1、26.1.1 二次函数【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。一、知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。2. 形如 的函数是一次函数 _0)k（二、自主学习：1用 16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积 y()与长方形的长 x(m)之间的函数关系式为 。分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为 米，则宽为 米，如果将面积x记为 平方米，那么 与 之间的函数关系式为 = ，整理为 = .yyx y2.n
2、 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式_3.用一根长为 40 的铁丝围成一个半径为 的扇形，求扇形的面积 与它的半径 之间的cmrSr函数关系式是 。4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。5.归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函,abca是 常 数 ， 且数。其中 是自变量， 是_，b是_，c是_xa三、合作交流：（1）二次项系数 为什么不等于 0？答： 。（2）一次项系数 和常数项 可以为 0吗？bc答： .四、跟踪练习1观察： ； ；y200x 2400x200； ；26yx235yx32yx； 这六个式子中二次函数有 。（只填序
3、23yx1号）2. 是二次函数，则 m 的值为_2(1)mx26.1.2 二次函数 的图象2yax【学习目标】1知道二次函数的图象是一条抛物线；2会画二次函数 yax 2 的图象；3掌握二次函数 yax 2 的性质，并会灵活应用（重点）一、知识链接：1.画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。2.一次函数图象的形状是 ；.二、自主学习（一）画二次函数 yx 2 的图象列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx 2 在图（3）中描点，并连线1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳： 由图象可知二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中
4、所2xy经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；抛物线 是轴对称图形，对称轴是 ；2xy 的图象开口_； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 的顶点坐标是 ；2xy它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当 x=0 时，y 有最 值等于 0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即 0 时， 随 的增大而 xyx yxxy 12342342345678910O（1）xy 12342342345678910O（2）xy1234123412345678O（3）。（二）例 1 在图（4）中，画出函数 ， ， 的图象21xy22xy解：列表：x
5、 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2y 归纳：抛物线 ， ， 的图象的形状都是 ；顶点都是21xy22xy_；对称轴都是_；二次项系数 _0；开口都 ；顶点都是a抛物线的最_点（填“高”或“低”） 归纳：抛物线 ， ， 的的图象的形状都是 ；顶点都是21xy2y2x_；对称轴都是_；二次项系数 _0；开口都 ；顶点都是a抛物线的最_点（填“高”或“低”） 例 2 请在图（4）中画出函数 ，21xy 2xy， 的图象2xy列表：x 2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2y x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 21y xy12345 23453456789102
6、345678910O（4）x 3 2 1 0 1 2 3 2y 三、合作交流：归纳：抛物线 的性质2axy图象（草图） 对称 轴 顶点 开口方向 有最高或 最低点 最值0a 当 x_时，y 有最_值，是_0a 当 x_时，y 有最_值，是_2.当 0 时，在对称轴的左侧，即 0 时， 随 的增大而 ；在对称xyx轴的右侧，即 0 时 随 的增大而 。xy3在前面图（4）中，关于 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： 。由此可知和抛物线关于 轴对称的抛物线是 。2ay4当 0 时， 越大，抛物线的开口越_；当 0 时， 越大，抛物线aa的开口越_；因此， 越大，抛物线的开口越_。四、课堂训
7、练1函数 的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当273xyx_时，有最_值是_x 2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 2. 函数 的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当26xyx_时，有最_值是_3. 二次函数 的图象开口向下，则 m_23m4. 二次函数 ymx 有最高点，则 m_25. 二次函数 y(k1)x 2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为 _6若二次函数 的图象过点（1，2），则 的值是_axa7如图，抛物线 开口从小到大排列是52xy25xy27_；（只填序号）其中关于 轴对称的两条抛物线是 x和 。8点 A（ 21，b）是抛物线 上的一点，则 b
8、= ；过点2xyA作 x轴的平行线交抛物线另一点 B的 坐标是 。9如图，A、B 分别为 上两点，且线段 ABy 轴于点2a（0,6），若 AB=6，则该抛物线的表达式为 。10. 当 m= 时，抛物线 开口向下mxy2)1(11.二次函数 与直线 交于点 P（1，b）2axy3（1）求 a、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小26.1.3 二次函数 的图象（一）khxay2一、知识链接：直线 可以看做是由直线 得到的。12xy练：若一个一次函数的图象是由 平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析x式。解：由此你能推测二次函数
9、与 的图象之间又有何关系吗？2xy2猜想： 。二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象2xy122xyx 3 2 1 0 1 2 3 12y 2x 1.填表： 开口方向 顶点对称轴有最高（低）点增减性2xy12xy xyy =x21O2可以发现，把抛物线 向_平移_个单位，就得到抛物线 ；2xy 12xy把抛物线 向_平移_个单位，就得到抛物线 .2xy 2xy3抛物线 ， ， 的形状_开口大小相同。122xy三、知识梳理：（一）抛物线 特点：ka1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；0a02. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是 。（二）抛物线 与 形状相同，位置不同，
