1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合 ，集合 为整数集，则2|0AxBABA B C D,0,1,1,0【答案】A【解析】 ， ，故|2xZ,22在 的展开式中，含 项的系数为6(1)3xA B C D30150【答案】C【解析】含 项为3x2436()x3为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上sin1ysin2yx所有的点A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度21C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度1【答案】A【解析】因为
2、 ，故可由函数 的图象上所有的点向左平行移动1sin(2)si()2yxxsin2yx12个单位长度得到4若 ， ，则一定有0abcdA B C Dcabcabdc【答案】D【解析】由 ，又 ，由100dc0ab不等式性质知： ，所以abcd5执行如图1所示的程序框图，如果输入的 ，则,xyR输出的 的最大值为SA B C D 023【答案】C【解析】当 时，函数 的最大值为2.01xy2Sxy6六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A 种 B 种 C 种 D 种192162408【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有 种；当最左端为乙时，不同的
3、排法共有 种。5A14CA共有 + 种5A14C92167平面向量 ， ， （ ），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则(,)a(4,)bcmabRcacbmA B C D2【答案】D【解析1】 (4,2)cm因为 ， ，所以 ，又os,|acos,|cb|cab|2|a所以 即2cb2(4)(2)4()2()mm【解析2】由几何意义知 为以 ， 为邻边的菱形的对角线向量，又 故cab|b8如图，在正方体 中，点 为线段 的中点。设点 在线段1ABCDOBDP上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 1COPsinA B C D3,6,362,32,13【答案】B【解析】直线 与平面 所
4、成的角为 的取值范围是P1AD，1,22AO由于 ， ， 6sin316326sinCOsin12所以 的取值范围是i,9已知 ， 。现有下列()ln1)l()fxx(1,) ； ； 。其中的所有正确()(fxf2()(1xff|()|2|fxA B C D 【答案】B【解析】 故正确()ln)l()(fxxf1()l1)l()lf 22211()lnln()ln2()xxf f当 时，0,1)x|()|2|()0fxfx令 （ ）(ln1l2g,1)x因为 ，所以 在 单增，2)xx (g,()2(0)gxfxg即 ，又 与 为奇函数，所以 成立故正确(2f()fy|)|2|fx10已知 是
5、抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为F2ABxOAB坐标原点），则 与 面积之和的最小值是ABOFA B C D2317810【答案】B【解析】方法1：设直线AB的方程为： ，点 ， ，又 ，直线AB与 轴的交点 （xtym1(,)Axy2(,)B1(,0)4Fx(0,)Mm不妨假设 ）10y由 ，所以22 0xtyt12ym又 12()0OABx因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故x12y2于是 12 1199() 3488ABOFSy y当且仅当 时取“ ” 1192483y所以 与 面积之和的最小值是 3方法2：BC二填空题：本大题共5小题，
6、每小题5分，共25分。11复数 。21i【答案】 i【解析】22()(1)iiii12设 是定义在R上的周期为2的函数，当 时， ，则()fx 1,)x24,10,(),xxf。3()2f【答案】 1【解析】 21()4()2ff13如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河673046m流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据： ，msin.92， ， ， ）cos670.39sin70.6cos370.831.【答案】 60【解析】 ，92AC9292sinsin370.6i6ACB14设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动
7、直线 交于点 ，则mR0xmy30mxy(,)Pxy的最大值是 。|P【答案】 5【解析】方法1：， ，因为 ，所以(0,)A(,3)BPAB22|10PAB故 （当且仅当 时取“ ”）22| 5P|5方法2：15以 表示值域为R的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数AB()x()x，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时，M()x,M312()sinx， 。现有如下1()x2()xB设函数 的定义域为 ，则“ ”的充要条件是“ ， ， ”；fD()fAbRaD()fb函数 的充要条件是 有最大值和最小值；x若函数 ， 的定义域相同，且 ， ，
8、则 ；()fxg()f()gxB()fxgB若函数 （ ， ）有最大值，则 。2ln()1axaR其中的真【答案】三解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16已知函数 。()sin3)4fx（1）求 的单调递增区间；（2）若 是第二象限角， ，求 的值。()cos()s2354fcosin解：（1）由 24kxk3312kkx所以 的单调递增区间为 （ ）()fx,312Z（2）由 4()cos()s235f4in()cos()s25因为 csin2i()si4所以 8i()cos()in45又 是第二象限角，所以 或i0425cos()48由 （ ）3s
9、in()024kkZ所以 3coicosin4由 25515s()()(cosin)4822所以 coin2综上， 或si5cosin217一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。2012（1）设每盘游戏获得的分数为 ，求 的分布列；X（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分
