1、ABC1DEF1ABCSGFE2013 年普通高等学校统一考试数学试题卷 必做题部分一填空题1函数 )42sin(3xy的最小正周期为 。2设 )z（ 为虚数单位） ，则复数 z的模为 。3双曲线 1962的两条渐近线的方程为 。4集合 ,0共有 个子集。5下图是一个算法的流程图，则输出的 n的值是 。6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次甲 87 91 90 89 93乙 89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。7现在某类病毒记作 nmYX，其中正整
2、数 ， n（ 7m， 9）可以任意选取，则 nm， 都取到奇数的概率为 。8如图，在三棱柱 ABC1中， FED， 分别是 1ACB，的中点，设三棱锥 EF的体积为 1V，三棱柱 A1的体积为 2V，则 21:V 。9抛物线 2xy在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D（包含三角形内部与边界） 。若点 ),(yP是区域 内的任意一点，则 yx的取值范围是 。10设 ED， 分别是 ABC的边 ， 上的点， AB21， E32，若21（ 21， 为实数） ，则 1的值为 。11已知 )(xf是定义在 R上的奇函数。当 0x时， xf4)(，则不等式 xf)(的解集用区间表示为 。12在平面直
3、角坐标系 Oy中，椭圆 的标准方程为 0,(12bay，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF的距离为 d， F到 l的距离为 2d，若 16d，则椭圆 C的离心率为 。13在平面直角坐标系 xy中，设定点 ),(aA， P是函数 xy（ 0）图象上一动点，若点AP，之间的最短距离为 2，则满 足条件的实数 的所有值为 。14在正项等比数列 na中， 15， 376，则满足 nnaa 2121的最大正整数n的值为 。二解答题：15本小题满分 14 分。已知 (cos,in)(cos,in)b ， ，0。（1）若 |2ab，求证： a；（2）设 0,1，若 c，求
4、,的值。16本小题满分 14 分。如图，在三棱锥 ABCS中，平面 S平面 BC， ，xyA lOCBAABS，过 作 SBF，垂足为 F，点 GE，分别是棱 SCA，的中点.求证：（1）平面 /EG平面 AC； （2） SB.17本小题满分 14 分。如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 )3,0(，直线42:xyl,设圆 的半径为 1，圆心在 l上。（1）若圆心 也在直线 xy上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；（2）若圆 C上存在点 M，使 2，求圆心 的横坐标 a的取值范围。18本小题满分 16 分。如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至 C处有两种路径。一种是从 沿直线步行到 ，
5、另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B，然后从 沿直线步行到 。现有甲乙两位游客从A处下山，甲沿 匀速步行，速度为 min/50。在甲出发 in2后，乙从 A乘缆车到 ，在 B处停留 min1后，再从匀速步行到 。假设缆车匀速直线运动的速度为 mi/130，山路 长为 m1260，经测量， 132cos， cosC。（1）求索道 B的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19本小题满分 16 分。设 na是首项为 ，公差为 d的等差数列 )0(d， nS是其前 项和。记cnSb2， *N，其中
6、c为实数。（1）若 0，且 421b，成等比数列，证明： knkS2（ *,N） ；（2）若 是等差数列，证明： 0。20本小题满分 16 分。设函数 axfln)(， axeg)(，其中 为实数。（1）若 在 ,1上是单调减函数，且 )(g在 ),1上有最小值，求 a的取值范围；（2）若 g在 上是单调增函数， 试求 f的零点个数，并证明你的结论。卷 附加题部分选做题第 21 题，本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21A.选修 4-1：几何证明选讲本小题满分 10 分。如图， A
7、B和 分别与圆 O相切于点 ， ,经过圆心 O，且 2BC求证： 2C21B.选修 4-2：矩阵与变换本小题满分 10 分。已知矩阵 102,6，求矩阵 BA1。21.C.选修 4-4：坐标系与参数方程本小题满分 10 分。在平面直角坐标系 xoy中，直线 l的参数方程为 tyx2 （ t为参数） ，曲线 C 的参数方程为tan2yx（ 为参数） ，试求直线 l与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。21D.选修 4-5：不定式选讲本小题满分 10 分。已知 b0，求证： baba232必做题第 22、23 题，每题 10 分，共 20 分。请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤。22本小题满分 10 分。如图，在直三棱柱 1ABC中， ACB, 2, 41A,点 D是 BC的中点（1）求异面直线 与 D所成角的余弦值（2）求平面 与 所成二面角的正弦值。23本小题满分 10 分。设数列 2,344na： ， -， ， -， ， -， ， ，-1 -1kk k 个（ ） ， ， （ ），即当 1122kkn（ ） （ ） N时，na（ ），记 12nnSa N，对于 l，定义集合 lP是 的 整 数 倍 ， ， 且（1）求集合 1中元素的个数； （2）求集合 20P中元素的个数。参考答案一、填空题1 25 3 xy4 48 53 62
