1、 第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页 姓名_ 年级_ 学校_ 座位号_ 密 封 线 内 禁 止 答 题 绝密启用前 2017年学而思数学超常班选拔考试试卷 六年级 考 生 须 知 1本试卷共 4页，20题 2本试卷满分 150分，考试时间 90分钟 3在试卷密封线内填写姓名、年级、学校、座位号 一、 填空题 （每 题 6 分， 共 96 分， 将答案填在下面的空 格处 ） 1. 2 5 8 200 _ 【答案 】6767 【解析 】先 求项 数： 200 - 2 3 1 67 ，再 求和： 2 200 67 2 6767 2. 已知 2 3 a b a b ，则 (1 2) 3=
2、_ 【答案 】25 【解析 】1 2 2 1 3 2 8 ，1 2 3 8 3 2 8 3 3 25 3. 下图含有_个不同的三角形 【答案 】10 【解析 】分 类枚 举：1 块 ：4 个 ；2 块：3 个 ；3 块 ：2 个 ，5 块：1 个 ，共 10 个 4. 有两根材料相同但粗细不同的蜡烛 A 和 B同时点燃，过了 4小时， A 蜡烛还剩一半， B蜡烛还剩 18厘米； 继续燃烧，当 A 蜡烛燃烧完毕时， B 蜡烛还剩 10厘米问 B蜡烛还能燃烧_小时 【答案 】5 【解析 】 A 蜡 烛 4 小时 烧 掉 一半 ，则 剩下 一半 也 是 4 小时 ； B 蜡 烛 4 小 时从 剩 1
3、8 厘米 变为 剩 10 厘米 ，8 厘 米， 一次 1 小时 烧 掉 2 厘 米， B 蜡 烛还 能燃 烧 102=5 小 时 5. 如下图，长方形的面积为 140， F G 与 A D平行，已知 4 A E ， 6 B F ，则三角形 B E G的面积为 _ 【答案 】58 【解析 】 1 70 2 B E G B E F E F G B F G A B C D S S S S S 长 ，则 70 - 70 - 6 4 2 58 B E G B E F S S 6. 已知三个连续的自然数的乘积为 1320，这三个数的和为_ 【答案 】33 【解析 】 3 1320=2 3 5 11 ，此时
4、 和 为 10+11+12=33 7. 1100 以内，即不含数字 9，又不是 9的倍数的数有_个 【答案 】73 【解析 】9 的倍 数：11 个 ；含 9: 个位 为 9 的 10 个， 十位 为 9 的 10 个， 其中 99 重复 ，共 10+10-1=19 个 ；既 含 9 又是 9 的倍 数：9 ，90 ，99 ，共 3 个，11+19-3=27 （ 个），100-27=73 （ 个） 8. 艾迪和薇儿在清点这个学期获得的总卡片数时发现，薇儿获得卡片数恰好为艾迪的 19 22 若艾迪给薇儿 7 张，艾迪还是比薇儿多，但若给 8 张，则将比薇儿少，问他们本学期共获得卡片_张 【答案
5、】205 【解析 】设 艾迪 的卡 片数 为 22 份， 则薇 儿的 卡片 数 为 19 份， 艾迪 比薇 儿多 3 份艾 迪给 薇 儿 7 张 ，艾 迪少 7 张，薇 儿 多 7 张 ，艾 迪还 是比薇 儿多 ，说 明 3 份大 于 14 张； 同理 ，3 份小 于 16 张 ，因 此 3 份对 应 15 张，一 份 5 张，共 获 得 19+22=41 份，41 5=205 张 9. 这个学期，学校共组织了 4 次集体测试，艾迪在这 4 次测试中分别获得了年级第 4，年级第 3，年级第 2 和 年级第 1 的好成绩，已知 4 次成绩都没有并列的情况，全年级共 286 人，问 4 次测试的总
6、分排名，艾迪最低 排第_名 【答案 】7 【解析 】第 一次 有 3 人超 过艾迪 ；第 二次 有 2 人超 过艾迪 ；第 三次 有 1 人超 过艾迪 ；第 四次 没有 最 坏的情 况 下，超 过艾 迪 的 3+2+1=6 人均不 重复 ，且 最终 总分 都超过 艾迪 ，此 时艾 迪排 名第 7 10. 艾迪和薇儿约定每天同一时间从家出发，相向而行，12:00两人相遇有一天，艾迪比约定时间提前了 10 分 钟出发，最后两人 11:54相遇若换成薇儿比约定时间提前 10 分钟出发，两人将在_（填时间）相 遇 【答案 】11:56 【解析 】艾 迪提 前 10 分 钟 出发， 使得 两人 提前 了
