2011年高考试题数学汇编--圆锥曲线.doc

1、12011 年高考试题数学汇编 圆锥曲线一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科 8)已知双曲线 的两条渐近线均和圆21(0b)xyab ， C: 相切,且双曲线的右焦点为圆 C的圆心,则该双曲线的方程为2650xy(A) (B) (C) (D) 142145xy2136xy2163xy【答案】A【解析】由圆 C: 260xy得: 2()4xy,因为双曲线的右焦点为圆 C的圆心(3,0),所以 c=3,又双曲线的两条渐近线 0ba均和圆 C相切,所以 23ba,即 32bc,又因为 c=3,所以 b=2,即 25a,所以该双曲线的方程为2154xy,故选 A.2. (2011年高考辽宁卷理

2、科 3)已知 F是抛物线 y2=x的焦点， A， B是该抛物线上的两点，则线段 AB的中点到 y轴的距离为 =3AFBA B1 C D4 5474答案：C解析：设 A， B的横坐标分别是 ，由抛物线定义，得,mn，故 ， ,故线段 AB的中点11=+342F52n4m到轴的距离为 53. (2011年高考全国新课标卷理科 7)设直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直，l 与 C交于 A,B 两点， 为 C的实轴长的 2倍，则 C的离心率为AB（A） （B） （C）2 （D）323答案：B解析：由题意知， 为双曲线的通径，所以， ，AABab4222又 ，故选 B.312abe

3、点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的 4倍的关系可以计算出离心率的关键 的值，从而的离心率。2ab4.(2011年高考浙江卷理科 8)已知椭圆 与双曲线21:(0)xyCab 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两22:14yCx21 ,AB点，若 恰好将线段 三等分，则1AB（A） （B） （C） （D）23a213a2b2b【答案】 C【解析】由 恰好将线段 AB三等分得 ，由1 13AAxx25Ayxa5,xa又215y25(,)1a在 椭 圆 上 ,225()()11ab2ab2,ab，故选 C5.(2011年高考安徽卷理科 2)双曲线 的

4、实轴长是xy（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.3【解析】 可变形为 ，则 ， ， .故选 C.xy2148xy24a24a6. (2011年高考湖南卷理科 5)设双曲线 的渐近线方程为 ，092023yx则 的值为aA.4 B. 3 C. 2 D. 1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 ，故可知 。3yxa27.(2011年高考湖北卷理科 4)将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此02p抛物线焦点的正三角形的个数记为 ，则nA. B. C. D. 0n13n答案：C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个

5、顶点一定关于 x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为 和 ，这时过焦点的直线0315与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为 ， ，所以选 C.n28.(2011年高考陕西卷理科 2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方2x程是 （A） （B） （C） （D）28yx28yx24yx24y【答案】B【解析】：设抛物线方程为 ，则准线方程为 于是2aa8a9. (2011年高考四川卷理科 10)在抛物线 25(0)yx 上取横坐标为 14x，2x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆536y相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A） (,9 （

6、B） (0,5) （C） (2,9) （D） (1,6)答案：A解析：由已知的割线的坐标xyO FABCD4,设直线方程为 ，则(4,1),(21),2aKa(2)yaxb又2365()b564,9()yxb10. (2011年高考全国卷理科 10)已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与2yx24yxC交于 A，B 两点则 =cosAFB(A) (B) (C) (D) 45354【答案】D【解析】： ，准线方程为 ，由24(1,0)yxF得 1x24(1,2)4,yxAB得则 ，由抛物线的定义得2211(35ABy ,5F由余弦定理得 故选 D2()4cosFB11(2011 年高考福建卷理

