1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页，满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2、第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3、第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答
2、案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：柱体的体积公式： ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高。VShh圆柱的侧面积公式： ，其中 是圆柱的地面周长， 是圆柱的母线长。cl l球的体积公式： ，其中 是球的半径。34R球的表面积公式： ，其中 是球的半径。=42用最小二乘法求线性回归方程系数公式： = 12,.niiiiXYxyabx如果事件 A、B 互斥，那么 ；()(+)PABP如果事件 A、B 独立，那么 。:第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60
3、 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设集合 则2|60,|13,MxNxMN(A) (B) (C) (D) ,)1,(2,2,2、复数 在复平面内对应的点所在象限为()iz为 虚 数 单 位(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3、若点 在函数 的图象上，则 的值为a（ ,9） 3xytan6(A) 0 (B) (C) 1 (D) 334、不等式 的解集是50x(A) (B) (C) (D) ,74,6,57,46,5、对于函数 ， “ 的图象关于 轴对称”是“ 是奇函数”的(),yfxR()yfxy()yfx(A) 充分而不必要条件
4、(B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6、若函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则()sin(0)fx,3,32(A) 3 (B) 2 (C) (D) 27、某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表：xy根据上表可 得回归方程中的 为ybxa 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为(A) 63.6 万元 (B) 65.5 万元 (C) 67.7 万元 (D) 72.0 万元8、已知双曲线 的两条渐近线均和圆 : 相切，且双曲21(0,)xyabC2650xy线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为C(A) (B) (C) (D) 2
5、54xy2145xy213621639、函数 的图象大致是sin(A) (B) (C) (D) 10、已知 是 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 时， ，则函数()fxR02x3()fx广告费用 （万元） 4 2 3 5销售额 （万元） 49 26 39 54的图象在区间 上与 轴的交点的个数为()yfx0,6x(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真命题的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (
6、D) 012、设 是平面直角坐标系中两两不相同的四点，若 ，124A, 1312A=R（ ），且 ，则称 调和分割 。已知平面上的点1412=R（ ） +=234,12,调和分割点 ，则下面说法正确的是C,D,B(A) 可能是线段 的中点 (B) 可能是线段 的中点 ADAB(C) 可能同时在线段 上 (D) 不可能同时在线段 的延长线上, C,第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13、执行右图所示的程序框图，输入 ，2,3,5lmn则输出的 的值是_.y14、若 展开式的常数项为 60，62()ax则常数 的值为_.15、设函数 ，观察()(0)
7、xf1213243,()(),4,78()(),156xxffxxff根据以上事实，由归纳推理可得：当 且 时， _.*nN21()()nnfxfx俯视图正（主）视图16、已知函数 ，当 时，函数 的零点()log(0,1)afxxba且 234ab()fx，则 _.*0,1,nNn三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.17、 （本小题满分 12 分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .ABC, ,abcos2cACaBb（）求 的值；sin（）若 ，求 的面积 .1co,24bABC:S18、 （本小题满分 12 分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 进行围棋比赛，甲对 、乙对 、丙对
8、 各一盘已知, ABC甲胜 、乙胜 、丙胜 的概率分别为 0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立 .AB（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 .E19、 （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形，ABCD09,ACB,E平 面/,/2FGEF（）若 是线段 的中点，求证： ；M/GMAB平 面（）若 ，求二面角 的大小.2ACBEC20、 （本小题满分 12 分）等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何na123,a 123,a两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列第一行
9、 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足： 求数列 的前 项和 .b(1)lnnanbnS21、 （本小题满分 12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 .假设该容器的建造费用仅8032lrAMDBEFC与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为 千元。(3)cy（）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；yr（）求该容器的建造费用最小值时的 .r22、