7、 6 分钟相 遇， 即艾 迪 10 分 钟 走的路 程相 当于 两 人 6 分 钟合走 的 路程， 即 10 6 v v v 艾迪 艾迪 薇儿 ，因此 : 3 : 2 v v 艾迪 薇儿 换 成薇 儿提 前 10 分钟 出发 ，薇 儿 10 分钟 走的 路程 相 当于两 人 4 分钟 合走 的路 程（ 10 2 10 3 2 4 v v v 艾迪 薇儿 薇儿 ），两 人将 提 前 4 分 钟相遇 ，相 遇时 间为 11:56 11. 艾迪有两组不同的砝码，第一组砝码为 1 g，2 g，4 g，512 g 各一个，共 10 个；第二组砝码为 1 g，3 g， 9 g，19683 g 各两个，共
8、20个艾迪将第一组砝码全部放在天平的左边，那么天平的右边需要放 _个砝码，才能使得天平恰好平衡 【答案 】7 【解析 】左 边的 重量 为：1+2+ +512=512 2-1=1023 （ g ） ，右 边要 称出 将 1023 转化 为 3 进制 ： 10 3 1023 1101220 ，即1023 1 729 1 243 1 27 2 9 2 3 ，需要 用 1+1+1+2+2=7 个砝 码 G F E D C B A 6 4 第 3 页 共 6 页 第 4 页 共 6 页 密 封 线 内 禁 止 答 题 12. 一个棱长为 5 的正方体，先切出尽量多的棱长为 3的正方体（不能切碎后重新拼
9、装，且保证剩余部分能切出 尽量多的棱长为 2 的正方体），再切出尽量多的棱长为 2的正方体，最后再切出尽量多的棱长为 1 的正方 体，最后共得到_个正方体 【答案 】50 【解析 】棱 长 为 3 的 最多 切出 1 个； 之后 ，棱 长 为 2 的最 多切 出 7 个（8 个 角 落，其 中 1 个已 经被 切掉 ）；最 后 剩下的 体积 为 3 3 3 5 - 3 - 7 2 125 - 27 - 56 42 ，最多 切 出 42 个 棱长 为 1 的正 方体 ， 共 42+7+1=50 个 13. 如下图，正方形 A B C D中， F 是 A D靠近 A的三等分点， E 是 B C靠近
10、 C的三等分点， G是 B F 的中点若 已知正方形 A B C D的面积为 120，则三角形 B E G的面积是_ 【答案 】20 【解析 】 连接 F C ， 根 据一 半模型 ， 三角 形 B F C 的 面 积为 120 2=60 再 根据 鸟 头模型 ， 三角 形 B E G 是 三 角形 B F C 面积的 1 2 1 2 3 3 ，因 此三 角 形 B E G 的面积 为 60 3=20 14. 学而思举办了“教师之星”活动，4位候选人进入了最后的投票环节，共 50名评审，每名评审可弃票，也 可投其中任意几名候选人（最多 4 名）已知最终 4 名候选人获得的票数分别为 38 票，
11、34票，29 票，19 票，问最多有_名评审只投了其中 1 名候选人 【答案 】24 【解析 】共 获 得 38+34+29+19=120 票 ，先 假设 每人 都只 投 1 名 候选 人 ， 此时 还缺 120-50=70 票 最 多 19 人投 了 4 名候 选人 ， 还 缺 70- （4-1 ）19=13 票 ，13 2=6 1 ，还 需 6 人投 了 3 名候 选 人，1 人投 了 2 名候 选人 ，此时 还剩 50-19-6-1=24 名候 选 人 只投 了 1 名候 选人 ，最 多 24 名 15. 在下面的竖式中，填入合适的数字，使得竖式成立，问乘积最小为_ 2 0 1 7 【答
12、案 】83468 【解析 】设 为 2 a bc d e ，则 2= 0 a b c ，则 5 b ， 0 4 c 乘积 最小 ，则 1 a 15 = 7 c d ，若 d 为偶 数， c d 进 7 位 ，不 可能 ； d 为奇数， c d 进 2 位 4 c 时， d 至少 为 5 154 = 1 e ， e 为偶数 ， 4 e 进 1 位，则 4 e ，乘 积最 小为154 542 83468 16. 1+2+63=2016，2016 最多能拆成 63 个连续的非零自然数的和；2+3+4+5+6=20，20 最多能拆成 5 个连续 的非零自然数的和；26+27+51=1001，1001
13、最多能拆成 26个连续的非零自然数的和今天是 11 月 5 日，问 1105 最多能拆成_个连续的非零自然数的和 【答案 】34 【解析 】设 最多 拆 成 n 个 非零自 然数 的和 ，其 中最 小的 为 a ， 最大 的为 a+ n-1 ，则 1 2 1105 a a n n （ ） ，即 2 1 1105 2 2 5 13 17 n a n （ ） ， 2 1 n a 与 n 一奇一 偶， 且 2 1 n a n ，要让 n 尽 量大 ，则 2 1 n a 与 n 尽量接 近， 最接 近为 34 65 ， n 最 大为 34 构造 ：16+17+ +49=1105 二、 解答题 （17
