1、第十五章还原问题一、 知识要点及基本方法从问题的最后结果出发，运用加与减、乘与除的互逆关系，一步一步进行逆推，即遇加用减，遇减用加，遇乘用除，遇除用乘，最后求出问题的解，这种解题的方法通常叫做还原法，或逆推法，这类应用题通常叫做还原问题二、例题精讲例 1 某数加上 2，乘以 5，除以 11，再减去 8，结果是 1，求这个数分析：采用还原法思考，题中最后的结果是 1，1 是一个数减去 8得到的，在没减去 8 之前的数是 8+1=9，9 又是一个数除以 11 得到的，在没除以 11 之前的数是 911=99，而 99 又是一个数乘以 5得到的，在没乘以 5 之前的数是 995=19.8，19.8
2、就是某数加上2 得到的，因此在没加 2 之前这个数为 19.8-2=17.8解（1）没减去 8 之前的数 8+1=9（2）没除以 11 之前的数 911=99（3）没乘以 5 之前的数 99 5=19.8（4）没加上 2 之前，某数 19.8-2=17.8 综合算式。 （1+8）115-2=17.8答：这个数是 17.8例 2 某数加 7，乘以 5，再减去 9，得 51，求这个数.解 我们反过来算：（51+9）5-7=605-7=12-7=5.答：这个数是 5.请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到 51.例 3 在做一道加法题时，小胖把个位上的 5 看成 9，把十位上的 8看成了 3
3、，结果得到 123，问正确答案应该是多少？分析 由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.解 小胖把个位上的 5 看成 9，多加了 4，因此要减去 4；他把十位上的 8 看成了 3，少加了 50，所以应当再加上 50.这样正确的答案应该是：123-4+50=169.答：正确答案应为 169.例 4 有一箱图书，小红拿走了一半多 1 本，小丽拿走剩下的一半多2 本，小强拿走再剩下的一半多 3 本，箱里还剩 2 本，问这箱图书共有多少本？分析：我们先根据题意，画一个线段图，借助这个图可以启发我们采用逆推法找出解答.解（1）再剩下的一半是 3+2=5（本）（2）再剩下
4、的是 52=10（本）（3）剩下的一半是 10+2=12（本）（4）剩下的是 122=24（本）（5）全部的一半是 24+1=25（本）（6）全部的图书是 252=50（本）综合算式（3+2）2+22+12=50（本）验算：小红拿走本数 502+1=26（本）小丽拿走本数 （50-26）2+2=14 （本）小强拿走本数 （50-26-14）2+3=8（本）箱里还剩本数 50-26-14-8=2（本）与题目条件相符，说明计算结果正确答：这箱图书共有 50 本。例 5 粮店库存面粉若干袋，第一天卖出库存的一半多 4 袋，第二天卖出剩下的一半少 3 袋，第三天运进 30 袋，这时粮店里共有面粉50
5、袋，求粮店里原有面粉多少袋？分析：仍然先根据题意画线段图，根据上面的图，可以看出题中的数量关系，由逆推法找出问题的解解：（1）第二天卖出后剩下的是 50-30=20（袋）（2）第一天卖出后剩下的一半是 20-3=17（袋）（3）第一天卖出后剩下的是 172=34（袋）（4）全部的一半是 34+4=38（袋）（5）原有面粉是 382=76（袋）综合算式（50-30-3 ） 2+42=76（袋）验算：第一天卖出 762+4=42（袋）第二天卖出 （76-42）2-3=14（袋）第三天运进 30 袋后，粮店面粉是 76-42-14+30=50（袋）与题目条件相符，说明解答正确答：粮店里原有面粉 76
6、 袋例 6 某人去银行取款，第一次取了存款的一半还多 5 元，第二次取了余下的一半还多 10 元，这时存折上还剩 125 元.他原有存款多少元？分析 看起来这个问题很复杂，实际上这还是一个还原应用题，我们照样可以反过来求出原先的存款数.解 这个人第二次取了余下的一半还多 10 元，这时还剩 125 元，说明余下的一半是 125+10=135（元）.因此余下钱数应为 1352=270（元）.而这 270 元是这个人第一次取了存款的一半还多 5 元而剩下的，因此存款的一半应为：270+5=275（元）.所以这个人实际存款为：2752=550（元） . 列综合算式为：（125+10）2+52=（27
7、0+5）2=550 （元）.答：这个人原有存款 550 元.我们来验证一下所得的结果是否正确.第一次这个人取了存款的一半还多 5 元，就是 5502+5=280（元），还剩下 550-280=270（元）.第二次又取了余下的一半还多 10 元，就是 2702+10=145（元），还剩下 270-145=125（元）.说明求的结果是正确的.甲，这时他们各有 240 元.两人原来各有多少元钱？此时甲有 2402-300=180（元）此时乙有 2402-216=264（元）.答：甲原有 216 元，乙原有 264 元.例 8 甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，
