1、离散数学,章红艳,期末成绩=平时成绩(30%)+卷面成绩(70%) 平时成绩（出勤率，课堂问答，作业情况） 旷课一次 -3 作业不交 -2 回答问题较好+1 旷课超过三次平时成绩为0,离散数学是现代数学的一个重要分支。是计算机科学中基础理论的核心课程，为计算机科学提供了有力的理论基础和工具。离散数学的基本思想、概念和方法广泛地渗透到计算机科学与技术发展的各个领域，而且其基本理论和研究成果更是全面而系统地影响和推动着其发展。,离散数学的内容十分丰富，最重要，最核心的是：数理逻辑、集合论、代数系统和图论。本课程主要讲授以上四个方面的内容。,参考教材,孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著离散数学高等
2、教育出版社，2002 . 美Kenneth H.Rosen著袁崇义，屈婉玲，王捍贫，刘田 译离散数学及其应用北京：机械工业出版社，2002. 屈婉玲，耿素云，张立昂编著。离散数学。高等教育出版社，2008.,背景知识-七桥问题,哥尼斯堡七桥问题 - 图论的开始 18 世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有 7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍 7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。,数理逻辑简介,数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、计算
3、机科学、人工智能、语言学等学科均有密切的联系。 命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。本课程在第一，二两章中介绍数理逻辑的内容。,我现在年龄大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早年在数理逻辑上好好下功夫，我就不会犯这么多的错误。不少东西逻辑学家早就说过，可是我不知道，要是我年轻20岁，我就去学逻辑学。Dijkstra带权图的最短路径问题。,逻辑难题,一个岛上住着两类人骑士和流氓。骑士说的都是实话，而流氓只会说谎。你碰到两个人A和B，如果A说“B是骑士”，B说
4、“我们俩不是一类人”。请判断A和B到底是流氓还是骑士。,第一章命题逻辑,第一节 命题符号化及联结词,内容：命题，逻辑联结词，命题符号化,(1) 掌握命题概念 (2) 掌握联结词含义及真值表 (3) 掌握命题符号化方法,重点：,一、命题的概念,1、命题：能判断真假的陈述句。,（1）感叹句、疑问句、祈使句都不是命题；,（2）判断结果不唯一确定的陈述句不是命题；,（3）陈述句中的悖论不是命题。,注：,例1、判断下列句子中哪些是命题。,(1) 北京是中国的首都。,(2) 雪是黑色的。,(4) 请把门关上！,(6) 地球外的星球上也有人。,例1、判断下列句子中哪些是命题。,(7) 明天有课吗？,(8)
5、我在撒谎。,(9) 小明和小林都是三好生。,(10) 小明和小林是好朋友。,悖论：有一个命题为前提，进行正确的逻辑推理，得出一个与前提互相矛盾的结论。,著名的罗素悖论：1902年，受到“理发师悖论”的 启发而提出。 理发师悖论：“一个理发师宣称，我只给那些不给 自己理发的人理发。”人们问：“理发师先生，您自 己的头发谁理？”,罗素悖论：R是所有不包含自身的集合的集合。,2、命题符号化,例2 将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它们的真值，然后再写出这段陈述。,是有理数是不对的；2是偶素数； 2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数； 2是素数当且仅当3也是素数。,p： 是有理数 q：
6、2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数,0 1 1 1 0,非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。,二、逻辑联结词。,(否定、合取、析取、蕴涵、等价)这五种,常用的联结词有,真值表,例如：,：11是素数；,：11不是素数,真值 ，,真值 。,1、否定联结词,真值表,在例1.(9)中，,：小明是三好生，,：小林是三好生,则小明和小林是三好生表示为,。,2、合取联结词,张辉和王丽是同学,我们去看电影且房间有十张椅子。,(1)“”表示的有：与、和、既又、 不但而且、虽然但是、一边一边，等,注：,(2) 不是所有的“与”、“和”都是合取,(1) 李平既聪明又
