1、第15章 电路方程的矩阵形式,本章内容,重点,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式,返 回,15.1 割集,下 页,上 页,割集Q,连通图G中支路的集合，具有下述性质： 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。,割集：(1 9 6),(6 3 8 5 7)是割集吗？,问题,返 回,(2 8 9),(3 6 8),(4 6 7),(3 4 5),(2 8 3 6 )呢?,独立割集组,一般可以用连通图G 上作闭合面的方法判断 确定一个割集。如果在G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，于是若吧
2、与此闭合面相切割的所有支路全部移去，G将被分成两个部分，则这样一组支路便构成一个割集。,根据广义结点的概念，这样的一组割集必然满足KCL方程。对于连通图，则可以列出与割集数目相等的KCL方程，但这些方程不一定是线形独立的。,对应一组线形独立的KCL方程的割集称为独立割集组,基本割集组 (单树支割集),只含有一个树枝的一组割集。割集数n-1,连支集合不能构成割集。,下 页,上 页,注意,属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程 。,返 回,下 页,上 页,注意,对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集 ，基
3、本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。,返 回,15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：,下 页,上 页,1. 图的矩阵表示,返 回,结点,支路,关联矩阵,回路,支路,回路矩阵,割集,支路,割集矩阵,下 页,上 页,2. 关联矩阵A,用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：,每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。,矩阵Aa的每一个元素定义为：,注意,ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；,ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；,a
4、jk =0 支路 k 与结点 j 无关。,返 回,下 页,上 页,例,特点,每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。,-1 -1 1 0 0 0,0 0 -1 -1 0 1,1 0 0 1 1 0,0 1 0 0 -1 -1,矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。,返 回,下 页,上 页,降阶关联矩阵A,特点,A的某些列只具有一个+1或一个1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。,返 回,给定A可以画出对应的有向图。,注意,下 页,上 页,关联矩阵A的作用,用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；
5、,设:,以结点为参考结点,n-1个独立方程,矩阵形式的KCL: A i = 0,返 回,用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。,设:,下 页,上 页,3. 回路矩阵B,独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。,注意,每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。,矩阵B的每一个元素定义为：,1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；,-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；,0 支路 j 不在回路 i 中。,返 回,下 页,上 页,例,取网孔为独立回路，顺时针方向,给定B可以画出对应的有向图。,注意,基本回路矩阵Bf,独立回路对应一个树的单连枝回路的基本回路矩阵Bf,返 回,支路排列顺序为
6、先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。,下 页,上 页,连支电流方向为回路电流方向；,规定,例,选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。,= 1 Bt ,返 回,下 页,上 页,回路矩阵B的作用,用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；,设,l个独立KVL方程,矩阵形式的KVL： B u = 0,返 回, Bf u = 0,ul+Btut=0,ul= - Btut,设：,连支电压可以用树支电压表示。,用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程,下 页,上 页,注意,独立回路电流,返 回,下 页,上 页,矩阵形式的KCL： B T il = i ,注意,树支电流可以用连支电流表出。,返 回,
