判断P的正定性。,(3) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵Q的各元素相等，这就导致有个线性代数方程。如果用表示矩阵A的特征值，当它们两两不相等，且每两者之和有,时，矩阵P 的元素是惟一确定的。实际上，如果矩阵A 表示一个稳定系统， 总是不等于零的。,(4) 只要矩阵Q选成是正定的（或在许可时选为半正定的），那么对系统渐近稳定的最终结果与Q 的具体选取无关。据此，在确定是否存在一个正定的实对称矩阵 P 时，可简单地取Q=I，I为n维单位阵。即根据,求取P，然后检验P是否为正定的。,例5.3.1分析下列系统稳定性,解：令,解上述
20、矩阵方程，有,因为,可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。,系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为,有,系统大范围渐近稳定。,G为nn常数非奇异矩阵，原点x=0是平衡状态。系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是给定任一正定的实对称阵Q，存在一个正定的实对称阵P，满足,定理 5.3.2设线性离散时间系统的状态方程为,标量函数 xTPx 就是系统的一个李雅普诺夫函数Vx(k)。,如果,沿任一解的序列不恒等于零，则Q可取半正定的。,可先给定Q为正定实对称矩阵，根据方程求矩阵P，然后检验P的正定性，从而判断系统在原点处是否为渐近稳定。同时也可简单地取Q=I，I为n维单位阵。,例5.3.
21、2 试确定系统在原点的稳定性。,解：在李雅普诺夫方程中，取Q =I，得,由此解出,从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。,返回,例 确定系统,渐近稳定的条件。解：离散时间李雅普诺夫方程,矩阵P正定的条件，即系统渐近稳定的条件,式中系数矩阵A()是一个带有可调参数的矩阵，希望当在任意初始条件下转移到原点，且性能指标,*5.3.2 用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题,设所考虑的系统为,取极小值的情况下，确定其可调参数。Q是一个正定或半正定的实对称矩阵。这个问题称为参数最优化问题。,求解时，可把二次型性能指标xTQx和系统的李雅普诺夫函数之间建立直接的联系，并利用这种联系求解可调参数 。,如果
22、A()稳定，则存在一个正定的矩阵P使下式成立,Q1是任意给定的正定实对称阵。且有,是系统的一个李雅普诺夫函数及,可得,取Q1 = Q，代入二次型指标表达式，于是有,对于同一个渐近稳定的系统，总有,于是,求取J的极小值的过程也就是使得A的可调参数达到最优值的过程。,例5.3.3 给定系统的状态方程为,试确定阻尼比 0 的值，使系统的性能指标,其中,达到最小值。,解得,于是有,解：由 ，知,再令,于是得,将 代入上式，知,假定所给系统的输出,则有,则,由上述结果易知，若,性能指标,此时,时意味着,式中,这是偏差平方与偏差速度平方之和的积分指标，此时的最优值 =0.707。,返回,例 确定增益K的范
23、围，以使得系统是渐近稳定的。,在工业应用中常常需要根据工况，给出一些参数的在线调节范围。,解：首先给出系统的状态空间实现,针对自治系统，考虑稳定性。解以下方程,可得原点是惟一的平衡状态。,选取半正定矩阵,沿系统任意轨线,上式不恒等于零。李雅普诺夫矩阵方程是,求解线性方程组，可得,矩阵P正定的充分必要条件是,当0K6时，系统在原点处是大范围渐近稳定的。,*5.3.3 用李雅普诺夫函数估计线性系统动态响应的快速性,返回,*5.3.4 利用MATLAB进行稳定性分析,1、李雅普诺夫第一方法例5.3.5 某控制系统的状态方程描述如下，试判断其稳定性。,解：编辑*.m文件,2、李雅普诺夫第二方法例5.3
24、.6 系统为,试由李雅普诺夫第二方法判别系统的稳定性。,解：编辑*.m文件，取Q=I,返回,P = 1.4825 0.5825 0.0125 0.5825 0.6825 0.3125 0.0125 0.3125 0.3825,*5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用,返回,5.4.1 克拉索夫斯基方法5.4.2 变量梯度法,5.4.1 克拉索夫斯基方法,定理5.4.1 设系统的状态方程为,式中 ，设 f(x) 对 可微。,系统的雅克比矩阵为,令,那么x=0渐近稳定。如果随着,其中 为F(x)的共轭转置矩阵，如果,当 时，有,所以 x=0渐近稳定。,在 时,x=0大范围渐近稳定。,所以,解:
25、由,例5.4.1 利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在x=0平衡状态的稳定性。,且 时，有,所以x=0是大范围渐近稳定的。,更为普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下： 设系统的状程态方为,其平衡状态x=0为渐近稳定的条件是，存在正定的赫米特矩阵P和Q，能在所有的 x 0,则系统在平衡状态大范围渐近稳定。,当 时，若有,时，使得下式中的矩阵 为负定的,李雅普诺夫函数为,返回,5.4.2 变量梯度法,返回,小结,李雅普诺夫第二方法 基本概念 原理 在线性系统和非线性系统中的应用李雅普诺夫方法的优点 无需系统方程的解，即可分析系统稳定性 适用于线性、非线性及时变系统,李雅普诺夫方法的局限性 非线性特性能用解析表达式描述时才能求出李雅普诺夫函数 李雅普诺夫函数不易求得,返回,第五章结束,