10、是由 kaxy22yaxkaxy22yax平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。（三） 的正负决定开口的 ； 决定开口的 ，即 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。a三、跟踪练习：1.抛物线 向上平移 3 个单位，就得到抛物线_；2xy抛物线 向下平移 4 个单位，就得到抛物线_2抛物线 向上平移 3 个单位后的解析式为 ，它们的形状2xy_，当 = 时， 有最 值是 。y3由抛物线 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把52原抛物线向 平移 个单位得到的。4. 写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向
11、与抛物线 的方向相反，形状相同的2xy抛物线解析式_5. 抛物线 关于 x 轴对称的抛物线解析式为_142y6.二次函数 的经过点 A（1，-1 ）、B（2，5）.ka0求该函数的表达式；若点 C(-2， ),D（ ，7）也在函数的上，求 、 的值。mnmn26.1.3 二次函数 的图象（二）khxay2二、自主学习画出二次函数 ， 的图象；先列表：2)1(xy2)1(x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2)1(y 归纳：（1） 的开口向 ，对2)1(xy称轴是直线 ，顶点坐标是 。图象有最 点，即 = 时， 有y最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时， 随 的xx增大而 ；在对称轴的右侧，即
12、 时 随 的增大而 。 yx可以看作由 向 平移 2)1(2y个单位形成的。（2） 的开口向 ，对称轴是2)(xy直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即 = 时， 有最 xy值是 ；在对称轴的左侧，即 时， 随 的增大而 ；在对x称轴的右侧，即 时 随 的增大而 。xy可以看作由 向 平移 个单位形成的。2)1(xy2三、知识梳理xyy =x21234567 23456782345678910O（一）抛物线 特点：2)(hxay1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；0a0a2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。（二）抛物线 与 形状相同，位置不同， 是由 2)(xy2yx2)(hxay2
13、yax平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第 8 页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三） 的正负决定开口的 ； 决定开口的 ，即 不变，则抛物线的形状 aa。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线 值 a。四、课堂训练1抛物线 的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；23yx当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。x xyx2. 抛物线 的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；2(1)当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。yx3. 抛物线 的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；24.抛物线 向右平移 4 个单位后
14、，得到的抛物线的表达式为_55. 抛物线 向左平移 3 个单位后，得到的抛物线的表达式为_2yx6将抛物线 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为_217抛物线 与 y 轴的交点坐标是_，与 x 轴的交点坐标为_4yx8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线 都相同的二次函数解析2y式_26.1.3二次函数 的图象（三）khxay2【学习目标】1会画二次函数的顶点式 的图象；2掌握二次函数 的性质；kxy2【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为 。2-5yx2.将抛物线 的图象向左平移 3 个单位后的抛物线的解析式为 。二、
15、自主学习在右图中做出 的图象：21yx观察：1. 抛物线 开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。2. 抛物线 和 的形状 ，位21yx2yx置 。（填“相同”或“不同”）3. 抛物线 是由 如何平移得到的？22答： 。三、合作交流平移前后的两条抛物线 值变化吗？为什么？a答： 。四、知识梳理xyy =x21234 12345312345678910O结合上图和课本第 9 页例 3 归纳：（一）抛物线的特点：2()+yaxhk1.当 时，开口向 ；当 时，开口 ；00a2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。（二）抛物线 与 形状 ，位置不同， 是由2()yxk2yx2()+yaxhk平移得
16、到的。2yax二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三）平移前后的两条抛物线 值 。a五、跟踪训练1.二次函数 2)1(xy的图象可由 21xy的图象（ ）A.向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 B.向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到C.向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D.向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到2.抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 2653yx，当 x 时，y 有最 值为 。3.填表：4.函数 的图象可由函数 的图象沿 x 轴向 平移 个单位，231yx2yx再沿 y 轴向 平移 个单位得到。5.若把函数 的
17、图象分别向下、向左移动 2 个单位，则得到的函数解析式25为 。6. 顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线 相同的解析式为（ ）21yxA B213yx32y23yx232(3)yx24(5)3yx开口方向顶点对称轴C D213yx213yx7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，对称轴和抛物线 相2 2yx同，且顶点纵坐标为 0，求此抛物线的解析式.26.1.3二次函数 的图象（四）khxay2一、知识链接：1.抛物线 开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 2(+1)3yx，当 x 时，y 有最 值为 。当 时， 随 的增大而增大.xyx2. 抛物线 是由 如何平移得到的？答： 2
18、()2y。二、自主学习1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为 6 米，底部宽度为 12 米. AO= 3 米，现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 .求出这条抛物线的函数解析式；xy BPAMO三、能力拓展1.知识准备如图抛物线 与 轴交于 A,B 两点，交 轴于点 D，抛物线的顶点为点 C214yxxy（1） 求ABD 的面积。（2） 求ABC 的面积。（3） 点 P 是抛物线上一动点，当ABP
