1、1,线性代数第11讲b,本讲义可在网址http:/或ftp:/下载,2,2. 非齐次线性方程组解的结构讨论非齐次线性方程组AX=b的解.定理3.29 (1) 非齐次线性方程组AX=b的任意两个解的差都是其导出组AX=0的解;(2) 方程组AX=b的任意一个解与其导出组AX=0的任意一个解的和都是AX=b的一个解.,3,证明 (1) 设X1,X2为方程组AX=b任意的两个解, 即: AX1=b, AX2=b. 两式相减得: A(X1-X2)=0, 所以X1-X2满足线性方程组AX=0.(2) 若X0为方程组AX=b任意的一个解, 而X1为其导出组AX=0的任意一个解, 则A(X0+X1)=AX0
2、+AX1=b+0=b.由此可见, 非齐次线性方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解之间有密切联系.,4,定理3.30 如果g0是非齐次线性方程组AX=b任意给定的一个解(通常称为特解), 则方程组AX=b的任意一个解g都可以表示为: g=g0+h, 其中h是其导出组AX=0的一个解.证明 显然g可以表示为g=g0+(g-g0), 由定理3.29的(1)知道(g-g0)为导出方程组AX=0的一个解, 令h=(g-g0), 则得到定理的证明.,5,既然方程组AX=b任意的一个解g都可以表示为g=g0+h, 其中h是其导出组AX=0的一个解, 于是当h取遍导出组AX=0的所有解的时候, g=g0+
3、h也就取遍了方程组AX=b的所有解, 我们只需找出方程组AX=b的一个特解g0以及其导出方程组AX=0的一个基础解系h1,h2,hn-r, 则线性方程组AX=b的通解就可以表示为g=g0+k1h1+k2h2+kn-rhn-r, 其中k1,k2,kn-r为任意的数.,6,例3.14 解线性方程组,并用导出组的基础解系表示其全部解.解 对增广矩阵做行的初等变换:,7,8,取x3=x4=0, 得方程组的一个特解,9,10,5 向量空间,11,令,为全体n维列向量构成的集合.,12,定义3.12 设V为Rn的一个非空子集, 我们称V为一个向量空间, 如果V满足下面的两个条件:(1) 对任意的a,bV,
4、 a+bV(即集合对向量的加法封闭);(2) 对任意的aV和任意的kR, kaV(即集合对数和向量的乘法封闭).由第二个条件, 任何向量空间都必须含有零向量.,13,容易验证, 仅含一个零向量的集合也构成向量空间, 我们称之为零向量空间. 除零向量空间外, 每一个向量空间都含有无限多个向量.,14,定义3.13 向量空间V中的一组向量a1,a2,ar称为一组基, 如果满足下列条件:(1) a1,a2,ar线性无关;(2) 向量空间V中任意的向量b均可以由a1,a2,ar线性表示.实际上, 基就是向量空间的一个极大线性无关组.,15,尽管基不是唯一的, 但一组基中所含向量的个数总是唯一的, 我们
5、称它为向量空间的维数, 记为dim(V).如果a1,a2,ar是向量空间V的一组基, 则因为a1,a2,ar是线性无关的, 向量空间V中任意的向量b均可以由a1,a2,ar唯一线性表示, 即存在唯一的一组数(x1,xr)T使得b=x1a1+x2a2+xrar, 我们称(x1,xr)T为向量b在基a1,a2,ar下的坐标.,16,定义3.14 设V是一个向量空间, 如果V的一个非空子集W满足条件:(1) 对于任意的a,bW, 均有a+bW,(2) 对于任意的aW以及kR, 均有kaW,则称W为向量空间V的一个子空间.,17,例3.15 设AmnX=0是一个齐次线性方程组, 记其解的集合为S=XR
6、n|AX=0,由齐次线性方程组解的性质可知, S是一个向量空间, 通常称为齐次线性方程组AmnX=0的解空间. 实际上, S也是向量空间Rn的一个子空间. 其维数就是未知量的个数与系数矩阵秩的差, 即dim(S)=n-r. 而其基就是该齐次线性方程组的一个基础解系.,18,例3.16 设a1,a2,asRn一个向量组, 我们记L(a1,a2,as)为由向量组a1,a2,as所有可能的线性组合k1a1+k2a2+ksas构成的集合. 对于任意的 a=k1a1+k2a2+ksasL(a1,a2,as),以及 b=l1a1+l2a2+lsasL(a1,a2,as),我们有a+b=(k1+l1)a1+
7、(k2+l2)a2+(ks+ls)asL(a1,a2,as),19,对任意的数kR, ka=kk1a1+kk2a2+kksasL(a1,a2,as),根据向量空间的定义, L(a1,a2,as)是一个线性空间, 很显然, 它也是向量空间Rn的一个子空间. 我们称之为由向量组a1,a2,as所张成的向量空间. 显然, 向量组a1,a2,as的一个极大无关组,就是L(a1,a2,as)的一组基, 而其维数就是向量组a1,a2,as的秩.,20,例3.17 设,容易验证S构成一个向量空间.,21,如果令,则T不是向量空间, 因为T中没有零向量, 当然T对于向量加法和数与向量的乘法都不封闭.,22,1
8、997年考研题,数学1,3分 设,则三直线,交于一点的充要条件是( ).(A) a1,a2,a3线性相关 (B)a1,a2,a3线性无关(C) 秩r(a1,a2,a3)=秩r(a1,a2)(D) a1,a2,a3线性相关,a1,a2线性无关,23,2000年考研题, 数学3, 8分设向量组a1=(a,2,10)T,a2=(-2,1,5)T,a3=(-1,1,4)T,b=(1,b,c)T. 试问: 当a,b,c满足什么条件时,(1) b可由a1,a2,a3线性表出,且表示唯一?(2) b不能由a1,a2,a3线性表出?(3) b可由a1,a2,a3线性表出,但表示不唯一?并求出一般表达式.,24
9、,向量组a1=(a,2,10)T,a2=(-2,1,5)T,a3=(-1,1,4)T,b=(1,b,c)T. 解 (1)先列出方程组x1a1+x2a2+x3a3=b的增广矩阵, 并对其作初等行变换,25,当a-4时,r(A)=r(A,b)=3,方程组有惟一解,b可由a1,a2,a3线性表出,且表示惟一.,26,(2) 当a=-4时, 上式变为,27,若1+c-3b0, 即3b-c1, 方程组无解, b不能由a1,a2,a3线性表出.,28,(3) 当a=-4且3b-c=1, 上式前两个方程写为,令x1=k为任意常数, 则x2=-2k-b-1,得b=ka1-(2k+b+1)a2+(2b+1)a3.,29,作业 习题三 第115页开始第19题(似不应当用书上答案的形式,建议写成特解和导出组的通解的形式),
