1、建系法巧求立体几何中的动点问题 苏艺伟作者简介 : 苏艺伟 ( 1986 ) ， 男 ， 福建龙海人 ， 本科 ， 中学二级教师 ， 主要从事高中数学教学研究摘要 : 立体几何试题中经常涉及到动点问题 ， 以此为载体考查求距离的最值 ， 体积的最值等 此类试题属于动态问题 ， 虽能够较好地考查学生的空间想象能力 ， 推理论证能力 ， 但是对绝大多数学生来讲是比较抽象的 对于此类试题 ， 解决方法多样 ， 建系法是其中的一种 如果通过建立空间 ( 平面 ) 坐标系 ， 将几何元素间的关系数量化 ， 借助平几知识以及向量知识求解 ， 则可以化抽象为具体 ， 化繁琐为简单 关键词 : 动点 ; 建系
2、 ; 数量化类型一 单动点图 1例 1 已 知 正 方 体ABCD A1B1C1D1棱长为 4，点 H在棱 AA1上 ， 且 HA1= 1，在侧面 BCC1B1内作边长为 1的正方形 EFGC1 点 P 是侧面 BCC1B1内一动点 ， 且点 P到面 CDD1C1距离等于线段PF 的长 则当点 P 运动时 ， |HP |2的最小值是 解析 : 如图 1 所示 ， 作 PN CC1， 则 PN 面CDD1C1， 故 | PN | = | PF | 作 HMBB1， 连接 MP， 则 | HP |2= | HM |2+| PM |2= 16 +| PM |2以 D 为原点 ， DA， DC， DD
3、1为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 则 M( 4， 4， 3) ， P( x， 4， z) ， N( 0， 4， z) ， F( 1， 4， 3) 由 | PN | = | PF | 得 x槡2=( x 1)2+ ( z 3)槡2， 即 ( z 3)2= 2x 1此时 | PM |2= ( x 4)2+ ( z 3)2= ( x 4)2+2x 1 = ( x 3)2+ 6 6故 | HP |222 因此当点 P 运动时 ， | HP |2的最小值是 22图 2例 2 以正方体的三条棱所在直线为坐标轴 ， 建立空间直角坐标系 Oxyz 点 P 在正方体的对角线 AB 上 ， 点 Q 在正
4、方体的棱 CD 上 ( 1) 当点 P 为对角线 AB的中点 ， 点 Q 在棱 CD 上运动时 ， 求 | PQ | 的最小值 ( 2) 当点 Q 为棱 CD 的中点 ， 点 P 在对角线 AB 上运动时 ， 求 | PQ | 的最小值 解析 : 如图 2 所示 ， 以 O 为原点 ， 建立空间直角坐标系 设 A( a， a， 0) ， B( 0， 0， a) ， C( 0， a， 0) ， D( 0， a， a) ( 1) 由 P 为 AB 中点知 P(a2，a2，a2) 设 Q( 0， a，t) ， 0 ta则 | PQ | =a24+a24+ (a2 t)槡2=a22+ ( t a2)槡
5、2故当 t =12a 时 ， | PQ | 的最小值为槡22a( 2) 设 P( x， y， z) ， 由 Q 为 CD 中点知 Q( 0， a，a2) 由 B， P， A 三点共线 ， 可设AP = AB， 01则 ( x a， y a， z) = ( a， a， a) ， 解得 P( a a， a a， a) 则 | PQ | =( a a)2+ ( a a a)2+ ( a a2)槡2=a 3( 12)2+槡1273故当 =12时 ， | PQ | 的最小值为槡22a例 3 在棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 ，M 是 BC 的中点 ， 点 P 是面 DCC1D1所在的
6、平面内的动点 ， 且满足 APD = MPC， 则三棱锥 P BCD 的体积最大值是 图 3 图 4解析 : 如图 3 所示 ， 由 APD = MPC， ADP =MCP，得 ADPMCP， 故PDPC=ADMC= 2， 即有 PD =2PC如图 4 所示 ， 在 DCC1D1中建立平面直角坐标系 设 D( 0， 0) ， C( 6， 0) ， P( x， y) 由 PD = 2PC， 得 x2+ y槡2= 2 ( x 6)2+ y槡2，化简得 ( x 8)2+ y2= 16这说明点 P 的轨迹是以 ( 8， 0) 为圆心 ， 4 为半径的圆 当点 P 位于该圆与 CC1的交点处时 ， PC
7、 的长度最大 ， 为槡2 3故三棱锥 P BCD的体积最大值是13662槡2 3=槡12 3类型二 双动点例 4 以正方体的三条棱所在直线为坐标轴 ， 建立空间直角坐标系 Oxyz 点 P 在正方体的对角线 AB上 ， 点 Q在正方体的棱 CD上 当点 P在对角线 AB上运动 ， 点 Q 在棱 CD 上运动时 ， 求 | PQ | 的最小值 解析 : 如图 2 所示 ， 设 P( x， y， z) ， A( a， a， 0) ， B( 0，0， a) ， C( 0， a， 0) ， D( 0， a， a) 由 B， P， A 三点共线 ， 可设AP = AB， 01则 ( x a， y a，
