1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -O yxzFEGHIJO yxzACBBCDA第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面 垂直，在几何体中也是很直观的，xOy垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为 轴与底面的交z点2、 轴的
2、选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么,xy几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于 轴上,xy（2）找角： 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂,直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足 轴成右手系，所以在,xyz标 轴时要注意。,xy4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直） ，这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： 如果一条直线与一个平面上的
3、两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）： 正方形，矩形，直角梯形 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） 菱形的对角线相互垂直 勾股定理逆定理：若 ，则 22ABCABC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的 点，坐标特点如下：,D高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -轴
4、： 轴： 轴： x,0y0,z0,规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0（2）底面上的点：坐标均为 ，即竖坐标 ，由于底面在作立体图时往往失真，,xyz所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出 点的坐标，位置关系清晰明了,HI1,0,22、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果 在底面的投影为 ，那么1,Axyz2,0Axy（即点与投影点的横纵坐标相同）122由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的 点，其投影B为 ，而 所以 ，而其到
5、底面的距离为 ，故坐标为B,01,Bz11,以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点 中点坐标公式： ，则 中点 ，12,AxyzBxyzAB121212,xyzM图中的 等中点坐标均可计算,HIEF 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求 点的坐标，如果使用向量计算，则设 ，A,Axyz可直接写出 ，观察向量 ，而 ，1,0,1,ABBA0,1 ,Bxyz 01xxyyzz,二
6、、典型例题：例 1：在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别是棱PABCABC90,DEF的中点， ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐,ABD1,P标IHO CA BFEDA CBP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -解： 平面 PABC,PABC两两垂直90,以 为轴建立直角坐标系,坐标轴上的点： ,1,0,0,2ABCP中点： 中点 :D,2中点:EBC1,0中点:FP,2综上所述： 111,0,0,2,0,0,122BCPDEF小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例 2：在长方体 中， 分别是棱 上
7、的点，1AD,F1,BC， ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标CFBE:24A思路：建系方式显而易见，长方体 两两垂直，1,D本题所给的是线段的比例，如果设等，则点的坐标都含有 ，不1,2,4AaDaa便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。解：因为长方体 1BCAD两两垂直1,AD以 为轴如图建系，设 为单位长度, B1124,2CFE1111,0,0,40,240,BDACDADBCB1 C1A1 D1EF高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -31,0,21EF例 3：如图，在等腰梯形 中， ， ，ABCD 1,60ADCBA平面 ，且
8、 ，建立适当的直角坐标系并C确定各点坐标。思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面 找过 的相互垂直的直线即可。由题意， 不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择 为轴） ，连结BCA可知 在 中120ADD2 cos3C3由 可解得 ,1,60ACBA2,90AB平面FCD,以 为坐标轴如图建系：310,1,0,0,2BAF方案二（以 为轴）CD过 作 的垂线 平面MABCD,F以 为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得： 3,2AB31,0,0,0,122ABDF小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 轴
9、） ，对于 轴的选取，如果z,xy没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足 的直线为轴建立的坐标系。C例 4：已知四边形 满足AB， 是 中1,2ADCDa EBFABEDCDA BCFDCABDCA B高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -点，将 翻折成 ，使得平面 平面 ， 为 中点BAE11BAECDF1B思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时， 是等边三角形，四边形 为 的菱形是不变的，寻BAEAECD60找线面垂直时，