7、科 7)设圆锥曲线 r的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线 r上存在点 P满足 =4:3:2，则曲线 r的离心率等于12:PA B 或 2 C 2 D32或 3或 32或【答案】A二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科 13)已知点（2,3）在双曲线 C： （a0，b0）上，1y-x2C的焦距为 4，则它的离心率为_.2.(2011年高考浙江卷理科 17)设 12,F分别为椭圆213xy的焦点，点 ,AB在椭圆上，若 125FAB;则点 的坐标是 .5【答案】 1,0 【解析】设直线 AF的反向延长线与椭圆交于点 B，又 BFA215，由椭圆的对称性可得 115B，设 1,yx， 2,y

8、x，又 236| ， | 36， 2152)()(3xx解之得 01x，点 A的坐标为 1,0.3. (2011年高考江西卷理科 14)若椭圆 的焦点在 轴上，过点（1， ）作圆2yab2的切线，切点分别为 A,B，直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方2+=1xyAB程是 【答案】254【解析】因为一条切线为 x=1,且直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右AB焦点为(1,0),即 ,设点 P（1， ）,连结 OP,则 OPAB,因为 ,所以 ,c212OPk2ABk又因为直线 AB过点(1,0),所以直线 AB的方程为 ,因为点 在直线 AB上,所20xy()b以 ,又因为

9、 ,所以 ,故椭圆方程是 .2b1c25a154解析：由椭圆的的定义知， ，又因为离心率 ，4,164aC 2,ca6因此，所求椭圆方程为： ；822cab 1862yx点评：本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握.5.(2011年高考重庆卷理科 15)设圆 位于抛物线 与直线 所组成的封闭区域C2yx3（包含边界）内，则圆 的半径能取到的最大值为 解析： 。 为使圆 的半径取到最大值，显然圆心应该在 x轴上且与直线 相61 3x切，设圆 的半径为 ，则圆 的方程为 ，将其与 联立得：CrC223xryr2y，令 ，并由 ，得：290xrx24960r616. (2011年

10、高考四川卷理科 14)双曲线2xy=P4643上 一 点 到 双 曲 线 右 焦 点 的 距 离 是 ， 那 么 点P到左准线的距离是 . 答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF 1|-|PF2|=16，因|PF 2|=4，故|PF 1|=20， （|PF 1|=-12舍去） ，设 P到左准线的距离是 d，由第二定义，得 ，解得 .018d6d7. (2011年高考全国卷理科 15)已知 F1、 F2分别为双曲线 C: - =1的左、右焦点，29x7y点 AC，点 M的坐标为(2，0)，AM 为 F1AF2的平分线则| AF2| = .【答案】6【解析】： ，由角平分线的性质得12(6,0)

11、(,F12284AFM又 123A26AF8(2011 年高考北京卷理科 14)曲线 C是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 的点的轨迹.给出下列三个结论：)1(2a 曲线 C过坐标原点； 曲线 C关于坐标原点对称；7若点 P在曲线 C上，则F PF 的面积大于 a 。1212其中，所有正确结论的序号是 。【答案】9(2011 年高考上海卷理科 3)设 为常数，若点 是双曲线 的一个焦m(0,5)F219yxm点，则 。m【答案】16三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科 22)（本小题满分 14分）已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、Q 两不同点，

12、且OPQ 的面l213xy1,xy2,积 = ,其中 O为坐标原点 .OPQS62（）证明 和 均为定值;21x21y（）设线段 PQ的中点为 M，求 的最大值；|PQ（）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得 ?若存在，判断62ODEGOESSDEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】 （I）解：（1）当直线 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x轴对称，l所以 因为 在椭圆上，因此 21,.xy1(,)xy213y又因为 所以 ；由、得6,OPQS16|.2116|,|.2x此时 22113,xy（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为l l,ykxm由题意知 m ，将其代入 ，得 ，