19、的面积为 4 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。（4） 点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 8 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。（5） 点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 10 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。26.1.4二次函数 的图象2yaxbc【学习过程】一、知识链接：1.抛物线 的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当 = 时231yx x有最 值是 ；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随yxyxy的增大而减小。x2. 二次函数解析式 中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所2()+yahk以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你
20、能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ 22xy（2）你有办法解决问题（1）吗？解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .22xy（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： 22xy cbxay2521xy（5）归纳：二次函数的一般形式 可以用配方法转化成顶点式： cbxay2，因此抛物线 的顶点坐标是 ；对称轴是 cbxay2，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 432xy 2xy xy42（二）、用描点
21、法画出 的图像.12xy（1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值）（3）描点，并连线：（4）观察：图象有最 点，即= 时， 有最 值是 xy； 时， 随 的增大而增大；x时 随 的增大而减小。xy该抛物线与 轴交于点 。该抛物线与 轴有 个交点.x三、合作交流求出 顶点的横坐标12y后，可以用哪些方法计算顶点x的纵坐标？计算并比较。x 12y xy 1234567 123234123456O26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.解：二、自主学习1.一次函数 经过
22、点 A(-1,2)和点 B(2,5),求该一次函数的解析式。bkxy分析：要求出函数解析式，需求出 的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点bk,的坐标，列出关于 的二元一次方程组即可。k,解：2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（ ）、（2，11）三点，求这个二次函数1,的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下 2 种方法：设顶点式 和一khxay2般式 2yaxbc。1已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； 2已
23、知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。四、跟踪练习：5.如图，直线 交 轴于点 A，交 轴于点 B，过 A,B 两点的抛物线交 轴于另一3xyyx点 C（3,0），（1）求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 .26.2 用函数观点看一元二次方程（一）一、知识链接：1.直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 。42xyyx2.一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等0cba的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；2.观察二次函数的图象，写出它们与 轴的交点坐标：x
24、函数32xy 962y 32xy图 象交点与 轴交点坐标是 x与 轴交点坐标是 x与 轴交点坐标是 x3.对比第 1 题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理：xyCBAO110987654321-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12xy y=x2-6x+9xO-6xO+9 =2.0x =1.58O7654321-1-2-3-4-5-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12xy y=x2-x-3 xO-2xO-3 =-2.10x =-0.38O 110987654321-1-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12xy y=x2-+3xO-2xO+3 =.48x =
25、-0.Oxy ( , )( , )O xy( , )OxyO一元二次方程 的实数根就是对应的二次函数 与 轴02cbxa cbxay2交点的 .（即把 代入 ）ycbxa2二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 ）21、二次函数 2与 一元二次方程 0与 轴有 个交点 0，方程有 的acb42实数根与 轴有 个交点；这个交点是 点0，方程有 acb42实数根与 轴有 个交点 0，方程 实数根.acb42二次函数 与 轴交点坐标是 .cbxay2y四、跟踪练习2抛物线 与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是 ；342x y3.二次函数 ，当 _时， 36yx4.如图，一元
26、二次方程 的解为 。02cbxa5.如图，一元二次方程 的解为 。36. 已知抛物线 的顶点在 x 轴上，则 _92ky k7已知抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围是_1x（5）26.2 用函数观点看一元二次方程（二）一、知识链接：根据 的图象和性质填表：（ 的实数根记为 ）cbxay2 02cbxa21x、（1）抛物线 与 轴有两个交点 0；x4（2）抛物线 与 轴有一个交点 0；（3）抛物线 与 轴没有交点 0.2 2三、知识梳理： 的符号由 决定：a开口向 0；开口向 0.aa 的符号由 决定：b 在 轴的左侧 ；yb、 在 轴的右侧 ； 、 是 轴 0. 的符号由 决定：c点（0
27、， ）在 轴正半轴 0；yc点（0， ）在原点 0； 点（0， ）在 轴负半轴 0. 的符号由 决定：acb42抛物线与 轴有 交点 0 方程有 实数根；xacb42抛物线与 轴有 交点 0 方程有 实数根；抛物线与 轴有 交点 0 方程 实数根； 特别的，当抛物线与 x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.四、典型例题：抛物线 如图所示：看图填空：cbaxy2（1） _0；（2） 0；（3） 0;c（4） 0 ;(5) _0；ab（6） ；（7） ；abc0（8） ；（9）9342c五、跟踪练习：1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程 的根为_；（2）方程 的根为02cbxa 23axbc_；（3）方程 的根为_；（4）不等式 的解集为220_；（5）不等式 的解集为_ _；20axbc2.根据图象填空：（1） _0；（2） 0；（3） 0;c（4） 0 ;(5) _0；cb2（6） ；（7） ；aabc