9、7 2063 8 1:4 9 21,10 11 ,50, 1213 或 1412二、解答题15解：（1） 2|ba 2|ba 即 22baba，又 1sinco|22， 1sinco2 0ba （2） )1,0(si,( i0cos即 sin1sico 两边分别平方再相加得： 2 2 2 61,516证明：（1） ABS， SFF 分别是 SB 的中点EF 分别是 SASB 的中点 EFAB又EF 平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC同理：F G平面 ABC又EF FG=F, EFFG 平面 ABC平面 /EG平面 ABC（2）平面 S平面 C平面 AB平面 =BCAF平面 SA
10、BAFSBAF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , ABAF=A, ABAF 平面 SAB BC平面 SAB 又SA 平面 SABBCSA17解：（1）由 142xy得圆心 C 为（3,2） ，圆 的半径为 1圆 C的方程为： )()3(2显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为 3kxy，即 03y 123k 2k 0)4( 或者 4k所求圆 C 的切线方程为： 3y或者 x即 y或者 12yx（2）解：圆 的圆心在在直线 2:l上，所以，设圆心 C 为（a,2a-4）则圆 的方程为： 1)4()(2ax又 MOA设 M 为（x,y）则 223(yxyx整理得： 4
11、)1(22yx设为圆 D点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即：圆 C 和圆 D 有交点 )1(4(1222a由 085a得 Rx由 得 5终上所述， a的取值范围为： 512,018解：（1） 3cosA， cosC ），（、 20CA 1in， 4i 653sincosinsnsi CAAB）（）（根据 iniA得 mCB104i（2）设乙出发 t 分钟后，甲乙距离为 d，则 132)50(132)0()3(22 tttt )5073(02d 14t即 8t 375时，即乙出发 37分钟后，乙在缆车上与甲的距离最 短。（3）由正弦定理 sinBiAC得 501362sinA（m）乙从
12、 B 出发时，甲已经走了 50（2+8+1）=550（m） ，还需走 710 m 才能到达 C设乙的步行速度为 V i/,则 5071v 350713v 462为使两 位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟，乙步行的速度应控制在 14625,30范围内法二：解：（1）如图作 BDCA 于点 D，设 BD20k，则 DC25k，AD48k，AB52k，由 AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）设乙出发 x 分钟后到达点 M，此时甲到达 N 点，如图所示则：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN 2AM 2AN 22 AMANcosA7400 x 214000 x10
13、000，其中 0x8，当 x (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短3537（3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用时： (min)126050 1265若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时： 3 (min)，在 BC 上用时： (min) 1265 1415 865此时乙的速度最小，且为：500 m/min865 125043若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时： 3 (min)，在 BC 上用时： (min) 1265 1115 565此时乙的速度最大，且为：500 m/min565 62514故乙步行的速度应控制在 ， 范围内125043 62514CBADMN19证
14、明： na是首项为 ，公差为 d的等差数列 )0(d， nS是其前 项和 dSn2)1(（1） 0c naSbn21 42b，成等比数列 41b )23()2(dada da 0)(d 1 a nnanS 22)1(左边= kk2 右边= akS左边=右边原式成立（2） nb是等差数列设公差为 1d， 11)(dbn带入 cnSb2得：11)(dcSn2 )(2()2( 113 bda 对 Nn恒成立 0)(2011bdca由式得： 2 0d 1由式得：法二：证：（1）若 c，则 dnan)(， 2)1(adnS， 2)1(adnb当 421b，成等比数列， 412b，即： 3dda，得： 2