10、（本小题满分 14 分）已知动直线 与椭圆 交于 两不同点，且 的面积l2:13xyC12(,)(,)PxyQOPQ，其中 为坐标原点.62OPQS（）证明： 均为定值；2211xy和（）设线段 的中点为 ，求 的最大值；MOPQ:（）椭圆 上是否存在三点 ，使得 ？若存在，判断C,DEGODEGOESS的EG形状；若不存在，请说明理由.理科数学试题参考答案一、选择题ADDDB CBACB AD二、填空题68 4 2(21)nnx三、解答题17、 （ 1）由正弦定理，设 ，siisiabckABC则 ，2n2nickAb所以 ，oissC即 ，(c2)in(2isn)coABB化简可得 ，si
11、(s又 ，ABC所以 ，sin2i因此 .（2）由 得 ，isAca由余弦定理 及 ，22cosbB1,24b得 ，144a解得 ，1从而 ，2c又因为 ，os,04B所以 15in因此 15si224SacB18、 （ 1）设甲胜 的事件为 ，乙胜 的事件为 ，丙胜的 事件为 ，ADECF则 分别表示甲不胜 、乙不胜 、丙不胜 的事件.,EFAB因为 ，()0.6,().5,()0.PPF由对立事件的概率公式知 ， .4,.5,()0.EPF红队至少两人获胜的事件有： ，DD由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.65.06.50.4
12、5.06.5PDEFPEF（2）由题意知 可能的取值为 0，1，2 ，3.又由（1）知 是两两互斥时间，且各盘比赛的结果相互独立，,DEF因此(0)()0.45.011()()650.3(3)()6PDEFPDEF由对立事件的概率公式得210(1)(3).4P所以 的分布列为因此 0.1.3520.43.156E19、 （1）证法一：因为 ，0/,/,/,9FABGCEACB所以 ，09EF:由于 ，2因此 ，连接 ，AF由于 ，1/,GBC在 中， 是线段 的中点，D:MA则 ，且/2因此 且 ，F所以四边形 为平行四边形，因此 ，/G又 ，,ABEABFE平 面 平 面所以 /MF平 面证
13、法二：因为 ，0/,/,/,9EABGCEACB所以 ，09:由于 ，2F所以 .取 的中点 ，连接 ，BCN因此 四边形 为平行四边形G所以 /0 1 2 3P0.1 0.35 0.4 0.15在 中， 是线段 的中点，连接 ，ABCD:MAMN则 /N因为 ，G所以 /BFE平 面 平 面又 N平 面所以 /GMA平 面（2）解法一：因为 ，所以09CB09CD又 E平 面所以 两两垂直,A分别以 所在直线为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，,Cxyz不妨设 ，则由题意得2BE(0,)(2,0),(,)(0,1)ABCE所以 (,0),(,)A又 ，12EF所以 (,)(1,)B设平面
14、 的法向量为 ，C1,mxyz则 0,mF:所以 1yxz取 ，得11所以 (,0)m设平面 的法向量为 ABF2(,)nxyz则 ,n:所以 20xyz取 ，得 21y2x则 (,0)n所以 1cos,2mn:因此二面角 的大小为 .ABFC06解法二：由题意知， EABD平 面 平 面取 的中点 ，连接H因为 ACB所以 则 F平 面过 向 引垂线交于 ，连接 ，RC则 R所以 为二面角 的平面角HCAB由题意，不妨设 ,2E则直角梯形 中，连接FH则 又 2AB所以 1,2HE因此 在 中，RtF63由于 12CAB所以在 中，tH2tan36RC因此二面角 的大小为 .ABF020、
15、（1）当 时，不合题意；13a当 时，当且仅当 时，符合题意；2236,18a当 时，不合题意；10因此 123,6,18aa所以公比 q故 1n:（2）因为111()l=3+n232l()l()n3nnba:（ ）所以n-13+(1)l2n3)2()l3nn nS所以当 为偶数时，n1lln312nnS当 为奇数时，3(l)()l21n2nn综上所述， 3l1nl2nSn为 偶 数为 奇 数21、 （1）设容器的容积为 ，V由题意知 ，又 ，234rl80故 322280()l rrr由于 ，因此 0所以建造费用 2 224034()34yrlcrrc因此 21604(),c（2）由（1）得
16、， 3221608()08() ),2cycrrr由于 ，所以 ，3c当 时，20r3rc令 ，则 3mc0所以 2228() ()yrrm 当 即 时，09c当 时，rm0y当 时，(,)当 时，2ry所以 是函数 的极小值点，也是最小值点. 当 即 时m93c当 时， ，函数单调递减，(0,2)r0y所以， 是函数 的最小值点.综上所述，当 时，建造费用最小时93c2r当 时，建造费用最小时230c22、 （1 ）解:（）当直线 的斜率不存在时， 两点关于 轴对称，l,PQx所以 ，2121,xy因为 在椭圆上，()P因此 213xy又因为 62OPQS所以 1xy:由、得 116,2xy
17、此时 22113,（）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为l lykxm由题意知 ，将其代入 得0m213x22(3)6()0kx其中 221km即 (*)2k又 2121263(),3xxkk:所以222221163()4kmPQ因为点 到直线 的距离为Ol2mdk所以 22221631163PQS kk :又 ，2OPQS整理得 ，且符合(*)式，23km此时 2222111222 163()()(),34kmxx kyxx综上所述， ，结论成立.2121,xy（2）解法一：（）当直线 的斜率不存在时l由（1）知 116,2OMxPQy因此 2P:（）当直线 的斜率存在时，由（1）知：l
18、2 221122 21222223,31() ,96() (3)4443(1)(1) ()xkmyxkkmyOMkPQ 所以 22221()(3)15()4m:所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成5OMPQ:2213m2立.综合（） 、 （）得 的最大值为 .5解法二：2222211114()()()()0Pxyxy所以 2425OMPQ:即 ，当且仅当 时等号成立.5PQ因此 的最大值为 .:2（3）椭圆 上不存在三点 ，使得C,DEG62ODEGOESS证明：假设存在 满足12(,),)(,)uvxyDEGOE由（1）得222113,3;.uxxxvyvyy解得 22221;v因此 只能从 中选取， 只能从 中选取.12,ux612,y因此 只能在 这四点中选取三个不同点,DEG(,)2而这三点的两两连线中必有一条过原点与 矛盾6ODEGOESS所以椭圆 上不存在满足条件的三点 .C,DEG
