1、牛吃草问题例 1 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，那么，供 25 头吃几天？分析：首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。第一种情况：10 头牛吃 20 天，共吃了 1020200（头/天）的草量。第二种情况：15 头牛吃 10 天，共吃了 1510150（头/天）的草量。思考：为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？这是
2、因为吃的时间不一样。事实上，第一种情况的：200 头/天的草量草地上原有的草量 20 天里新长出来的草量；同样，第二种情况的：150 头/天的草量草地上原有的草量 10 天里新长出来的草量；通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：（200150）（2010）5（头/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（头/天）或者 150510100（头/ 天）第三步：求可以供 25
3、 头牛吃多少天？（思考：结果会比 10 天大还是小？）显然，牛越多，吃的天数越少。在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将 25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是 5头/天，所以新生的草恰好够 5 头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有 25520（头） 。当这20 头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。100（255）5（天）例 2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 10 人淘水，3 小时可淘完；5 人淘水 8 小时可淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草
4、”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量” （相当于草地上原有的草量） 。因此，这道题的解题步骤与“例 1”完全一样，请您自己试一试：（在下面评论里进行分析解答）第一步：第二步：第三步：设 x 人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y 为 2 小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14第一步：（58-103）（8-3 ）=2（人小时） 第二步：58-28=24（人小时） 第三步：242+2=14（人） 答：如果要求 2 小时淘完，要安排 14 人。牛吃草问题综合练习（）牧场上有一片牧草，可
5、供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长，可供 21 头牛吃几周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水 吊水，如果每分吊 4 桶，则 15 分钟能吊干，如果每分钟吊 8 桶，则 7 分吊干。现在需要 5 分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派 19 人去割草，则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，4 天可喝完；如果由 4 人喝，
6、5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？（）一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？第一讲 行程问题例 1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了 90 分。如果他往返都坐车，全部形程需 30 分。如果他往返都步行，需多少分？分析：根据“往返都坐车，全部行程需 30 分”可以算出单程作车需要的时间。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分”可以算出单程步行需要的时间。进而可算出往返都步行所需的时间。解： （90302）2=752=150（分）答：如果他往返都步
7、行，需 150 分。例 2. 甲、乙两城相距 280 千米，一辆汽车原定用 8 小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留 30 分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？分析：要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。解： 分步解答30 分=0.5 小时（1） 前一半路程已行了多少小时？82=4（时）（2） 还剩下多少小时？840.5=3.5（时）（3） 后半程每小时应行多少千米？28023.5=40（千米）（4） 原来每小时行多少千米？2808
8、=35（千米）（5） 每小时比原来多行多少千米？4035=5（千米）列综合算式解答2802（8820.5）2808=1403.52808=4035=5（千米）答：应比原定的时速加快 5 千米。例. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100 千米。甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米。甲带着一只狗，狗每小时行 10 千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。因此，一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就
9、是甲、乙两人跑的时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。解 分步解答（1）甲、乙两人多少小时相遇？100（6+4）=10（时）（2）狗跑的总路程是多少千米？1010=100（千米）列综合算式解答10100（6+4）=1010=100（千米）答：这只狗一共跑了 100 千米。综合练习（）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去 1.5 小时，如果往返都坐车，全部行程只要 30 分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？（）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走 50 米，18 分钟到达山顶；然后按原路下山，每分钟走 75 米。求小明上、下山的平均速度？ （）一辆汽车从甲地开往 300
