1、1. 分布列定义：设离散型随机变量 所有可能取得的值为 x1,x2,x3,xn,若 取每一个值 xi(i=1,2,，n)的概率为 iiPx)(，则称表x1 x2 xi xnP P1 P2 Pi Pn为随机变量 的概率分布，简称 的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i0,i=1,2，n；（2）P 1+P2+Pn=1要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布 随机变量 X 的分布列是 0 1P 1p像上面这样的分布列称为两点分布列要点诠释：(1)若随机变量 X 的分布列为两点分布, 则称 X 服从两点分布, 而称 P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为 0-1 分布或伯
2、努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛 ,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.2. 超几何分布一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则则事件 X=k发生的概率为 (),01,2knMCPXm , 其中 in,M，且,nNn称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 X0 1 mPnNMC nNMC要点一、条件概率的概念1.定义设 A、 B为 两 个 事 件 ， 且 ()0PA， 在 已 知 事 件 A发 生 的 条 件 下 ， 事 件
3、B 发 生 的概 率 叫 做 条 件 概 率 。 用 符 号 |B表 示 。(|)P读 作 ： 发 生 的 条 件 下 B 发 生 的 概 率 。要点诠释在条件概率的定义中，事件 A 在“事件 B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率2P（A B） 、P（AB） 、P（B ）的区别P（A B）是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。P（AB）是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，无附加条件。P（B）是事件 B 发生的概率，无附加条
4、件它们的联系是： ()(|)P要点诠释一般说来，对于概率 P(A|B)与概率 P(A)，它们都以基本事件空间 为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率 P(A)是指在整个基本事件空间 的条件下事件 A 发生的可能性大小，而条件概率 P(A|B)是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的可能性大小。例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记 A=“取得蓝球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空间 包含的样本点总数为 16，事件 A 包含的样本点总数为 11，故 1()6P。玻璃 木质 总计红 2 3 5蓝 4 7 11总计 6 10 16如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件 B
5、发生的条件下事件 A 发生的条件概率，那么在事件 B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为 “玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件 B 发生的条件下事件 A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故 42(|)63PA。要点二、条件概率的公式1计算事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率，常有以下两种方式：利用定义计算先分别计算概率 P（AB ）及 P（B） ，然后借助于条件概率公式 ()(|)PAB求解利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件 B，原来的事件 A 缩小为事件AB，从而 (|)ABP包 含 的 基 本 事 件 数包 含 的 基 本 事
6、件 数 ，即 ： ()(|)nP，此法常应用于古典概型中的条件概率求解要点诠释概率 P(B|A)与 P(AB)的联系与区别：联系：事件 A，B 都发生了。区别：在 P(B|A)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，事件 A 先发生事件 B 后发生；在P(AB)中，事件 A，B 同时发生；基本事件空间不同在 P(B|A)中，事件 A 成为基本事件空间；在 P(AB)中，基本事件空间仍为原基本事件空间。2条件概率公式的变形公式 ()(|)PAB揭示了 P（B） 、P（AB） 、P（AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若 P（B）0，则 P（AB）=P（B）P（AB） ，该式
7、称为概率的乘法公式要点诠释条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质如：任何事件的条件概率取值在 0 到 1 之间；必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为 0；条件概率也有加法公式：P（ BC A）=P（BA）+P（CA） ，其中 B 和 C 是两个互斥事件要点三、相互独立事件1.定义：事 件 A（ 或 ） 是 否 发 生 对 事 件 B（ 或 A） 发 生 的 概 率 没 有 影 响 ， 即 (|)(PBA，这 样 的 两 个 事 件 叫 做 相 互 独 立 事 件 。若 A与 B是相互独立事件，则 A与 B， 与 ， A与 B也相互独立。2相互独立事件同时发生的概率公式：对于事
8、件 A 和事件 B，用 表示事件 A、B 同时发生。（1）若 与 是相互独立事件，则 ()()PP；（2）若事件 12,n 相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即： 1212()()()nnPAPA 。要点诠释（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是 A、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积（2）两个事件 、 相互独立事件的充要条件是 ()()PAPB。3相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是