8、使他们的书增加 1 倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加 1 倍，然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加 1 倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加 1 倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是 32 本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？解 我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了 1 倍，都为 32 本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：322=16（本）.丁手中的书应为：32+163=80（本）.同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为：8 本、8 本、40 本，此时丙手中的书应
9、为：16+8+8+40=72（本）.继续下去，就可推出原来四人手中各有的书.可知，甲、乙、丙、丁最初各有书 66 本、34 本、18 本和 10 本.答：甲、乙、丙、丁原来各有 66 本、34 本、18 本、10 本书练习题1 某数加上 3，乘以 5，再减去 8，等于 12，求某数。2 耕一块地，第一天耕的比整块地的一半少 5 公顷，第二天耕的比余下的一半多 2 公顷，第三天耕了 20 公顷后还剩下 5 公顷。这块地有多少公顷？3 一个数加上 8，乘以 8，减去 8，除以 8。结果还是 8。求这个数。4 小芳在做一道加法式题时，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果
10、所得的和是 123。正确的答案应是多少？5 一根电线，第一次用去的比全长的一半多 3 米，第二次用去的比余下的一半多 5 米，还剩下 7 米。这根电线原长多少米？6 仓库里有一批大米 ，第 1 天售出的重量比总数的一半少 12 吨，第 2 天售出的重量比剩下的一半多 12 吨。结果还剩下 19 吨，这个仓库原有大米多少吨？7 树林中的三棵树上共停有 48 只鸟，如果有 8 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，又有 6 只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等。问：原来每棵树上各停有多少只鸟？8 甲乙丙三个组共有图书 90 本。如果乙组向甲组借 3 本后，又送给丙组 5 本，结果三个
11、组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？9 甲、乙两个车站共停了 90 辆汽车，如果从甲站开到乙站 38 辆汽车后，乙站开到甲站 14 辆，这时两站停的汽车辆数相等，两站原来各停了多少辆汽车？10 有一箱图书，小明拿走的比一半多 1 本，小强拿走的比剩下的一半多 2 本，小宏拿走的比再剩下的一半多 3 本，箱里还剩下2 本。问这箱图书共有多少本？11 有一筐苹果，甲取出一半又一个；乙取出余下的一半又 1 个；丙取出再余下的一半又 1 个，这里筐里只剩下 1 个苹果，这筐苹果共值 11 元，求每个苹果平均值多少钱？12 一个水桶里面装有水，连桶称是 5 千克，肥水加到原来的
12、 4 倍，连桶称是 11 千克。桶里原来有多少千克水？桶有多重？大象裁判一天，动物王国举行乒乓球比赛，威武的大象担任裁判员。首先上场的是山羊和狐狸。比赛开始后，山羊和狐狸忽攻忽守，打得非常激烈。在一旁观看的小白兔他们不时惊喜地叫一声“好球！”比分交递上升，很快山羊以 2 比 0 险胜前两局。第三局比赛又开始了，山羊越打越勇，很快把比分拉开，遥遥领先，只见记分牌上已显示出 204。这时狐狸举手要求暂停。狐狸擦了一把汗，上气不接下气地对裁判员大象说：“按照比的性质，20451，下面我们干脆就以51 为起点继续比吧。”大象想了想，果断地说：“不行，你的要求毫无道理，不可以按 51 继续比赛，还是以 204 继续比赛。”狐狸的诡计被大象识破了，顿时垂头丧气。可在一旁观看的小白兔却困惑不解，狐狸的话也不能说没道理呵。就在小白兔迟疑的时候，大象裁判宣布山羊以 30 赢了狐狸。比赛结束后，白兔来请教大象。“请问裁判先生，狐狸的话怎么没有道理的呢？”大象说：“那是狐狸耍的滑头，204 表示相差 16 分，体育比赛中几比几它们是相差关系而不是倍数关系，也就是说，记分牌上的几比几没有数学中的比的含义。”白兔听后恍然大悟，自言自语地说：“狐狸的鬼名堂真不少哩。”