13、0213xy22(3)63()0其中 即 （*）22361()0,kkm22k8又2121263(),kmxxk所以222221163| ()4,kmPQx 因为点 O到直线 的距离为 所以l2|,dk1|OPQSd，又22 2163|1km 226|3k,OPQS整理得 且符合（*）式，223,km此时222211163()()(),kmxx k222211 13(4.3y x综上所述， 结论成立。22;,xy（II）解法一：（1）当直线 的斜率存在时，由（I）知l 116|,|2|,OMxPQy因此 6|2.OMPQ（2）当直线 的斜率存在时，由（I）知l 123,xkm2112 22 2

14、1 22223() ,9161|() (3),4443()|(1) ,()yxkkmyOMkPQm所以 222211|()()m221(3)922135()4m所以 ，当且仅当 时，等号成立.|2OMPQ2213,m即综合（1） （2）得|OM|PQ|的最大值为 5.解法二：因为 22222211114|()()()()xyxy1212()0.xy所以224|10| 5.OMPQP即 当且仅当 时等号成立。5|,OQ |因此 |OM|PQ|的最大值为 .2（III）椭圆 C上不存在三点 D，E，G，使得 6.2ODEGOESS证明：假设存在 ，12(,),)(,)EDEGuvxy满 足由（I）

15、得 222222111112 123,3;,;.5, , ,uxvvyyvyx解 得因 此 只 能 从 中 选 取 只 能 从 中 选 取因此 D，E，G 只能在 这四点中选取三个不同点，6(,)而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 矛盾，62ODEGOESS所以椭圆 C上不存在满足条件的三点 D，E，G.2.(2011年高考辽宁卷理科 20)（本小题满分 12分）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x轴上，椭圆 C2的短轴10为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，

16、C，D.（I）设 ，求 与 的比值；12eD（II）当 e变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：（I）因为 C1，C 2的离心率相同，故依题意可设2214:,:1,(0)xybyxabaa设直线 ，分别与 C1，C 2的方程联立，求得:(|)lt4分22(,.bAtBtba当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aey时 分 别 用6分2|:| .4BAbBCDa（II）t=0 时的 l不符合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO的斜率 kBO与 AN的斜率 kAN0t相等，即 22,battba解得221.et因为2|,0,1,1.taee又 所 以 解 得所以当 时，不存在

17、直线 l，使得 BO/AN；2e当 时，存在直线 l使得 BO/AN.12.(2011年高考安徽卷理科 21)（本小题满分 13分）设 ，点 的坐标为（1,1） ，点 在抛物线 上运动，点 满足 ，AByxQBAur经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。QxMPMPur11【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由 知 Q,M,P三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设QMPur， ， ，则 ，即(,)Pxy(,)(,)x()yyx再设

18、 ,由 ，即 ，解得()BxQAur(,)(,)yxy()y将代入式，消去 得y()()xyx又点 B在抛物线 上，所以 ，再将式代入得yyx，即()()()x，即()yxx，因为 ，等式两边同时约去()()()x得 ()y这就是所求的点 的轨迹方程。P【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。123. (2011年高考全国新课标卷理科 20)（本小题满分 12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3上，M 点满足MB/OA

19、， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C的方程；（）P 为 C上的动点，l 为 C在 P点处得切线，求 O点到 l距离的最小值。解析; ()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MAur=（-x,-1-y）, Bur=(0,-3-y), Aur=(x,-2).再由题意可知（r+ ） =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲线 C的方程式为 y= 14x 2-2.()设 P(x 0,y )为曲线 C：y= x -2上一点，因为 y = 12x,所以 l的斜率为 12x 0因此直线 l的方程为 00()2y，即 200xx。则 o点

20、到 l的距离 0|4xd.又 21y，所以22020 014(),xx当 20x=0时取等号，所以 o点到 l距离的最小值为 2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。4. (2011年高考天津卷理科 18)（本小题满分 13分）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆xOy(,)Pab0)12,F的左右焦点已知 为等腰三角形21xyab12F（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，2PF,ABM2PF2AMB13求点 的轨迹方程M解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质