10、数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。解：（1） 可能取值有 ，10，20，100X20， ，0331(2)()8PC1233(0)()8PXC，2 01故分布列为 X010 20 100P 18383818（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是 17p则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 031351()82C（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为 的数学期望是X分1310()20)20888EX这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。18三棱锥 及其侧视图、俯视图如图所示。
11、设 ， 分别为线段 ， 的中点， 为线段ABCDMNADBP上的点，且 。BCMNP（1）证明： 为线段 的中点；（2）求二面角 的余弦值。解：（1）由三棱锥 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 中：ABCDABCD平面 平面 ，B2CB设 为 的中点，连接 ，OO于是 ， 所以 平面ACBOAC因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 ，又 ，故MNAD/MNBDNPBD假设 不是线段 的中点，则直线 与直线 是平面 内相交直线PP从而 平面 ，这与 矛盾BD60所以 为线段 的中点C（2）以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，OBOAxyz则 ， ， ，(0,3)A1
12、3(,0)2M13(,0)2N1(,0)2P于是 ， ，,N,P,M设平面 和平面 的法向量分别为 和1(,)mxyz2(,)nxyzCABDMNP由 ，设 ，则0ANmP11302xzy1z(3,1)m由 ，设 ，则0MnN2230xyz21z(0,1)ncos, 5|mn所以二面角 的余弦值AP1019设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（ ）。nad(,)nab()2xf*nN（1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；1287(,4)bfxnaS（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项fx2(,)x12lnnab和 。nT解：（1）
13、点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差为(,)nab()xf2nabnad所以1122nnadna因为点 在函数 的图象上，所以 ，所以87(,4)b()fx8742ab8724db2d又 ，所以12a1 32nSadnn（2）由 ()()lxxff函数 的图象在点 处的切线方程为2,b22(l)aybx所以切线在 轴上的截距为 ，从而 ，故x1lna21lnl从而 ， ，na2nb231nnT 234112n nT所以 2341n n 11nn故 nnT20已知椭圆C： （ ）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角21xyab0a形。（1）求椭圆C的标准方程；（2）
14、设F为椭圆C的左焦点，T为直线 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。3x（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当 最小时，求点T的坐标。|PQ解：（1）依条件222634caabb所以椭圆C的标准方程为 16xy（2）设 ， ， ，又设 中点为(3,)Tm1(,)P2(,)QP0(,)Nxy（i）因为 ，所以直线 的方程为：20F2xmy22(3)4016xyy所以22128()(1)43mmy于是 ，1023ym20 263xym所以 。因为226(,)NOTONkk所以 ， ， 三点共线OT即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）（ii） ，2|1Fm2221
15、4(1)|13mPQy所以 ，令 （ ）222| 34()4()3TPQ2x则 （当且仅当 时取“ ”）2| 1()36Fxx2x所以当 最小时， 即 或 ，此时点T的坐标为 或|TFPQ2x1m(3,1)(,)21已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数。()feab,abR2.78e（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；gxx()gx0,（2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围()0f()f(0,1解：（1）因为 所以 又2xeab()2xfeab()2xgea因为 ， 所以：,x1若 ，则 ， ，2a()0xg所以函数 在区间 上单增，()gx0,min()1g
16、b若 ，则 ，1e12ae于是当 时 ，当 时 ，0ln()x(0xgl(2)ax()20xgea所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增，g0,l)n,1min()l(2)n(2aab若 ，则 ，e)0xge所以函数 在区间 上单减，()gx0,1min()12geab综上： 在区间 上的最小值为()gx0,1min1,()2ln(),2,egxabae（2）由 ，又(1)0f10eab1a(0)f若函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间x(,)()fx,由（1）知当 或 时，函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间2g ()fx内至少有三个单调区间 ”这一要求。(0,)若 ，则2eamin()2ln()32ln()1gxabae令 （ ）3()l1hxe则 。由1ln2 ()ln02hxxe所以 在区间 上单增，在区间 上单减()hx(1,)e(,)e即 恒成立ma3ln102min()0gx于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间()fx(0,)21ea21e又 所以12ea21a综上， 的取值范围为 (,)e