10、千米处的乙地去，在开始的 120 千米内平均速度为每小时40 千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时 50 千米，剩下的路程应以什么速度行驶？（）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行 15 千米，乙步行每小时行 5 千米，甲行了 120 千米时，转身返回，与乙相遇，求相遇时两人各行了多少千米？（）甲、乙两人同时从 A、 B 两地相对而行，甲骑车每小时行 16 千米，乙骑摩托车每小时行 65 千米。甲离出发点 62.4 千米处与乙相遇。A 、B 两地相距多少千米？第二讲盈亏问题例题 1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分 3 粒，就会余下糖果 17 粒；如果每人
11、分 5 粒，就会缺少糖果 13 粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？分析：用作图的方法来分析。我们知道糖果的总数相等，小朋友的人数也是相等的。3 粒 3 粒 3 粒 余 17 粒 5 粒 5 粒 5 粒 缺少 13 粒 想：每个小朋友分 3 粒与 5 粒，相差 53=2（粒） ；分的糖果的总数就要相差 17+13=30（粒）所以小班的人数是 302=15（人） ，这批糖果的总数是 315+17=62（粒）或 51513=62（粒） 。这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：（盈数+亏数）两次分得的差 = 人数解： （17+13）（53） =302 =15
12、（人） 315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有 15 个小朋友，62 粒糖。例题 2：学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果每人搬 5 块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？分析：用作图的方法来分析。我们知道砖的总数相等，学生的人数也是相等的。4 块 4 块 4 块 余下的还需要 5 人搬一次 也就是多余（45）块5 块 5 块 5 块 就有两人没有搬 也就是缺少（52）块通过分析，我们把问题转化为盈亏问题的一般情形。每人搬砖数相差 54=1（块），搬砖的总数就相差（45）+（52）=30（块）所以，搬砖的学生数是 301=30（人
13、），砖的总数是 430+20=140（块）。解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（块）答：搬砖的学生有 30 人，这批砖共有 140 块。例题 3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分 18 棵，就会余下 24 棵；如果每班分 20 棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？分析：本题中树苗的总棵数是不变的，班级数也是不变的，第二次比第一次每班多分2018=2（棵），就是把第一次分后余下的 24 棵分完，也就是 24 棵树中有几个 2 棵，就有几个班。这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“
14、亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。解： 24（2018）=12（个）2012=240（棵）答：这个学习有 12 个班，这批树苗有 240 棵。综合练习（1） 小朋友分糖果，若每人分 4 粒则多 9 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每间住 12 人，就会有 34 人没有宿舍住；如果每间住 14人，就会空出 4 间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？（） 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买 10 个“冠军”牌足
15、球，还差 42 元；后来他向朋友借了 1000 元，买了 31 个“冠军”牌足球，结果多了 13元。体育老师原来身边有多少元？（） 全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐 9 人；如果增加一条船，那么每条船正好坐 6 人。全班有多少人？（） 小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了 2 圈时绳子还余 2.86 米，但要绕 5 圈还差1.85 米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？第三讲 最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的
16、两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B 二点之间的最短路线如何求呢？我们用过 A、B 两点及地球球心 O 的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、B 两
17、点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的 A、B 两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例 1 如下图，侦察员骑马从 A 地出发，去 B 地取情报在去 B 地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点 A 关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸，与河岸交于点 C，且
18、使 AC=AC，连接 AB 交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB 就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于 P 点的另一点 P，连接 PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB 是最短路线此例利用对称性把折线 APB 化成了易求的另一条最短路线即直线段 AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题例 2 如图一只壁虎要从一面墙壁 上 A 点，爬到邻近的另一面墙壁 上的B 点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的
19、路线呢？解：我们假想把含 B 点的墙 顺时针旋转 90（如下页右图），使它和含 A点的墙 处在同一平面上，此时 转过来的位置记为 ，B 点的位置记为B，则 A、B之间最短路线应该是线段 AB，设这条线段与墙棱线交于一点 P，那么，折线 4PB 就是从 A 点沿着两扇墙面走到 B 点的最短路线证明：在墙棱上任取异于 P 点的 P点，若沿折线 APB 走，也就是沿在墙转90后的路线 APB走都比直线段 APB长，所以折线 APB 是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还