9、指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件 A，B，它们发生的概率为 P（A） ，P（B） ，将 A，B 中至少有一个发生记为事件 A+B，都发生记为事件 AB，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件 ，则它们的概率间的关系如下表所示：概率 A，B 互斥 A，B 相互独立P（A+B） P（A） +P（B） 1()PP
10、（AB） 0 P（A） P（B）()AB1P（A）+P（B） ()P（A） +P（B） ()P()P1 1P （A）P（ B）要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P，那么 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为： ()(1)knknnPCp（k=0，1，2，n） 令 0得，在 n 次独立重复试验中，事件 A 没有发生的概率为()()()nnn令 k得，在 n 次独立重复试验中，事件 A 全部发生的概率为0()(1)nnPCp。要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件 A 发生的概率，k 是在 n 次独
11、立重复试验中事件 A 恰好发生的次数，只有弄清公式中 n，p，k 的意义，才能正确地运用公式2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于
12、是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1. 定义：在一次随机试验中，事件 A 可能发生也可能不发生，在 n次独立重复试验中事件 A 发生的次数 是 一 个 离 散 型 随 机 变 量 如果在一次试验中事件 A 发生的概率是 p，则此事件不发生的概率为 1qp，那么在 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k次的概率是()(knnnPkC， （ 0,12.） 于是得到离散型随机变量 的 概 率 分 布 如 下 ： 0 1 k nP nqpC1n knqpC 0qpC由 于 表 中 第 二 行 恰 好 是 二项展开式 010)(pq nknknnn 中
13、各 对 应 项 的 值 ，所 以 称 这 样 的 随 机 变 量 服 从 参 数 为 ， p的 二 项 分 布 ， 记 作 (,)Bp要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；其二是重复性。即试验独立重复地进行了 n 次；其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。2如何求有关的二项分布（1）分清楚在 n 次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定 n 的值，然后确定在一次试验中某事件 A 发生的概率是多少，即确定 p 的值，最后再确定某事件 A恰好发生了多少次，即确定 k 的值；（2）准确算出每一种情
14、况下，某事件 A 发生的概率；（3）用表格形式列出随机变量的分布列。要点一、离散型随机变量的期望1.定 义 ：一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为1x2 ixP p ip则称 E1x2 nx 为 的 均 值 或 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 要点诠释：（ 1） 均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（ 2） 一 般 地 ， 在 有 限 取 值 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 中 ， 令 1p2 np，则有1p np1， E1(x2 nx)，所以 的 数 学 期 望 又 称 为 平 均数 、 均 值
15、。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2 性 质 ： ()E； 若 ba(a、 b 是 常 数 )， 是 随 机 变 量 ， 则 也 是 随 机 变 量 ， 有)(；E的推导过程如下：的 分 布 列 为 1x2x ixbaba iabP 12P iP于是 E1)(px2)(px ()iixp a i) 1b2 i) baE b)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据 1x， 2， ， nx，它们的平均值为 x，那么各数据与 x的差的平方的平均数 2nS21)( 2)( )(2n叫做这组数据的方差。2.离 散 型 随机变量的方差：一 般 地 ，
16、 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为1x2 ixP 1p2 ip则称 D 21)(Ex )(pEx 2()nixE称为随机变量 的方差，式中的 是随机变量 的期望的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 要点诠释：随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值） 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系： 22()DE4.方差的性质：若 ba(a、 b 是 常 数
17、 )， 是 随 机 变 量 ， 则 也 是 随 机 变 量 ，2()；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量 服从参数为 p的二点分布，则期望 Ep方差 (1).D证明： 0Pq, (1)p, 01, pq Ep22()()().D2、二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 ,np的二项分布，即 (),BnP， 则期望 EnP方差 (1-)Dp期望公式证明： knknknqpCP)()(，012 0nnnknnECpqCpqCpqCpq，又 1)!(1)!()!( knknk， p01nq 2np )1(1kknqp )01qpn)(3、几何分布：独立重复试验中，若事件 A