15、，又 0，故 由此： nS2， aknnk)(， aknS22故： kk（ *,N） （2） cndcnb221， cnadnadadn22 2)1()1()1(2)(2)( ()若 nb是等差数列，则 BAbn型观察() 式后一项，分子幂低于分母幂，故有： 0)1(2cad，即 02)1(adc，而 2)1(adn0，故 0c经检验，当 时 nb是等差数列20.解：（1）由 01)( axf即 x对 ),1(恒成立， max1而由 ,(x知 1 由 egx) 令 )(g则 ln当 aln时 0，当 x a时 )(xg0， (在 ,上有最小值 1 综上所述： 的取值范围为 ),(e（2）证明：
16、 )(xg在 1上是单调增函数 0)( ae即 x对 ),1(恒成立， minx而当 ,1时， x e ea分三种情况：（）当 0a时， xf1)(0 f（x）在 ),0(x上为单调增函数 )1(f f（x）存在唯一零点（）当 0 时， af)( 0 f（x）在 ),(上为单调增函数 1)(aaeef0 且 f)1(0f（x）存在唯一零点（）当 0 时， xf)( ，令 xf得 a1当 0 x a1时， af)( 0； 时， xaf)1()( 0 为最大值点，最大值为 1ln1ln)(af当 1ln时， lna， e， )(xf有唯一零点 e当 1lna0 时，0 ea1， )(xf有两个零点
17、实际上，对于 0 ，由于 ea1ln0， 1ln1ln)(aaf 0且函数在 ae,上的图像不间断 函数 )(xf在 ,上有存在零点另外，当 x1,0， axf1)( 0，故 在 a,0上单调增， )(xf在 a,0只有一个零点下面考虑 )(f在 ,a的情况，先证 )(lnln)( 11111 2 a eeeef 0为此我们要证明：当 e时， x 2，设 2xh ，则 xh) ，再设xel2)( 当 1 时， )(xl -20， exl)(在 ,1上是单调增函数故当 2 时， eh2 42h0从而 2x在 ,上是单调增函数，进而当 x e时， 2)(xeh 2)(eh0即当 e时， x ，当
18、0 a 1时，即 1e 时， lnln)( 11111 2aaaaef 0又 lnln)(f 0 且函数 )(xf在 1,e上的图像不间断，函数 )(xf在 1,ae上有存在零点，又当 a时， xaf)()(0 故 )(xf在 ,1a上是单调减函数函数 )(xf在 ,1只有一个零点综合（） （） （）知：当 0时， )(xf的零点个数为 1；当 0 e1时， )(f的零点个数为 221A 证明：连接 OD，AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C 09CBDO,又 A RT A 又BC=2 OC=2OD AC=2AD21B 解：设矩阵 A 的逆矩阵为 dcba ,则 201 dcba
19、 = 10 ，即 dcba2 =10 ，故 a=-1，b=0，c=0，d= 21矩阵 A 的逆矩阵为 1 , BA1= 0 6= 30221C 解：直线 l的参数方程为 tyx1 消去参数 t后得直线的普通方程为 02yx 同理得曲线 C 的普通方程为 2 联立方程组解得它们公共点的坐标为 )2,(， )1,21D 证明： baba232)(323ba)(22ba)()()(2a又 0， 0， 0, )b 23ba a222本题主要考察异面直线二面角空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。解：（1）以 1,ACB为为单位正交基底建立空间直角坐标系 xyzA，则 )0,(
20、A),2(B， )0,(C, )4,(1A, )01(D, )4,2(C 41, 1 382cos1D异面直线 BA1与 C所成角的余弦值为 10（2） )0,2( 是平面 1A的的一个法向量设平面 1的法向量为 ),(zyxm， ),(D, )4,20(1AC由 1,Dm 042zyx 取 z，得 2,，平面 1的法向量为 )1,2(m设平面 1AC与 1B所成二面角为 324,cos mAC ， 得 35sin平面 1AD与 1B所成二面角的正弦值为 523本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。（1）解：由数列 na
21、的定义得： 1a， 2， 3a， 34， 5a， 36， 47a，48a， 9， 410， 5 1S， 2， 3S， 0， S， 6， 27S， 8， 9S，0， 51 1aS， 440， 551aS， 662a， 11aS集合 P中元素的个数为 5（2）证明：用数学归纳法先证 )()12(ii事实上，来源:Z_xx_k.Com 当 1i时， 33)12(Si 故原式成立 假设当 m时，等式成立，即 )12()12( mm 故原式成立则： i，时， 22)12(32)(11)(2 )()1()( mSSm5综合得： )(ii 于是 )1(2)()(21212)( iiii由上可知： (iS是 i的倍数而 1,12)( ijaji ，所以 )12()12(ijSiji 是),(ii 的倍数又 (12)i 不是 2i的倍数，而 ),(jij 所以 )2()1()12()12 ijiiSii 不是 )2,1(12)( ijai 的倍数故当 (l时，集合 lP中元素的个数为 -3）（于是当 ）（ ij)i 时，集合 lP中元素的个数为 ji2又 471320）（故集合 P中元素的个数为 1082