21、、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13分.（I）解：设 12(,0)(,0)Fcc由题意，可得 1|P即 2().acb整理得 （舍） ，0,ca得或 所以1.2a.e（）解:由（）知 ,可得椭圆方程为 .直线 方程为2,3cb22341xyc2PF,A,B两点的坐标满足方程组 ,消去 y并整理,得3()yxc2()yc,解得2580,得方程组的解 , ,不妨设 ,12,cx103xyc2185xyc83(,)5cA,(0,3)Bc设点 的坐标为 ,则 , .由M()xy83(,)5cAMxy(,3)BMx

22、yc得3(yc,于是 ,由 ，x833(,),(3)155yxxx2ABM即,化简得 ,将8383()()2155yyxx21863150xy代入2614,得 ,所以 ,3cxy21056xc0x因此,点 的轨迹方程是 .M28315()y5.(2011年高考浙江卷理科 21)（本题满分 15分）已知抛物线 : ，圆 :1C2xy2的圆心为点 M（）求点 M到抛物线 的准线的距离；22(4)1xy1c（）已知点 P是抛物线 上一点（异于原点） ，过点 P作圆 的两条切1c2线，交抛物线 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求直1 l线 的方程l【解析】 （）由 得准线方程

23、为 ，由 得 M2xy14y22(4)1xy，点 M到抛物线 的准线的距离为(0,4)1c7()（）设点 ， ， 由题意得 设过点20(,)Px21(,)Ax2,Bx0,x12x的圆 的切线方程为 即 则2C200yk20yk002|4|k即 设 ， 的斜率为 （ ）22000(1)(4)(4)1xkxxPAB1,则 是上述方2,程的两个不相等的根， 将代入 得2012(),1xk20(4)1xk2yx由于 是方程的根故 ， 所以220xkx01020k，1212AB， 由 得012 02(4)xkx204MPkxAB解得 点 的坐标为2002()()11ABMPx 2035P23(,)5直线

24、 的方程为 .l354yx156. (2011年高考江西卷理科 20)（本小题满分 13分）是双曲线 E： 上一点，M，N 分别是双曲线 E0(,)Pxya21(0,)xyab的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为 5（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足 ，求 的值OCAB解：（1）已知双曲线 E： ， 在双曲线上，M，N 分别为0,12bayx0,yxP双曲线 E的左右顶点，所以 ， ，直线 PM，PN 斜率之积为0,M,N151202000 ayxaxyaxyKPNM而 ，比较得120b

25、a 530565222cebcb（2）设过右焦点且斜率为 1的直线 L： ，交双曲线 E于 A，B 两点，则不妨设xy，又 ，点 C在双曲线 E上：21,yxBA2121,yOBAC 2221212 5055 ayxxa *（1）又 联立直线 L和双曲线 E方程消去 y得： 422acx由韦达定理得： ，45221acx代入（1）式得：222121 5cy 4-07222 ， 或aa7. (2011年高考湖南卷理科 21) （本小题满分 13分）如图 7，椭圆的离心率为 ， 轴被曲线)0(1:21bayxC23x16截得的线段长等于 的长半轴长.bxyC22: 1C求 ， 的方程；12设 与

26、轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 ， ，直线 ，yMOl2CABM分别与 相交于点 ， .MB1CDE()证明： ;()记 , 的面积分别为 ，问：是否存在直线 ，使得 ？请说A21,Sl3217S明理由.解： 由题意知 ，从而 ，又 ，解得 ，故 ，23aceba2a1,bC的方程分别为 ，2C14yx2x（）由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为lklkxy由 得12xyk012kx设 ， ，则 是上述方程的两,A2,yB21,个实根，于是 ,21kx21又点 ，所以0M2122121 xkxkxykBA 12k故 即MBAED（ii）设直线的斜率为 ，则直线的