10、根据平面 平面 ，结合 是等边三角形，可取 中点CBAE，则可证 平面 ，再在四边形 找一组过 的垂线即可建系M DM解：取 中点 ，连结 AEBM是等边三角形B平面 平面 C平面 ，连结 MAED ,BEMD四边形 为 的菱形 为等边三角形60A两两垂直,B如图建系，设 为单位长度A133,0,0,0,1,0,222EDCB为 中点 FB,4F例 5：如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 交于点PABC,ACBD，且 平面 ，点 为 的三等分点（靠近 ） ，建,4,3,OAOMPP立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由 平面 ，可得 作为 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性Dz质，选
11、取 作为 轴。在所有点中只有 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得,B,xy，从而转化为向量关系即可求出 坐标13PMC解： 平面OAABEDCMFABEDCMAE DC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -,OPBC菱形 ADO两两垂直以 为坐标轴如图建系,可得： 0,43,0,40,30,PBCAD设 由 可得：Mxyz1P1MPC,0044338xxyyzz48,3小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例 6：如图所示的多面体中，已知正方形 与直角梯形 所在的平面互相垂直，AB
12、CDBEF，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐EFBD ， ,2,1AEF标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到 与底面垂直，再由底面是正方形，可选为 轴，图中 点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到,AC,xy解： 平面 平面EFBACD又因为直角梯形 EB平面 D正方形 两两垂直,A以 为轴建立直角坐标系EC坐标轴上的点： 2,0,20,1E底面上的点： B点两种确定方式：F 可看其投影，落在 中点处 ，且高度为 1，所以D2,0F2,1 设 ,xyz,1,2EFxyzB A D B CFE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -12EFDB22,110xy
13、Fz综上所述： 22,2,12,0,1ACEBF例 7：如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中心，1BAH1A平面 ， ，建112,H5立适当的坐标系并确定各点坐标思路： 平面 ，从而 可作 轴，1C11Cz只需在平面 找到过 的两条垂线即可建系AB（两种方案） ，对于坐标只有 坐标相对麻烦，但由 可以利用向量进行计算。1CA解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）如图建系：则 1 12,0,2,0,2,0AB15BC设 ，则 ,xyz,xyz1,2A由 可得： 1A00255xzz0,5C综上所述： 1 12,0,0,2,2,B525C方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由
14、计算可得 1A12AHB12,0,20,BB B1A A1HC1CB B1A A1HC1CB B1A A1HC1C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -12,0,5BC设 ，则 xyz,xyz12,0A由 可得： 1A2505xzz,5C综上所述： 112,0,2,2,B10,2,小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。 （相信所给的 目的12A也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择
15、时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础例 8：如图，在四棱柱 中，侧棱 , , ,1ABCD-1ABCD底 面 1B=,且点 和 分别为 的中点。建立合适的空间直12,5AC=MN1和角坐标系并写出各点坐标思路：由 ， 可得 两两垂直，进而以它们为轴建立1底 面 1,坐标系，本题中 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中 点坐标相对麻烦，1,BCDD可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解： 侧棱1A底 面1,两两垂直BC1,BA以 为轴建立直角坐标系1,A底面上的点： 0,2,0由 可得 为等腰三角形，若 为5DC=ADCPAC中点，则 P21,0 P
16、ACBD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -可投影到底面上的点： 11110,2,2,0,2ABCD因为 和 分别为 的中点MNCD和1,21综上所述： 11110,0,2,0,2,0,2BABCD1,12MN例 9：如图：已知 平面 ，点 在 上，且 ，四边形 为直角POBCDOEPO AB梯形， ，建立适当的坐1, 2,2ADBAACD标系并求出各点坐标思路：由条件可得 ，而 平面， 可得到 平面 ，从CE而以 为轴建系。难点在于求底面梯形,AB中 的长度。可作出平面图利用平面几何知OD识处理。解： 平面 ，PCEAPO平面EAB, DB两两垂直，如图建系：D12
17、0,1E中： RtAOB23OAcos6BDC 0为等边三角形BAO6OB为等边三角形60D2DC3,10,3,20BCOA DBCO高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -在底面 投影为 且 PABCDO2P0,12综上所述： 3,0,1,3,0,1CPE例 10：已知斜三棱柱 在底面 上的射影恰19,ABAB ABC为 的中点 ，又知 ，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标ACD1思路：本题建系方案比较简单， 平面 ，进而 作 轴，再过 引 垂线即DC1Dz可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是 的投影不易1B在图中作出（需要扩展平面 ） ，第一个问题可先将高设为 ，再利用条件 求ABh1AC解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。解：过 作 的垂线 ， 平面 DCM1DABC，而11,A以 为轴建立直角坐标系，设高为 0,02,CBh则 ，设 1Ah1xyz则 ,由 可得： 1C0022xxyyzhzh10,2h1,0,3BA，解得 21 0CBAh3h10,3,2,设 1xy,xy而 且 2,0AB1BA2DA CBA1 B11A CBD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -12,3B综上所述： 1110,1,02,0,3,2,3ACBACB