7、下 页,上 页,4. 基本割集矩阵Qf,割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。,注意,每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路.,矩阵Q的每一个元素定义为：,1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；,-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；,0 支路 j 不在割集 i 中。,返 回,下 页,上 页,规定,割集方向为树支方向； 支路排列顺序先树支后连支； 割集顺序与树支次序一致。,基本割集矩阵Qf,例,选 1、2、3支路为树,Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6,返 回,下 页,上 页,基本割集矩阵Qf的作用,用基
8、本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。,设,返 回,矩阵形式的KCL： Qf i =0,下 页,上 页,n-1个独立KCL方程,返 回,设树支电压（或基本割集电压）：,ut= u1 u2 u3 T,用QfT表示矩阵形式的KVL方程,矩阵形式的KVL： Qf Tut =u,下 页,上 页,返 回,连支电压可以用树支电压表示。,下 页,上 页,注意,小结,A i =0,B T il =i,ul= - Btut,Bu=0,Qfi=0,QT ut=u,返 回,对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：,三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。,15.3* 矩阵A、Bf
9、、Qf 之间的关系,1. A与B 之间的关系,下 页,上 页,返 回,对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：,2. Bf 与Qf 之间的关系,下 页,上 页,对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：,返 回,对同一有向图，任选一树，按先树枝后连支顺序写出矩阵：,3. A与Qf 之间的关系,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,例,已知：,1 2 3 4 5,求基本割集矩阵，并画出网络图。,解,返 回,15.4 回路电流方程的矩阵形式,反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。,1.复合支路,下 页,上 页,规定标准支路,返 回,下 页,上 页,复合支路特点
10、,支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；,支路电压与支路电流的方向关联；,支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。,返 回,复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,下 页,上 页,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,2.支路阻抗矩阵形式,电路中电感之间无耦合,下 页,上 页,如有b条支路，则有：,返 回,设,Z=diagZ1 Z2Zb,支路电流列向量,支路电压列向量,电压源的电压列向量,电流源的电流列向量,下 页,上 页,阻抗矩阵,返 回,整个电路的支路电压、电流关系矩阵：,bb阶对角阵,下 页,上
11、 页,返 回,下 页,上 页,电路中电感之间有耦合,返 回,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,如1支路至g支路间均有互感,Z不是对角阵,返 回,下 页,上 页,返 回,电路中有受控电压源,下 页,上 页,Z的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。,返 回,例,下 页,上 页,写出图示电路的阻抗矩阵,返 回,3.回路电流方程的矩阵形式,回路电流il (b-n+1)1阶,下 页,上 页,支路方程：,返 回,回路电压源向量,回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。,回路矩阵方程,下 页,上 页,返 回,从已知网络，写出,回路分析法的步骤：,下 页,上 页,小结,返 回,
12、例,下 页,上 页,用矩阵形式列出电路的回路电流方程。,解,做出有向图，选支路1，2，5为树支。,返 回,下 页,上 页,把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式,返 回,1.支路导纳矩阵形式,下 页,上 页,15.5 结点电压方程的矩阵形式,电路中不含互感和受控源,返 回,下 页,上 页,返 回,bb阶对角阵,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,电路中电感之间有耦合,返 回,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,电路中有受控电源,返 回,下 页,上 页,返 回,考虑b个支路时：,下 页,上 页,若：,返 回,下 页,上 页,若：,返 回,KCL,下 页,上 页,2.结点电压方程的矩阵形式
13、,支路方程：,KVL,返 回,结点导纳阵,独立电源引起的流入结点的电流列向量,下 页,上 页,返 回,结点分析法的步骤,第一步：把电路抽象为有向图,下 页,上 页,小结,返 回,第二步：形成矩阵A,下 页,上 页,第三步：形成矩阵Y,第四步：形成US、IS,US= -5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0 -1 3 0 T,返 回,第五步：用矩阵乘法求得结点方程,下 页,上 页,返 回,例,下 页,上 页,用矩阵形式列出电路的结点电压方程。,解,做出有向图,返 回,下 页,上 页,注意g的位置,返 回,代入,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,15.6 割集电压方程的矩阵形式,割集电