8、z) = ( a， a， a) ， 解得 P( a a， a a， a) 设 Q( 0， a， t) ， 0 ta 则| PQ | = ( a a)2+ ( a)2+ ( a t)槡2=2( a 12a)2+ ( a t)2+a2槡2当且仅当a 12a = 0，a t = 0即 =12，t =12a时 ， | PQ |的最小值为槡22a例 5 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ， BAC =2，AB = AC = AA1= 2， 点 G、E 分别为线段 A1B1， C1C 的中点 ， 点 D、F 分别为线段 AC， AB 的上的动点 ， 且 GDEF， 则线段 DF 的长度的最小值是 图 5
9、 图 6解析 : 如图 5 所示 ， 以 A 为原点 ， AB， AC， AA1为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系 则 A( 0， 0， 0) ， B( 2， 0， 0) ， C( 0， 2， 0) ， A1( 0， 0， 2) ，B1( 2， 0， 2) ， C1( 0， 2， 2) ， E( 0， 2， 1) ， G( 1， 0， 2) ， 设D( 0， n， 0) ， F( m， 0， 0) ， 由 GDEF 得 ( 1， n， 2) ( m， 2， 1) = 0 即 m + 2n = 2由 m + 2n = 2， 得 4 = ( m + 2n)2( 1 + 4) ( m2+ n2)
10、 ， 即 m2+ n245因此 | DF | = m2+ n槡22槡5， 当 且 仅 当m =25，n =45时取等号 例 6 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 ，E 为 BC的中点 ， 点 P在线段 D1E上 ， 点 P到直线 CC1的距离最小值为 解析 : 如图 6 所示 ， 以 D 为原点 ， DA， DC， DD1为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系 83则 D1( 0， 0， 2) ， E( 1， 2， 0) ，在线段 CC1上任取一点 M， 设 M( 0， 2， t) ， 其中 0t2设 P( x， y， z) ， 因为 D1， P， E 三点共线 ， 故可设
11、 D1P= D1E， 0 1则 ( x， y， z 2) = ( 1， 2， 2) ， 解得 P( ， 2， 2 2) 因此| PM | = 2+ ( 2 2)2+ ( 2 2 t)槡2化简得| PM | = 5( 45)2+ ( 2 2 t)2+槡45当且仅当 45= 0，2 2 t = 0即 =45，t =25时 ，| PM | 有最小值25槡5参考文献 : 1 朱小扣 ， 立体几何题的解法探究 J 数理化学习 ( 高中版 ) ， 2016( 10) 2 赵满天 ， 空间向量法在立体几何问题中的运用 J 数理化学习 ( 高中版 ) ， 2016( 5) 福建省龙海第一中学新校区 ( 363
12、100) 变换思想在高中数学解题中的应用 袁卫东作者简介 : 袁卫东 ( 1964 ) ， 男 ， 江苏南通人 ， 本科 ， 中学一级教师 ， 主要从事高中数学教学研究摘要 : 变换思想是数学教学中最活跃最重要的思想方法之一 在数学教学中 ， 我们应始终突出 “变换 ”思想 ， 开拓新境 ， 探索规律 ， 培养学生的思维品格和创造机智 本文以 两角和与差的三角函数 一章的教学为例 ， 谈谈我的做法 关键词 : 变换 ; 三角函数 ; 公式一 、利用 “变换 ”导出公式序列本章公式多 ， 联系紧密 以两角和的余弦公式作为母公式能导出其它一系列新公式 这些导出过程本身就是十分典型的变换过程 这些变
13、换过程归纳起来有三种方式 : ( 1) 角的变换产生新的公式 如在 C+中以 代 即得 C， 在积化和差公式中以 = + 2， = 2代换即得和差化积公式等等 ( 2) 几个公式结合繁衍新的公式 如 S+除以C+得 T+， S+加上 S可得变形的和差公式等等 ( 3) 从一个公式的变换形式产生新的 “副产品 ”如倍角公式变为半角公式等等 正是这些变换 ， 构成了三角公式的外形的多样性和内涵的和谐性 引导学生从变换的角度加深对公式特征的理解 ， 从而把握公式的内在联系 ， 这不仅可以减轻学生由于死记硬背造成的负担 ， 而且能够培养学生的整体思维模式和逻辑推理能力 二 、利用 “变换 ”解题 ， 事半功倍在数学里利用 “变换 ”解题屡见不鲜 ， 这里仅就“角的变换 ”给以举例说明 例 1 已知 cos = 1/7， cos( + ) = 11/14， 且( 0，2) ， ( 0，2) ， 求 cos 的值 分析初看本题 ， 由于定向思维形成的的障碍 ， 学生可能会展开 cos( + ) 进而再通过 sin = 1 cos2槡化为含有 cos 的无理方程 ， 这必然会导致繁琐 若视 + 为一个整体 ， 利用变换 = ( + ) 则所求问题便迎刃而解了 类似地 ， 已知 cos( ) =1213， sin( + ) = 35，且2 34， 试求 sin2 的值 ， 只要注意 2 =93