20、原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线例 3 长方体 ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点 D出发，沿长方体表面爬到 B 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含 D、B 两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB 间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D点出发，到 B 点共有六条路线供选择从 D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2），这时在这个平面上 D、B 间的最短路线距离就是连接D、B 两点的直线段
21、，它是直角三角形 ABD的斜边，根据勾股定理，DB 2=DA 2+AB2=（1+2） 24 2=25，DB=5容易知道，从 D出发经过后侧面再进入下底面到达 B 点的最短距离也是5从 D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达 B 点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上 D、B 两点间的最短路线（上页图（3），有：DB 22 2+（1+4） 2=29容易知道，从 D出发经过后侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是 29从 D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达 B 点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上 D、B 两点间的最短路线（见图），DB 2=（2+
22、4） 2+12=37容易知道，从 D出发经过上侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是 37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从 D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达 B 点的路线是最短路线，它的长度是 5 个单位长度利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上 A 和 B 两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把 A、B 两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接 A、B 成线段 AP1P2B，P1、P
23、2 是线段 AB 与两条侧棱线的交点，则折线 AP1P2B 就是 AB 间的最短路线圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题例 4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在 A 点，绕一周之后终点为 B 点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线 AB 剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与 A、B 重合），
24、连接 AB，再将上页右图还原成上页左图的形状，则 AB在圆柱面上形成的曲线就是连接 AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例 5 有一圆锥如下图，A、B 在同一母线上，B 为 AO 的中点，试求以 A 为起点，以 B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线解：将圆锥面沿母线 AO 剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与 A、B 重合），在扇形中连 AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB所成的曲线为所求例 6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点去寻找食物，已知 A 点沿母线到桶口 C 点的距离是 12
25、 厘米， B 点沿母线到桶口 D点的距离是 8 厘米，而 C、D 两点之间的（桶口）弧长是 15 厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 B 点在里面，不便于作图，设想将 BD 延长到 F，使 DFBD，即以直线 CD 为对称轴，作出点B 的对称点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长 BD 到 F，使 DF=BD，即作点 B 关于直线 CD 的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线 CD 于 O因为桶口沿线 CD 是 B、F 的对称轴，所以 OBOF，而 A、F 之间的最短线
26、路是直线段 AF，又 AF=AOOF，那么 A、B 之间的最短距离就是 AOOB，故蚂蚁应该在桶外爬到 O 点后，转向桶内 B 点爬去延长 AC 到 E，使 CE=DF，易知AEF 是直角三角形，AF 是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF 2=（AC+CE） 2+EF2（128） 215 2625=25 2，解得 AF=25即蚂蚁爬行的最短路程是 25 厘米例 7 A、B 两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 A、B 两个村子之间路程最短 分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，
27、于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从 A 点作河岸的垂线，并在垂线上取 AC 等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出 B、C 两点之间的最短路线，问题就可以解决解：如上图，过 A 点作河岸的垂线，在垂线上截取 AC 的长为河宽，连结 BC 交河岸于 D 点，作 DE 垂直于河岸，交对岸于 E 点，D、E 两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是 AEEDDB例 8 在河中有 A、B 两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从 A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛，最后回到 A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路
28、程最短？解：如上图，分别作 A、B 关于甲岸线、乙岸线的对称点 A和 B，连结A、B分别交甲岸线、乙岸线于 E、F 两点，则 AEFBA 是最短路线，即最短路程为：AEEFFBBA证明：由对称性可知路线 AEFB 的长度恰等于线段 AB的长度而从A 岛到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接 A、B之间的折线，它们的长度都大于线段 AB，例如上图中用“”表示的路线 AEFB 的长度等于折线 AEFB 的长度，它大于 AB的长度，所以 AEFBA 是最短路线第三讲 周期问题例题 1. 有 249 朵花，按 5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列