14、压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。,复合支路,用导纳表示的支路方程：,返 回,结合以上方程有：,下 页,上 页,以树支电压为未知量,返 回,割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。,割集电流源向量,下 页,上 页,割集矩阵方程,返 回,下 页,上 页,注意,割集电压法是结点电压法的推广，或者说结点电压法是割集电压法的一个特例。若选择一组独立割集，使每一割集都由汇集在一个结点上的支路构成时，割集电压法便成为结点电压法。,小结,割集分析法的步骤：,选定一个树，写出,返 回,
15、例,下 页,上 页,以运算形式列出电路的割集电压方程的矩阵形式，设动态元件的初始条件为零。,解,做出有向图，选支路1，2，3为树枝。,返 回,下 页,上 页,用拉氏变换表示时，有：,代入割集方程：,返 回,下 页,上 页,*15.7 列表法,1. 矩阵分析法的局限性,回路电流法不允许存在无伴电流源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电流源；,结点电压法和割集电压法不允许存在无伴电压源支路，且规定的复合支路不允许存在受控电压源。,2. 列表法,规定一个元件为一条支路，用阻抗描述电阻或电感支路，用导纳描述电导或电容支路。,返 回,下 页,上 页,对于电阻或电感支路有：,，,或,对于电导或电容支路有
16、：,或,对于VCVS支路有：,对于CCVS支路有：,对于VCCS支路有：,对于CCCS支路有：,对于独立电源支路有：,返 回,上 页,支路方程：,，,KCL,KVL,结点列表方程的矩阵形式：,返 回,15.8 状态方程,分析过渡过程的方法,一、状态和状态变量,1、状态：电路中状态是指在某给定时刻电路所必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的性状。 2、状态变量：在任意时刻，能与电路的输入共同确定电路中任一响应的一组最少变量称为电路的状态变量。用x(t )表示，若状态向量有n个元素则有：,电路理论中，线性电路中通常选择电容上的电压uc(t)和电
17、感上的电流iL(t)作为状态变量。电路中状态变量的个数等于电路所包含的独立储能元件的个数。状态变量在t=0时的值称为初始状态，即,而对于时变、非线性电路通常选择电荷和磁通链作为电路的状态变量。,二、状态方程,1、定义：由状态变量和输入组成的一组描述电路的一阶微分方程组称为状态方程。,2、状态方程的基本特征： (1)方程中的变量均为状态变量和输入函数。 (2)每个方程中有且只有一个状态变量的一阶导数项。 (3)方程的个数等于独立储能元件的个数。,3、状态变量的形式：,三、状态方程的列写,1、状态方程的标准形式：,RLC串联二阶电路,这就是状态方程的矩阵形式。其中uC(t0+)和iL(t0+)提供
18、用来确定积分常数的初始值。,状态方程的标准形式：,2、状态方程的列写方法：,(1)观察法列写状态方程。确定状态变量，对接有电容C的结点或者割集列写KCL方程，对接有电感L的回路列写KVL方程，而后进行整理消去非状态变量，写为标准形式。,特点：简单、易于掌握、规律性差、复杂电路不适用。,例：电路如图所示，列写状态方程。,则得状态方程标准形式：,特树：树支包含了所有的电压源支路和电容支路，连支包含了所有的电流源支路和电感支路。特树的存在条件：电路中不存在仅由电容和电压源支路构成的回路和仅由电流源和电感构成的割集。,A:选定特树,B:对单电容树支割集写KCL方程,C:对单电感连支回路写KVL方程,D
19、:消去非状态变量,E:整理写为标准形式,(2)特有树法（直观编写法）列写状态方程。,利用特有树写状态方程的方法步骤：,例,用特有树法列写图示电路状态方程。,解,A 画有向图，选定特树；,B:对单电容树支割集写KCL方程,C:对单电感连支回路写KVL方程,D:消去非状态变量,E:整理写为标准形式,(3)替代(叠加)法列写状态方程。,A：电容支路用电压源替代；电感支路用电流源替代。,B：对电阻网络求电容的电流和电感的电压。,C：整理求出状态方程。,利用叠加法写状态方程的步骤：,整理时注意用到公式：,将电源、电容、电感均抽到网络外。,A：电容用电压源替代，电感用电流源替代。,B：对电阻网络求电容的电
20、流和电感的电压。,此时应用叠加定理求iC 和uL。 则uS 、iS 、uC 、iL共同作用下的 iC 和uL为：,C：整理标准形式,例,用叠加法列写图示电路状态方程。,解,设uC1、 uC2 、iL为状态变量,(1) uC1 单独作用 iL=0，iS =0，uS=0 , uC2=0 求：iC1 ， iC2 , uL 。,(2) uC2 单独作用 iL=0，iS =0，uS=0 , uC1=0 求：iC1 ， iC2 , uL 。,(3) iL 单独作用 iS =0，uS=0 , uC1=0 ，uC2=0 求：iC1 ， iC2 , uL 。,(4) uS 单独作用 iS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0 求：iC1 ， iC2 , uL 。,(5) iS 单独作用 uS =0，iL=0 , uC1=0 ，uC2=0 求：iC1 ， iC2 , uL 。,(6) 整理成标准形式,例,列写图示电路状态方程。,1) 电容节点列KCL,2)电感回路列KVL,3) 用叠加法消去非状态量uR1， uR2,uR1= -0.6 uC -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t),uR2= -0.4 uC +1.2 iL1 -1.2 iL2 +0.4 e(t),= -0.2 uC +0.6 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t),