27、方程为 ，由 解得 或1k1ykx12ykx01y17，则点的坐标为12xky21(,)k又直线 的斜率为 ，同理可得点 B的坐标为 .MB1 21(,)k于是 21 1211| |.2 |SAk由 得 ，1240ykx211(4)80x解得 或 ，则点 的坐标为 ；1xy214kD21184(,)k又直线的斜率为 ，同理可得点 的坐标1kE2112(,)4k于是2123()|kSMD因此 7461212k由题意知， ，解得 或3421421k12又由点 的坐标可知， 所以BA, ,112kk23故满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和l xyx评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准

28、方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.8. (2011年高考广东卷理科 19)设圆 C与两圆 中的2254,54xyxy（ +） （ ）一个内切，另一个外切.（1）求 C的圆心轨迹 L的方程.18（2）已知点 且 P为 L上动点，求 的最大值及354()5MF， ， （ ， 0） ， MPF此时点 P的坐标.【解析】 （1）解：设 C的圆心的坐标为 ，由题设条件知(,)xy22|(5)(5|4,xy化简得 L的方程为21.4x（2）解：过 M，F 的直线 方程为 ，将其代入 L的方程得l2(5)yx153840.x解得 1

29、2 126156145,(,),(,).5xlLTT故 与 交 点 为因 T1在线段 MF外，T 2在线段 MF内，故 1|,MF，若 P不在直线 MF上，在 中有2|.MFP|P故 只在 T1点取得最大值 2。|9. (2011年高考湖北卷理科 20)（本小题满分 13分）平面内与两定点 连线的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹，12(,0)(,0)Aaa加上 A1、A 2两点所在所面的曲线 C可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线 C的方程，并讨论 C的形状与 m的位置关系；19()当 m=-1时，对应的曲线为 C1：对给定的 ，对应的曲线为 C2，(1,0),)m设 F1、F 2是 C2的两

30、个焦点，试问：在 C1上，是否存在点 N，使得F 1NF2的面积 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.Sma12tanFN解：本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。 （满分 14分）解：（I）设动点为 M，其坐标为 ，(,)xy当 时，由条件可得xa12 2,Aykmaxa即 ，又 的坐标满足22()myxa2(,0)(,)A22,ya故依题意，曲线 C的方程为 2.my当 曲线 C的方程为 是焦点在 y轴上的椭圆；1,时 21,xCa当 时，曲线 C的方程为 ，C 是圆心在原点的圆；m22y当 时，曲线 C的方程为 ，C

31、是焦点在 x轴上的椭圆；10221xam当 时，曲线 C的方程为 ，C 是焦点在 x轴上的双曲线.2y（）由（）知，当 时，C 1的方程为 ；m22ya当 时，(1,0),)C2的两个焦点分别为 ， .1(,0)Fa2(1,0)Fm对于给定的 ，C 1上存在点 使得,)m()Nxy的充要条件是2Sa002, 12xya由得 ，由得 ，0y01may20当 ，即 ，或 时，01ma1502m152存在点 N，使 ：S当 ，即 ，或 时，1am152152不存大满足条件的点 N.当 时，515,0,22由 ， ，10(,)NFamxy20(1,)NFamxy可得 2 20(1令 ， ,12,r2则

32、由 ，可得 ，121cosNFma212cosar从而 ，于是由 ，2212inintnsSr2Sma可得 ，即 ，22tamtam综上可得：当 时，在 C1上，存在点 N，使得 ，且15,02 2Sa;12tanFN当 时，在 C1上，存在点 N，使得 ，且150,2m 2Sma;1tanF当 时，在 C1上，不存在满足条件的点 N.51,210.(2011年高考陕西卷理科 17)（本小题满分 12分）21如图，设 是圆珠笔 上的动点，点 D是 在 轴上的投影，M 为 D上一点，P25xyPxP且 45MD（）当 的在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为 的直线