7、用功。,(2)李平虽然聪明，但不用功。,(3)李平不但聪明，而且用功。,真值表,例如，,：小明学过英语，,：小明学过日语，,则小明学过英语或日语可表示为,3、析取联结词,真值表：,4、蕴涵联结词,例4一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定给你买本儿童画报。”问：什么情况下父亲食言？,解：可能情况有四种：,(1) 父亲去了书店，给儿子买了儿童画报。 (2) 父亲去了书店，却没给儿子买儿童画报。 (3) 父亲没去书店，却给儿子买了儿童画报。 (4) 父亲没去书店，也没给儿子买儿童画报。,(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。,(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。,(3) 只有天不下雨，我才骑车上班
8、。,(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。,(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。,(或 ),真值表：,5、等价联结词,6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。,否定不是，没有，非，不。,合取并且，同时，和，既又，不但而且，虽然但是。,析取或者，或许，可能。,蕴涵若则，假如那么，既然那就，倘若就。,等价当且仅当，充分必要，相同，一样。,7、运算顺序,例如：,三、命题符号化。,步骤：(1) 找出各简单命题，分别符号化。,(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。,例7、将下列命题符号化。,(1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。,(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。,例7、将下列命题符号化。,(3
9、) 选小王或小李中的一人当班长。,(4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。,(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。,例8 令：p:北京比天津人口多q:2+2=4r:乌鸦是黑色的 求下列复合命题的真值 （1） （2） （3）,第二节 命题公式及分类,内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。,重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。,(2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真值表进行判断。,一、命题公式,通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项， 联结词，括号等组成的字符串。,命题常项/常元：简单命题,命题变项/变元：真值可以变化的简单陈述句,定义
10、1.6 合式公式,(1) 单个命题常项或变项是合式公式，并称为原子命题公式。 (2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式。 (3) 若A，B是合式公式，则(AB)，(AB)， (AB)，(AB)也是合式公式。 (4) 只有有限次地应用(1)(3)组成的符号串才是合式公式。,合式公式也称为命题公式或命题形式，并简 称为公式。,例1、判断以下字符串中哪些是命题公式。,(1),(2),(3),(4),(5),(6),解：(1)、(2)、(6)是公式，(3)、(4)、(5)不是。,定义1.7 公式层次,(1)若公式A是单个的命题常项、命题变项， 则称A为0层公式。 (2)称A是n+1(n0)层公式是
11、指下面情况之一： (a) AB，B是n层公式；(b) ABC，其中B,C分别为i层和j层公式，且 n=max(i,j)；(c) ABC，其中B,C的层次及n同(b)； (d) ABC，其中B,C的层次及n同(b)； (e) ABC，其中B,C的层次及n同(b)。,5,2、公式的解释,在命题公式中，由于有命题变项的出现，因而真值是不确定的。当将公式中出现的全部命题变项都解释成具体的命题之后，公式就成了真值确定的命题了。例(pq)r,（1）若p：2是素数，q：3是偶数，r：是无理数，则p与r被解释成真命题，q被解释成假命题，此时公式(pq)r被解释成：,（2）若R:是有理数，则(pq)r被解释成：