18、在每一次试验中发生的概率都为 p，事件 A第一次发生时所做的试验次数 是随机变量，且 1()(kP， 0,23,n ，称离散型随机变量 服从几何分布，记作： ()Pg， 。若离散型随机变量 服从几何分布，且 ()k， ， 则期望 1.Ep方差 2-D要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 ,NMn的超几何分布，则期望 ()nEN要点四：离 散 型 随 机 变 量 的 期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量 的期望、方差、标准差的基本步骤：理解 的 意 义 ， 写 出 可 能 取 的 全 部 值 ；求 取
19、 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ；1x2 ixP 1p2 ip根据分布列，由期望、方差的定义求出 E、 D、 ：12nExpxp 221 nnDxp .注 意 ： 常 见 分 布 列 的 期 望 和 方 差 ， 不 必 写 出 分 布 列 ， 直 接 用 公 式 计 算 即 可 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量 1和 2，当需要了解他们的平均水平时，可比较 1E和 2的大小。 1E和 2相等或很接
20、近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D和 ，方差值大时，则表明 比较离散，反之，则表明 比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】正态分布编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1概念：对于连续型随机变量 X，位于 x轴上方， X落在任一区间（a，b 内的概率等于它与x轴、直线 a与直线 b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分） ，这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其
21、作为图象的函数 ()fx叫做 的概率密度函数。2、性质：概率密度函数所取的每个值均是非负的。夹于概率密度的曲线与 x轴之间的“平面图形” 的面积为 1 ()PaXb的值等于由直线 a， xb与概率密度曲线、 x轴所围成的“平面图形” 的面积。要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：2(), 1()R)2xxe， （0,）其中 x 是随机变量的取值； 为正态变量的期望； 是正态变量的标准差 .2正态分布（1）定义如果对于任何实数 ,()ab随机变量 X满足：,()baPaXxd，则称随机变量 服从正态分布。记为 2(,)N:。（2）正态分布的期望与方差若 2(,
22、)XN:，则 X的期望与方差分别为： EX， 2D。要点诠释：（1）正态分布由参数 和 确定。参数 是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。 是标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子
23、管的使用寿命等） ；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布 要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线如果随机变量 X 的概率密度函数为2()1()Rxfxe，其中实数 和为参数（ 0,） ，则称函数 f的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2正 态 曲 线 的 性 质 ：曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 对称；曲线在 时达到峰值 12；当 x时，曲线上升；当 x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近.曲线与 轴之间的面积为 1； 决定曲线的位置和对称性；当 一定时，曲线的对称轴位置由 确定；如下图
24、所示，曲线随着 的变化而沿x轴平移。 确定曲线的形状；当 一定时，曲线的形状由 确定。 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。要点诠释：性质说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴） 性质并且说明了函数具有对称性；性质说明了函数在 x= 时取最值；性质说明 越大，总体分布越分散， 越小，总体分布越集中要点四、求正态分布在给定区间上的概率1. 随机变量取值的概率与面积的关系若随机变量 服从正态分布 2(,)N，那么对于任意实数 a、b （ab ） ，当随机变量 在区间（a，b上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线 x=a
25、，x=b 以及 x 轴所围成的图形的面积相等如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b上取值的概率一般地，当随机变量在区间（，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在 x=a 左侧以及 x 轴围成图形的面积，如图（2） 随机变量在（a，+）上取值的概率是正态曲线在 x=a 右侧以及 x 轴围成图形的面积，如图（3） 根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解2、正态分布在三个特殊区间的概率值： ()0.683PX；2954；(3).7。上述结果可用下图表示：要点诠释：若随机变量 X服从正态分布 2(,)N，则 X落在 (3,)内的概率约为0.997，落在 (3,)之外的概率约为 0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。一般的，服从于正态分布 2(,)的随机变量 X通常只取 (3,)之间的值，简称为 3原则。3、求正态分布在给定区间上的概率方法（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与 x轴之间面积为 1。正态曲线关于直线 x对称，与 x对称的区间上的概率相等。例如 ()()PX； 1aa；若 b，则 ()()2PbXb。(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ()0.68PX； 22954； (33)0.974PX。【典型例题】