29、，最后一朵是什么颜色的花？这 249 朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？思路点拨这些花按 5 红、9 黄、13 绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有 5+9+13=27（朵）花。因为 24927=96，所以，这 249 朵花中含有 9 个周期还余下 6 朵花。按花的排列规律，这 6 朵花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花。解：249（5+9+13）=96红花有：59+5=50（朵）黄花有：99+1=82（朵）绿花有：139=117（朵）答：最后一朵是黄花。红花有 50 朵，黄花有 82 朵，绿花有 117 朵。例题 2. 2002 年元旦是星期二，那么，2003 年 1 月 1 日是星期几
30、？思路点拨2002 年平年。每 7 天为一个星期，也就是为一个周期；从 2002 年 1 月 1 日到 2002 年 12月 31 日为 365 天，到 2003 年 1 月 1 日是第 366 天。关键在于一个周期的第一天是星期几解：3667=52（周）2 天 本题一个周期的第一天是星期二，所以，余 2 天就是星期三。答：2003 年的 1 月 1 日是星期三。练一练1、今天是星期四，从明天开始第 1800 天是星期几？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共 160 个，按 4 个红珠，3 个白珠，2 个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第 101 个珠子是什么颜色？综合练习1、我国农历用鼠牛虎兔
31、龙蛇马羊猴鸡狗猪这 12 种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940 年是龙年，那么，1996 年是什么年？2、科学家进行一项实验，每隔 6 小时做一次记录。做第 10 次记录时，挂钟的时针恰好指向 7，问：做第一次记录时，时针指向几？3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共 160 个。按 4 个红珠、3 个白珠、2 个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第 101 个珠子是什么颜色的？4、 英文字母 A、B、C、D 按 BCDABAACDABAACDABAACD排列，共 250 个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D 各是多少？5、有 13 名小朋友编成 1 到 13 号，依次围成一个圆圈。现
32、在从 1 号开始，每数到第 3 个人发一粒糖。那么，最后一个拿到糖的人是几号？第五讲 巧求面积本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子如图，BC=CE，AD=CD，求三角形 ABC 的面积是三角形 CDE 面积的几倍？解：连结 BD，在ABD 与BCD 中，因为 AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以 SABD=SBCD在BCD 与DCE 中，因为 BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有 SBCD=SCDE因此，SABC=SABD+SBCD=2SCDE从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系CE 于 M，如右图，在ACM 与D
33、CN 中，有 ACCD=AMDN因此，即，当两个三角形各有一个角，它们的和是 180时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立解：在ABC 与CDE 中，因为 AD=DC，所以 AC=2CD，又因为 BC=CE，所以SABC=21SCDE=2SCDE答：ABC 的面积是CDE 面积的 2 倍下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子例 1 如图，三角形 ABC 的面积为 1，并且 AE=3AB，BD=2BC，那么BDE 的面积是多少？解：在BDE 与ABC 中，DBE+ABC=180因为 AE=3AB，所以BE
34、=2AB又因为 BD=2BC，所以 SBDE=22SABC=41=4答：BDE 的面积是 4例 2 如图，在ABC 中，AB 是 AD 的 6 倍，AC 是 AE 的 3 倍如果ADE 的面积等于 1 平方厘米，那么ABC 的面积是多少？解：在ABC 与ADE 中，BAC=DAE因为 AB=6AD，AC=3AE，所以 SABC=63SADE=181=18（平方厘米）答：ABC 的面积为 18 平方厘米例 3 如图，将ABC 的各边都延长一倍至 A、 B、 C，连接这些点，得到一个新的三角形 ABC若ABC 的面积为 1，求ABC的面积解：在ABB 与ABC 中，ABB+ABC=180因为 AB
35、=AA，所以AB=2AB，又因为 BB=BC，所以 SABB=12SABC=2SABC=2同理 SBCC=21SABC=2SACA=21SABC=2所以 SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7答：ABC的面积为 7例 4 如下图，将凸四边形 ABCD 的各边都延长一倍至 A、B、 C、D，连接这些点得到一个新的四边形 ABCD，若四边形 ABCD的面积为30 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少？分析 要求四边形 ABCD 的面积，必须求出四边形 ABCD 与四边形 ABCD的关系，因而就要求出ABB、BCC、CDD、ADA 与四边形ABCD 的关系解：连
36、结 AC、BD在ABB 与ABC 中，ABB+ABC=180因为 AA=AB，所以AB=2AB，又因为 BB=BC，所以有 SABB=21SABC=2SABC同理 有 SBCC=21SBCD=2SBCDSCDD=21SADC=2SADCSADA=21SABD=2SABD所以 S 四边形 ABCD=SABB+SBCC+SCDD+SADA+S 四边形 ABCD=2SABC+2SBCD+2SADC+2SABD+S 四边形 ABCD=2（SABC+SADC）+2（SBCD+SABD）+S 四边形 ABCD=2S 四边形 ABCD+2S 四边形 ABCD+S 四边形 ABCD=5S 四边形 ABCD则
37、S 四边形 ABCD=305=6（平方厘米）答：四边形 ABCD 的面积为 6 平方厘米B1C1=C1C，A1B1C1 的面积为 1 平方厘米，则ABC 的面积为多少平方厘米？解：连接 A1C如上图在BB1C 与A1B1C1 中，BB1C+A1B1C1=180，因为 A1B1=所以有 SBB1C=22SA1B1C1=41=4（平方厘米）在A1C1C 与A1B1C1 中，A1C1C+A1C1B1=180，因为CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有 SA1C1C=11SA1B1C1=11=1（平方厘米）在ABD 与ADC 中，ADB+ADC=180因为 BD=DC，在ABA1 与ABD 中，