14、，18 每 题 12 分，19 ，20 每 题 15 分， 共 54 分， 写出必要步骤， 否则不得分 ） 17. 今年为 2017 年，2017 的数字和为 10请问，在所有数字和为 10的自然数中，2017 排在从小到大的第几 位？ 【答案 】120 【解析 】1 ）一 位数 没有 ；2 ）二 位数 ： a b ， a 可取 19 ， 共 9 个 ；3 ）三 位数 ： a b c ，若 1 a ， 9 b c ， b 可取 09 ，共 10 个 ；若 2 a ， 8 b c ， b 可 取 08 ， 共 9 个； ； 若 9 a ， 1 b c ， b 可取 01 ，共 2 个 ； 因此
15、三位数 共 10+9+ +2=54 个；4 ）四 位数 ：先 考虑 千 位为 1 的：1 a b c ，若 0 a ， 9 b c ， b 可 取 09 ，共 10 个；若 1 a ， 8 b c ， b 可 取 08 ， 共 9 个； ； 若 9 a ， 0 b c ， b 可取 0 ， 共 1 个 ；因 此千 位 为 1 的 四位 数共 10+9+ +1=55 个 ； 在考虑 千位 为 2 的：2008 ，2017 ， 第 2 个 因 此，2017 排 在第 9+54+55+2=120 个 18. 已知三个自然数 A、 B 、 C（可相同）的最大公因数为 6，最小公倍数为 1080，求（
16、A， B ， C）这样的 有序数对有多少组？ 【答案 】864 【解析 】 , , 6 2 3 A B C ， 3 3 , , 1080 2 3 5 A B C 先 考虑 质因 数 2 的 指数 ，必 有一 个指 数为 1 ，必 有一 个指数 为 3 ，枚 举可 能为 （1 ，1 ，3 ）， （1 ，2 ，3 ），（1 ，3 ，3 ）， 排序 后 ，有 3+6+3=12 种可 能； 同 理，质 因 数 3 的 指数 也 有 12 种可 能 ；最后 看质 因 数 5 的 指数 ，必有 一个 指数 为 0 ，必 有一个 指数 为 1 ，枚 举可 能为（0 ， 0 ，1 ） ，（0 ，1 ，1 ），
17、 排 序后， 有 3+3=6 种可 能， 因此共 有 12 12 6=864 组 19. 100 1 2 100 N ！ ， （1） N的末尾有多少个连续的“0”？ （2）从后往前数，第一个不为“0”的数字是多少？ 【答案 】（1 ）24 ； （2 ）4 【解析 】（1 ）100！ 的末 位 0 的 个数 ， 取决 于质 因 数 5 的 个数 100 =20 5 ， 100 =4 25 ，共 20+4=24 个 ； （2 ） 24 24 24 1 2 3 4 6 7 8 9 11 99 5 10 100 100 10 2 5 A ！ 24 4 1 2 3 4 6 7 8 9 11 99 1 2
18、 20 = 2 5 24 4 1 2 3 4 6 7 8 9 11 99 1 2 3 4 6 7 8 9 11 19 5 10 15 20 = 2 5 G F E A C B D 第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页 姓名_ 年级_ 学校_ 座位号_ 密 封 线 内 禁 止 答 题 24 1 2 3 4 6 7 8 9 11 99 1 2 3 4 6 7 8 9 11 19 1 2 3 4 = 2 ，即 24 1 2 3 4 6 7 8 9 11 99 1 2 3 4 6 7 8 9 11 19 1 2 3 4 2 A ，1 2 3 4 的末 位 为 4 ， 6 7 8 9 的末 位
19、为 4 ， 共 25 组， 25 4 的末位 为 4 ，因 此左 边的末 位 为 4 24 2 的末 位为 6 ，因此 A 的末 位为 4 或 9 明 显 A 为偶数 ，因 此 末位 为 4 20. 如下图，大正方形面积为 1，顺次连接正方形各边的三等分点，得到两个小正方形.求阴影部分面积是多少？ 【答案 】 25 54【解析 】如 图， 标上 字母 并连接 辅助 线 1 1 1 1 3 3 2 1 2 1 2 3 3 2 H I J E I J S H G G E S ， 1 1 1 3 3 2 1 1 1 1 3 3 2 H I K E I K S H F F E S ，因此 ， 1 3 1 1 : : : : 4 : 5 : 3 3 4 3 4 H G G F F E ，从而 5 1 1 1 5 5 12 3 3 2 12 216 I G F I E H S S ， 2 2 5 1 2 5 25 - 4= + - = 216 3 3 54 54 S S 阴影 小正方形K J I H G F E D C B A