12、,若2是素数或3是偶数，则是无理数。（真命题）,若2是素数或3是偶数，则是有理数。（假命题）,将命题变项p解释成真命题，相当于指定p的真值为1， 解释成假命题，相当于指定p的真值为0。,定义1.8 赋值或解释,A为命题公式，p1,p2,pn是出现在A中的全部命 题变项，给p1,p2,pn各指定一个真值，称为对A 的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的真值 为1，则称这组值为A的成真赋值；若使A的真值 为0，则称这组值为A的成假赋值。,对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定： (1)若A中出现的命题符号为p1、p2,pn，给定A的赋值1,2,n 是指p11，p22,，pnn。(2)若A中出
13、现的命题符号为p，q，r.,给定A的赋值1,2,n是指p1，q2,，最后一个字母赋值n。上述i取值为0或1，i1,2,n。,赋值举例,在公式(p1p2p3)(p1p2)中， 000(p10，p20，p30)， 110(p11，p21，p30)都是成真赋值， 001(p10，p20，p31)， 011(p10，p21，p31)都是成假赋值。 在(pq)r中， 011(p10，p21，p31)为成真赋值， 100(p11，p20，p30)为成假赋值。 重要结论：含n(n1)个命题变项的公式共有2n种不同的赋值。,3、真值表,(3) 对应每个赋值，计算各层次的值，直至整个公式。,例3 求下列公式的真
14、值表，并求成真赋值和 成假赋值。(1)(pq)r (2)(pp)(qq) (3)(pq)qr,二、重言式、矛盾式，可满足式。,2、判定方法:真值表法。,1、定义,（永真式）,（永假式）,例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式，哪些是矛盾式，哪些是可满足式？,例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式，哪些是矛盾式，哪些是可满足式？,解：列出各题真值表如下(步骤简略),(1)、(2)、(5)、(6)、(9)为重言式； (3)、(8)为矛盾式； (4)、(7)、(10)及以上的重言式均为可满足式。,第三节 等值演算,内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。,重点：(1) 掌握两公式等值的定
15、义。,(2) 掌握24个重要等值式，并能利用其进行等值演算。,一、两命题公式间的等值关系。,2、判定 。,(1) ，,解：作真值表如下：,解：作真值表如下：,(2) ，,二、重要等值式。,1、双重否定律,二、重要等值式（续）。,二、重要等值式（续） 。,二、重要等值式（续） 。,11、蕴涵等值式,12、等价等值式,13、假言易位,14、等价否定等值式,15、归谬论,三、等值演算。,例2、验证下列等值式。,例2、验证下列等值式。,(1),解：,蕴涵等值式,蕴涵等值式,结合律,德摩根律,蕴涵等值式,例2、验证下列等值式。,(2),解：,交换律,分配律,排中律,同一律,(3),解：,分配律,矛盾律,
16、同一律,德摩根律,结合律,排中律,零律,考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断公式的类型(重言，矛盾，可满足)。,判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方法，即真值表法和等值演算法。,例3、用两种方法证明:,证法一 用真值表法,由最后两列真值完全相同，于是命题成立。,例3、用两种方法证明:,证法二 用等值式法,蕴涵等值式,双重否定律,交换律,结合律,吸收律,例4 应用题,在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：甲说王教授不是苏州人，是上海人。乙说王教授不是上海人，是苏州人。丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
17、 听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？,例4 解答,设命题 p：王教授是苏州人。q：王教授是上海人。 r：王教授是杭州人。 p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演算将真命题找出来。 设 甲的判断为A1=pq乙的判断为A2=pq 丙的判断为A3=qr,例4 解答,甲的判断全对 B1=A1=pq 甲的判断对一半 B2=(pq)(pq) 甲的判断全错 B3=pq 乙的判断全对 C1=A2=pq 乙的判断对一半 C2=(pq)(pq) 乙的判断全错 C3=pq 丙的判断全对 D1=A3=q
