1、环境制图基础 第二章第3节直线的投影,主讲：张杭君2011.9.27,1、从点的投影讲起,点的两面投影,点的三面投影,投影与坐标的关系,两点间的相对位置,重影点及其可见性,点的单面投影,A,a,H,B,若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。,若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。,(b),返回,1.1 点的单面投影,A,a,H,V,两面投影规律： 两投影连线垂直于投影轴；即：a a OX 。 点的一投影到投影轴的距离等于该空间点到另一 投影面的距离。即 aax = Aa ；aax = Aa。,ax,返回,1.2 点的两面投影,a,a,o,X,H,V,W,ax,A
2、,a,a,X,o,三面投影规律：,相邻两投影垂直相应投影轴；,点到某一投影面的距离等于该点另外两投影到相应投影轴的距离。,Aa”=aaz=aay Aa=aax=a”az Aa=aax =a”ay,1.3 点的三面投影,aaOX；aa” OZ aayOY;a”ayOY,设空间点坐标为A(X,Y,Z)，则：,Xaaza ay （空间点A到W面的距离）,Ya ax aaz （空间点A到V面的距离）,Zaaxaay （空间点A到H面的距离）,返回,1.4 点的投影与坐标关系,1.5 两点的相对位置,两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点
3、在前；Z坐标值大的点在上。,X,V,Z,H,A,a,a,a“,Z,Y,W,B,(b),b,b“,a,a,a“,(b),b,b“,返回,1.6 两点相对位置重影点,2、直线的投影,空间两点确定一条空间直线段 空间直线段的投影一般仍为直线 如图所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线 段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。,例题1已知直线上两点A（30，30，10）和 B（10，10，30），求直线AB的三面投影。,A,B,b,a,C,D,c,d,E,F,e ( f ),空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的
4、位置具有不同的投影特性。 1收缩性 当直线段AB倾斜于投影面时，如图（a），它在该投影面上的投影 长度比空间AB 线段缩短了，这种性质称为收缩性。 2真实性 当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。如图（b）。 3积聚性 当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。如图（c）。,2.1 直线的投影特性,直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：,（1）一般位置直线,（2）投影面平行线,（3）投影面垂直线, 直线与三个投影面均倾斜。, 直线平行于其中的一个投影面， 倾斜于另外两个投影面。, 直线垂直于某一投影面。,
5、2.2 直线的投影分类,直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：,水平线,直线平行于H面，倾斜于V、W面。,正平线,直线平行于V面，倾斜于H、W面。,侧平线,直线平行于W面，倾斜于H、V面。,2.2.1 投影面平行线,投影面平行线的性质,投影面平行线的性质,平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。,以水平线为例：按照定义，它平行于H面，线上所有点与H面的距离 都相同，这就决定了它的投影特性是： （1）AB 的水平投影 =AB ，即反映实长； （2）正面投影平行于OX轴，即 OX轴； （3）侧面投影平行于OYw轴，即 OYw轴； （4）水平投影 与OX 轴的夹角，
6、反映该直线对V面的倾角； 水平投影 与OY轴的夹角，反映该直线对W面的倾角。 其它二投影面平行线的分析同上。,投影面平行线,投影面平行线的投影特性概括为： （1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角； （2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。投影面平行线的辨认： （1）当直线的投影有两个平行于投影轴时； （2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。,垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。 按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分
7、为：,铅垂线,直线垂直于H面，平行于V、W面。,正垂线,直线垂直于V面，平行于H、W面。,侧垂线,直线垂直于W面，平行于H、V面。,投影面垂直线,2.2.2 投影面垂直线,如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。,投影面垂直线,由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图。此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为： （1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长； （2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对
8、投影面的倾角。,2.2.3 投影面一般位置直线,判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。,例题2判断直线相对于投影面的位置,（1）点的从属性若点在直线上，点的各个投影一定在直线的同面投影上。 （2）点的定比特性空间的点分直线成定比，那么点的各投影一定分直线的同面投影成相同的比例。,2.3 直线上点的特性,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K 点在直线 AB 上,【例题3】判定下题中，点K是否在直线AB上？,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,k,k,a,b,k,K点不在直线AB上,O,【例题4】判断点K是否在直线AB上。,a,b,a,b,C
9、 ,c,X,O,【例题5】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法： 一是利用直角三角形法 二是利用换面法,2.4 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W投影长,直角三角形法则,如图（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：
10、AC=ab、BC=ZBZA，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角BAC=，而B、A点的高度为坐标，可从b和a中得到。由此，通过一般的几何作图便可得到如图（c）或（d）所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。 作图方法： （1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（ZBZA），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。 （2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为。 用同样的方法，即可求出角和角：ab=ZBZC（ZA） ad =YAYD（YB） ae=XAXE（XB）,利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角,【例题6】试在直线AB
11、上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取 AC=25mm,c,c,【例题7】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影。,量取YAB,R=40mm,YAB,a,b,a,b,【例题8】已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。,a,b,a,b,YAB,量取YAB,【例题9】已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。,a,b,a,b,zAB,直线的H投影长,以直线的H投影长 为半径，作圆弧,直线AB真长,两直线的 相对位置,两直线交叉,两直线相交,两直线平行,2.4 两直线的相对位置,2.4 两直线的
12、相对位置,（1）平行两直线,2.4 两直线的相对位置,投影特性：空间两直线互相平行，其同面投影都互相平行，空间直线之比与直线各同面投影成相同的比例；反之也成立。,根据平行直线的投影特性，可判别两直线是否平行或作一直线与另一直线平行。 判定方法： （a）一般情况下，只要看它们的两个同面投影是否平行就可以了； （b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所平行的那个投影面上的是否平行才能判定。,（2）相交两直线,2.4 两直线的相对位置,投影特性：空间两直线相交，交点为两直线的共有点，直线的同面投影必相交；空间两直线交点的投影一定在直线同面投影的交点上。,根据相交直线的投影特性，可
13、判别两直线的空间位置。 （1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的的规律。这是因为交点是两直线的共有点； （2）反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交； （3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直线的第三投影来判定。,（3）交叉两直线,2.4 两直线的相对位置,投影特性：交叉直线无交点，若投影图中其同面投影出现交点，是因为两直线上存在该投影面的重影点，根据重影点的可见性，可判别交叉直线之间的相对位置。,既不平行又不相交的空间两
14、直线称为交叉直线，又称为异面直线。,由重影点的可见性可以判别空间直线的相对位置。,【例题10】判断两直线的相对位置（方法一）,两直线交叉,【例题11】判断两直线的相对位置(方法二）,1,=1d,=1c,两直线交叉,【例题12】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。,(k),l ,l,k,作kle f ,作klef,【例题13】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30夹角。,ZCD,CD水平投影长,CD真长,以CD水平投影长为半径作弧,d,有两解,d,直角投影规律：空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。,2.5 一边平行于投影面的直角投影,两直线交叉垂直,【例题14】求点K到直线AB的距离 。,【例题15】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,【例题16】求两直线AB、CD之间的距离。,n,m,m,两交叉线间距离,【例题17】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。,a,f,e,e,f,a,b,c,d,b,d,c,o,o,=XAO,XAO,半对角线长,