33、被 C所截线段的长度。45【解析】：（）设 M的坐标为 ， 的坐标为 (,)xyP(,)pxy由已知得 在圆上， 即 C的方程为,54pxy22()5,42156xy（）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为 ，设直线与 C的交点为(3)yx，将直线方程 代入 C的方程，得 ，2(,),)AxyB4(3)5yx22(3)15x即 。23801231,x线段 AB的长度为 2221116()()()5AByx4125注：求 AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。11.(2011年高考重庆卷理科 20)（本小题满分 12分，第一问 4分，第二问 8分）如图（20） ，椭圆的中心为

34、原点 O，离心率 ，一条准线的方程为 。2e2x（）求该椭圆的标准方程。（）设动点 P满足 ,其中 M,N是椭圆上的点。直线 OM与 ON的斜2MN率之积为 。问：是否存在两个定点 ，使得 为定值。若存在，求121F、 12PF的坐标；若不存在，说明理由。1F、解析：（）由 ，解得 ，2,aec22,acbac22故椭圆的标准方程为214xy（）设 ， ,则由 得,Py12,MNx2OPMN，即 ，12,xyx11y因为点 M,N在椭圆 上，所以4y2214,4xxy故 22112212xyxy4yxxy，12204设 分别为直线 OM， ON的斜率，由题意知，,OMNk，因此 ，12=-yx

35、A122=0xy所以 ，20所以 P点是椭圆 上的点，设该椭圆的左右焦点为 ，则由椭圆2215xy12F、的定义， 为定值，又因 ，因此两焦点的坐标分12F22510c别为 0,0,、12(2011 年高考四川卷理科 21) (本小题共 l2分)椭圆有两顶点 A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点 F(0，1)的直线 l与椭圆交于 C、D 两点，并与 x轴交于点 P直线 AC与直线 BD交于点 Q(I)当|CD | = 32时，求直线 l的方程；(II)当点 P异于 A、B 两点时，求证： OP为定值.23解析：由已知可得椭圆方程为 ，设 的方程为 为 的斜率.21yxl1(0),ykxl则1

36、212 2222 41()0ykx yxkkxk ，2422 2112889()() 2()()kxy的方程为 .lx13.(2011年高考全国卷理科 21)已知 O为坐标原点，F 为椭圆 在 y轴正半轴2:1Cx上的焦点，过 F且斜率为 的直线 与 C交与 A、B 两点，点 P满足-2l 0.OABP()证明：点 P在 C上；（）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上.【解析】： ()证明：由 ， ，21(0,)yxF得 :21lyx由 2214yx得设 11184(1)(,)(,)2AyBx则， ，2642()64424，1263142y2 0.OABP，

37、故点 P在 C上12()pxy221()pyx（）法一：点 P ， P关于点 O的对称点为 Q， ，(,1)2(,1)2，即 ，同221131()624AQPyyKxx 90PA理 即 ， A、P、B、Q 四点在同一圆PBQ90B180PAQ上.法二：由已知有 则 的中垂线为： 设 、 的中点为1,2xy23,yxD 21212413 xxyx 则 的中垂线为：,4DAB4xy则 的中垂线与 的中垂线的交点为 PQ81,2O813| QOP到直线 的距离为81,2OAB3|d243| 1212121 xxyxAB25 即8132| 2 dABOA | QOPBAO 、 、 、 四点在同一圆上。

38、PQ14. (2011年高考江苏卷 18)如图，在平面直角坐标系 中，M、N 分别是椭圆xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P在第一象限，过 P124yx作 x轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA的斜率为 k（1）当直线 PA平分线段 MN，求 k的值；（2）当 k=2时，求点 P到直线 AB的距离 d；（3）对任意 k0，求证：PAPB【解析】 （1）因为 、 ,(2,0)M(2)N所以 MN的中点坐标为(-1, ),又因为直线 PA平分线段 MN，所以 k的值为 2.(2)因为 k=2,所以直线 AP的方程为 ,由 得交点 P( )、A