18、r 丙的判断对一半 D2=(qr)(qr) 丙的判断全错 D3=qr,例4 解答,由王教授所说E = (B1C2D3)(B1C3D2)(B2C1D3)(B2C3D1)(B2C1D2)(B3C2D1) 为真命题。 经过等值演算后,可得E (pqr)(pqr) 由题设，王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而p, r中必有一个假命题，即pqr0，于是E pqr 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题，即王教授是上海人。甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。,例4 进一步思考,王教授只可能是其中一个城市的人或者三个城市都不是。 所以，丙至少说对了一半。 因此，可得甲或乙必有一人全错了。 又因为
19、，若甲全错了，则有pq，因此乙全对。 同理，乙全错则甲全对。 所以丙必是一对一错。 根据上述推理，可对公式E进行简化，方便等值演算。,例5、将下图所示的逻辑电路简化,解：将上述逻辑电路写成命题公式：,利用等值式将公式化简,分配律,结合律,等幂律,所以，该电路可简化为下图 ：,第四节 联结词的全功能集,内容：联结词的全功能集，极小功能集。,了解：全功能集，极小功能集。,真值表 ：,由定义知：,真值表 ：,真值表：,二、全功能集，极小功能集。,全功能集：若任一命题公式都可以用仅含某一联结词集中的联结词的命题公式表示。,极小全功能集：不含冗余联结词的全功能集。,等都是极小全功能集。,第五节 对偶与范
20、式,内容：对偶原理，命题公式的范式。,重点：(1) 掌握对偶式，对偶原理。,(2) 掌握析取范式和合取范式的定义和求法步骤。,(3) 掌握极小项，极大项的概念及主范式的求法。,一、对偶原理。,1、对偶式。,与,定理1. 2 设A和A*互为对偶式, P1, P2, , Pn是出现在A和A*中的命题变元, 则: A(P1,P2,Pn) A*(P1, P2, , Pn) A(P1, P2, , Pn) A*(P1,P2, ,Pn)说明: 表明，公式A的否定等值等价于其命题变项否定的对偶式；表明，命题变项否定的公式等值等价于对偶式之否定。,2、对偶原理。,所以可得：,二、范式。,1、简单析取式，简单合
21、取式。,为讨论方便，有时用A1,A2,As表示s个 简单析取式或s个简单合取式。,设Ai是一简单析取式，若Ai既含某个命题变项pj，又含它的否定式pj， 即pjpj，则Ai为重言式。 反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命题变项和它的否定式. 类似的，若Ai是简单合取式，且Ai为矛盾式，当且仅当Ai中必同时含某个命题变项及它的否定式。,2、析取范式，合取范式。,为合取范式。,2、析取范式，合取范式（续）。,为析取范式。,2、析取范式，合取范式（续）。,（1）析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式； （2）合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。,求给定公式范式的步
22、骤,(1)消去联结词、(若存在)。 AB AB AB (AB)(AB) (2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。 A A (AB) AB (AB)AB,(3)利用分配律：利用对的分配律求析取范式， 对的分配律求合取范式。 A(BC) (AB)(AC) A(BC) (AB)(AC),解：原式,消去,内移,消去,上式即析取范式,解：原式,消去,内移,消去,上式即合取范式,三、主范式。,1、极小项，极大项。,都是极小项，,都是极大项，,极小项,记法,极大项,记法,2、主析取范式，主合取范式。,主析取范式,命题公式A的析取范式中的每个简单合取式都是 极小项。,主合取范式,命题公式A
23、的合取范式中的每个简单析取式都是 极大项。,两种求法，等值式法和真值表法。,定理：任何命题公式的主析取范式、主合取范式都存在且都是唯一的。,步骤：,(3) 消去重复的及永假项。,解：由例1的析取范式为,解：由例1的析取范式为,步骤：,解：(1) 列真值表,解：(2) 成真赋值有010，100，101，110，111,(3) 对应的十进制数为2，4，5，6，7,所以主析取范式为,步骤：,(3) 消去重复的及永真项；,解：由例1，,合取范式,解：由例1，,2.4、利用真值表求命题公式的主合取范式。,步骤：,(3) 对应的十进制数为0，1，3。,由例3、例5知：,(2) 写出与(1)中极小项角码相同
24、的极大项，,3、主范式的用途。,(1) 判断两命题公式是否等值。,(2) 判断命题公式的类型。,3、主范式的用途（续）。,(2) 判断命题公式的类型(续)。,(3) 求成真(假)赋值。,(4) 求真值表。,的成假赋值有010，011，100，101。,解：真值表,第六节 推理规则,内容：,重点：,(1) 理解推理的概念；,(2) 掌握8条推理定律；,(3) 掌握推理规则；,(4) 掌握构造证明法。,了解：,附加前提证明法和归谬法。,数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
