1、2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第 10 部分:圆锥曲线（解答 3）8. （ 2010年高考全国卷 I理科 21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与 相交于 、 两点，2:4Cyx(1,0KlCAB点 A 关于 轴的对称点为 D .x（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设 ，求 的内切圆 M 的方程 .89B【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、
2、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】 （21）解：设 ， ， ， 的方程为 .1(,)Axy2(,)B1(,)Dxyl1(0)xmy（）由知，21212()(1)4xmym.因为 ，1(,)FAxyur2(,)FBxyur2121212()()48FABxyxmur故 ，2849m解得 3所以 的方程为l40,340xyxy又由知 221()7m故直线 BD 的斜率 ，217y因而直线 BD 的方程为 30,370.xxy因为 KF 为 的平分线，故可设圆心 ， 到 及 BD 的距离BKD()1)Mtt(,)tl分别为 .31,54tt由 得 ，或 （舍去）
3、 ，tt9t故 圆 M 的半径 .3125tr所以圆 M 的方程为 .24()9xy9 （2010 年高考四川卷理科 20） （本小题满分 12 分）已知定点 A(1，0)，F(2，0)，定直线 l：x ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是12它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线AB、AC 分别交 l 于点 M、N（）求 E 的方程；（）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由.10 （2010 年高考江苏卷试题 18） （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B
4、，右焦点为xoy1592yxF。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中mt, ),(1yx),(2yxNm0, 。021y（1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；42BF（2）设 ，求点 T 的坐标；31,21x（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。9t解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A （-3，0） 。由 ，得 化简得 。42B22()()4,xyxy92x故所求点
5、P 的轨迹为直线 。9（2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ） 、N （ ，31,21x 0,1y531）09直线 MTA 方程为： ，即 ，0523yx3yx直线 NTB 方程为： ，即 。109562联立方程组，解得： ，73xy所以点 T 的坐标为 。10(,)（3）点 T 的坐标为 9m直线 MTA 方程为： ，即 ，30yx(3)12myx直线 NTB 方程为： ，即 。96分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，1592yx 123,x解得： 、 。223(80)4,)mM223(0),)mN（方法一）当 时，直线 MN 方程为：12x222203(0)4808mmyx令
6、，解得： 。此时必过点 D（1，0） ；0y1x当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。12x所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。（方法二）若 ，则由 及 ，得 ，12224368m210m此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0） 。x若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ，12x10m22410830Mkm直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。2213604NDkMDNk因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0） 。x11. (2010年全国高考宁夏卷 20） （本小题满分 12 分）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜率为 1
7、 的直线12,F2:1(0)yEab1F与 相交于 两点，且 成等差数列。iE,AB22,FAB（1）求 的离心率；（2） 设点 满足 ，求 的方程(0,1)pPE（20.）解：（I）由椭圆定义知 ，又 ，24AFBa2ABF得 43Ba的方程为 ，其中 。lyxc2ab设 ， ，则 A、B 两点坐标满足方程组1,A2,2yxcab化简的 22220abxacb则 12122,x因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB21114xxx得 故24,3ab2b所以 E 的离心率2cae（II）设 AB 的中点为 ，由（I）知0,Nxy， 。2120 3xacb03cx由 ，得 ，PAB1PNk即 0
8、1yx得 ，从而3c2,3ab故椭圆 E 的方程为 。189xy12 （2010 年高考陕西卷理科 20） （本小题满分 13 分）如图，椭圆 C： 的顶点为 A1,A2,B1,B2,焦点为 F1,F2, | A1B1| = ,()求椭圆 C的方程；()设 n 是过原点的直线，l 是与 n 垂直相交于 P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线， ，是否存在上述直线 l 使成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 。解 （1）由 知 a2+b2=7, 由 知 a=2c, 又 b2=a2-c2 由 解得 a2=4,b2=3,故椭圆 C的方程为 。（2）设 A,B两点的坐标分别为（
9、x1,y1）( x2,y2)假设使 成立的直线 l不存在，（1） 当 l不垂直于 x轴时，设 l的方程为 y=kx+m,由 l与 n垂直相交于 P点且 得来源:学。科。网，即 m2=k2+1. ,13(2010 年高考北京市理科 19)（本小题共 14分）在平面直角坐标系 xOy中，点 B与点 A（-1,1）关于原点 O对称，P 是动点，且直线 AP与BP的斜率之积等于 13.()求动点 P的轨迹方程；()设直线 AP和 BP分别与直线 x=3交于点 M,N，问：是否存在点 P使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。（19） （共 14分）（I）解：因为
10、点 B与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 .(1,)OB(1,)设点 的坐标为 xy由题意得 13化简得 .24(1)xyx故动点 的轨迹方程为P24(1)yx（II）解法一：设点 的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 ,0,MN(3)My.(3,)Ny则直线 的方程为 ，直线 的方程为AP01()yxBP01()yx令 得 ， .30431My0231Nyx于是 得面积PNA2002|()|(3)2MNxyxSy又直线 的方程为 ， ，Bx|AB点 到直线 的距离 .PA0|2yd于是 的面积01|PABSxy当 时，得MNA2002|(3)| 1x又 ，0|xy所以 = ，解得 。2(3)0|1|x05|3x因为 ，所以204y09y故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .PABPMNP53(,)9解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为A0,xy则 .11|sin|sin22MNA因为 ,siPBN所以 |M所以 00|1|3|xx即 ，解得20(3)|1|x0x53因为 ，所以204y09y故存在点 S使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 .PABPMNP53(,)9