39、( ),2yx214yx24,34,3因为 PCx 轴，所以 C（ )，所以直线 AC的斜率为 1，直线 AB的方程为 ，2,03 23yx所以点 P到直线 AB的距离 d= = .4|23（3）法一：由题意设 ，0010(,)(,)(,)(,)PxyAyBxC则A、C、B 三点共线， 又因为点 P、B 在椭圆上，0101,2，两式相减得：2201,4xyxy012()PBxkyNMPAxyBC2601101()2()PAByxyxk y法二：设 ,12011(,)(,)A,BN(,)P(-,)C(-0xy x中 点 则A、C、B 三点共线， 又因为点 A、B 在椭圆上,2121,ABykxx

40、,两式相减得： ,21,4xyy02ABk,0121ONPAABkkx/,ONP15(2011 年高考北京卷理科 19)（本小题共 14分）已知椭圆 .过点（ m,0）作圆 的切线 I交椭圆 G于 A， B两点.2:14Gy21xy（I）求椭圆 G的焦点坐标和离心率；（II）将 表示为 m的函数，并求 的最大值.ABAB解：（）由已知得 ,12ba所以 .32c所以椭圆 G的焦点坐标为 )0,3(,(离心率为 .2ace（）由题意知， .1|m当 时，切线 l的方程 ，点 A、B 的坐标分别为1x ),231(),此时 3|AB当 m=1 时，同理可得 3|当 时，设切线 l的方程为|m),(

41、mxky27由 048)41(.4),( 2222 mkxkyxmk得设 A、B 两点的坐标分别为 ，则),(,21yx22121 4,48kkmx又由 l与圆 .1,1|, 222 kmy即得相 切所以 1212)()(| yxAB4)4(6)122kkm.3|42由于当 时，m,3|AB所以 .),1,(,|4|2 因为 ,2|3|4|3|2mAB且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.m16(2011 年高考福建卷理科 17)（本小题满分 13分）已知直线 l：y=x+m，mR。（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l相切与点 P，且点 P在 y轴上，求该圆的方程；（I

42、I）若直线 l关于 x轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线 C：x 2=4y是否相切？说ll明理由。解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13分。28解法一：（I）依题意，点 P的坐标为（0，m）因为 ，所以 ，Ml12解得 m=2，即点 P的坐标为（0，2）从而圆的半径 22|()(),r故所求圆的方程为 8.xy（II）直线 关于 轴对称的直线为 l， ： ， ，l yxmR ： ，代入 得 ，lyxm24xy240= = ，2416当 1 时， 0，直线 与抛物线 C相交；l当 =1时， =

43、0，直线 与抛物线 C相切；当 1 时， 0，直线 与抛物线 C相离.综上所述，当 =1时，直线 与抛物线 C相切，当 1 时，直线 与抛物线 C不相切.ml ml解法二：（I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 22()xyr依题意，所求圆与直线 相切于点 P（0，m） ，:lxy则24,|0|rm解得2,.r所以所求圆的方程为 2()8.xy（II）同解法一。17(2011 年高考事后卷理科 23)（18 分）已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，lPlQ线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记作 。PQPl(,)d()求点 到线段 的距离 ；(1,):30(5)lxyxl（

44、）设 是长为 2的线段，求点集 所表示图形的面积；l |,1Dl29（）写出到两条线段 距离相等的点的集合 ，其中12,l 12|(,)(,)Pdll， 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满12,lABlCD分分别是2 分，6分，8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。(1,3),0(1,3)(,0)D 。2ABC 。(,),(,),解： 设 是线段 上一点，则3Qx:30(5)lxyx，当 时，2229|(1)(4)P3x。min(,)|5dl 设线段 的端点分别为 ，以直线 为 轴， 的中点为原点建立直角坐标l,ABxAB系，则 ，点集 由如下曲线围成(1,0),AD，2:|:1(|)lyxlyx2 21 2()(),:1()CCyx其面积为 。4