25、 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。,一、推理的形式结构。,2、判断推理的方法。,等值演算法，真值表法，主析取范式法。,例1、判断下面各推理是否正确。,结论：,推理形式结构为：,判断此蕴涵式是否为重言式。,方法一 用等值式法。,所以推理正确。,方法二 用真值表法。,其真值表中最后一列全为1，,所以推理正确。,方法三 用主析取范式法。,主析取范式含全部最小项，所以推理正确。,前提：,结论：,推理的形式结构为：,方法一,蕴涵等值式,吸收律,方法二,方法三,二、构造证明法。,1、推理定律有以下8条：,(1) 附加,(2) 化简,(3) 假言推理,
26、(4) 拒取式,(5) 析取三段论,二、构造证明法。,1、推理定律有以下8条：,(6) 假言三段论,(7) 等价三段论,(8) 构造性二难,2、推理规则。,(1) 前提引入规则,(3) 置换规则,3、构造证明法。,依照推理规则，应用推理规律。,(2) 结论引入规则,例2、构造下列推理的证明。,证明：,前提引入,前提引入,前提引入,构造性二难,例2、构造下列推理的证明。,证明：,前提引入,前提引入,拒取式,前提引入,假言推理,例2、构造下列推理的证明。,证明：,前提引入,拒取式,前提引入,析取三段论,例3、写出对应下面推理的证明。,解：,前提：,结论：,证明：,前提引入,前提引入,假言推理,前提
27、引入,前提引入,假言推理,析取三段论,前提：,结论：,解：,前提：,结论：,证明：,前提引入,置换规则,前提引入,假言推理,前提引入,拒取式,前提：,结论：,解：,前提：,结论：,解：,前提：,结论：,证明：,前提引入,置换规则,前提引入,假言三段论,前提：,结论：,3、附加前提证明法和归谬法。,(1) 附加前提证明法。,例如：例3 (3),前提：,结论：,用附加前提证明：,附加前提引入,前提引入,拒取式,例如：例3 (3),前提：,结论：,用附加前提证明：,前提引入,假言推理,化简,由附加前提证明法知推理正确。,(2) 归谬法。,因为,例如：例3 (2),前提：,结论：,用归谬法证明：,否定
28、结论引入,前提引入,假言推理,前提引入,例如：例3 (2),前提：,结论：,用归谬法证明：,析取三段论,前提引入,合取,由归谬法知推理正确。,第一章 小结与例题,一、命题与联结词。,1、基本概念。,2、应用。,(1) 选择适当的联结词将命题符号化。,(2) 判断命题(简单或复合)的真假。,二、命题公式及分类。,1、基本概念。,2、应用。,(2) 用真值表判断给定公式的类型。,三、等值演算。,1、基本概念。,两个公式等值的含义；等值演算。,2、应用。,(1) 灵活运用24个重要等值式。,四、联结词的全功能集。,基本概念,联结词的全功能集，极小全功能集。,五、对偶与范式。,1、基本概念。,五、对偶
29、与范式。,2、应用。,(1) 求给定公式的主析取范式和主合取范式。,(4) 用主析取范式或主合取范式判断公式的类型。,六、推理理论。,1、基本概念。,推理，推理规则，推理定律；构造证明法。,2、应用。,(2) 用8条推理定律构造推理的证明。,(2) 2是素数或是合数，,(4) 只有4是奇数，5才能被3整除。,(5) 明年5月1日是晴天。,解：命题有(2)(5)，,(1),解：我将进城去当且仅当我有空且天不下雪。,(2),解：虽然天正在下雪，但我将进城去。,(3),解：我进城当且仅当我有空。,(4),解：天不下雪且我没空。,(1),解：,(2),解：,(3),解：,(4),解：,例4、简化下列命
30、题公式。,(1),解：,例4、简化下列命题公式。,(2),解：,例4、简化下列命题公式。,(3),解：,例4、简化下列命题公式。,(4),解：,(1),(2),(3),(2)为重言式，(3)为矛盾式，(1)，(2)均为可满足式。,解：先求主析取范式,解：先求主析取范式,故主合取范式为,例7、设,解：,例7、设,解：,例7、设,解：,例8、判断下列推理是否正确。,例8、判断下列推理是否正确。,以上推理即假言推理，所以是正确的。,前提：,结论：,前提引入,附加前提引入,析取三段论,前提引入,假言推理,前提：,结论：,假言推理,前提引入,假言推理,由附加前提证明法知推理正确。,例10、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下：,(1) 甲或乙盗窃了录音机；,(3) 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；,(4) 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前；,(5) 午夜时屋里灯光灭了。,问是谁盗窃了录音机。,：乙盗窃了录音机，,：作案时间发生在午夜前，,：乙的证词正确，,：午夜灯光未灭。,所以是乙盗窃了录音机。,