38、BAA1=BAD因为 AB=AB，AA1=答：三角形 ABC 的面积为 9 平方厘米数学运算专题(一)：方阵问题数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈一下数学运算中的方阵问题。学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题).方阵的基本特点是：方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2，每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：四周人(或物)数=每边人(或物)
39、数一 14；每边人(或物)数=四周人(或物)数4+1.中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数.例 1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍 400 人，都分成 8 竖行并列行进。陆军队前后每人间隔 1 米，海军队前后每人间隔 2 米，空军队前后每人间隔 3 米。每兵种队伍之间相隔 4 米，三兵种士兵每分都走 80 米，三兵种队伍的仪仗队通过 98 米的检阅台需要多少分?分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵
40、步行的速度，就可以求出通过检阅台的时间。(1)三兵种队伍每竖行的人数是：4008=50(人)(2)陆军队伍的长度是：1（50-1)=49(米)(3)海军队伍的长度是：2（50-1)=98(米)(4)空军队伍的长度是：3（50-1)=147(米)(5)三兵种队伍的间隔距离是：4（3-1)=8(米)(6)三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302米)(7)队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400(米)(8)通过检阅台所需的时间是： 40080=5(分)请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗?综合列式计算：1（4008-1)+2（40081)+3（4008
41、1)+4（31)+9880=49（1+2+3)+8+9880=40080=5(分)答：通过检阅台需要 5 分。例 2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动员有多少人？分析 图 7-7 表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一排，那么必然有 1 人而且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列，也就是，去掉横竖各排时，去掉的总人数是：原每行人数2-1或者是：减少后每行人数2+1根据图 2-4 的启示.我们可得到此题的
42、解。“ “ “ “ “图 24解法一 先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数为：原每行人数2-1。求出团体操队列每行有多少人，再求参加团体操运动员的人数。(33+1)2=17(人)1717=289(人)解法二 利用去掉横竖各排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数2+1，求出减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。(33-1)2=16(人)1616+33=289(人)答：参加团体操表演的有 289 人。数学运算专题(二)：年龄问题 解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。年龄问题特点是：大小年龄差
43、是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄大小年龄差倍数差一小年龄，几年前年龄小年龄一大小年龄差倍数差。例 1 父亲现年 50 岁，女儿现年 14 岁。问：几年前父亲年龄是女儿的 5 倍?分析 父女年龄差是 50-1436(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大 36 岁。这 36 岁是父亲比女儿多的5-14(倍)所对应的年龄。解法 1 (50-14)（5-1)9(岁)当时女儿 9 岁，14-95(年)，也就是
44、 5 年前。答：5 年前，父亲年龄是女儿的 5 倍。解法 2 设年前父亲的年龄是女儿年龄的 5 倍，是可列方程为：50 =(14 )5， =5。例 2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有 67 岁，甲乙现在各有：A.45 岁，26 岁 B.46 岁，25 岁 C.47 岁 24 岁 D.48 岁，23 岁材 (2005 年中央真题)解析：此题应直接选用代入法。如果采用方程法，则甲的年龄为 X，乙的年龄为 Y，则可列方程Y-(X-Y)=4X+(X-Y)=67解得 X=46，Y=25所以，正确答案为 B。例 3 今年父亲年龄是儿子年龄的
45、10 倍，6 年后父亲年龄是儿子年龄的 4 倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。 (2000 年中央真题)A.60 岁，6 岁 B.50 岁，5 岁 C.40 岁，4 岁 D.30 岁，3 岁解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，今年父亲年龄是儿子年龄的 10 倍，也即父子年龄差是 9 倍儿子的年龄。6 年后父亲年龄是儿子年龄的 4 倍，也即父子年龄差是 3倍儿子的年龄(6 年后的年龄)。依据年龄差不变，我们可知9 倍儿子现在的年龄3 倍儿子 6 年后的年龄即 9 倍儿子现在的年龄3（儿子现在的年龄+6 岁)即 6 倍儿子现在的年龄36 岁儿子现在的年龄3 岁父现在的年龄30 岁注：此种
46、类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上 6，看看是否成 4 倍关系，只有 D 选项符合，用时不超过 10 秒，从而成为最优的方法，代入法是公务员考试最常使用的方法，请广大考生借鉴此法。数学运算专题(三)：容斥原理 容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。例题 1：2004 年中央 A 类真题某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是( )。A.2
47、2 B.18 C.28 D.26解析：设 A第一次考试中及格的人(26)，B第二次考试中及格的人(24)显然，AB262450；AB32-428，则根据公式 ABAB-AB50-2822所以，答案为 A。例题 2：2004 年山东真题某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69解析：设 A会骑自行车的人(68)，B会游泳的人(62)显然，AB6862130；AB85-1273，则根据公式 ABAB-AB130-7357所以，答案为 A。例题 3：电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看
