1、第二章 向量、矩阵与多维正态分布,向量与矩阵的基础知识 坐标系与多维数据的图示 矩阵运算的几何解释 随机向量及其数字特征 多维正态分布及其标准化,一、向量与矩阵的基础知识,正交阵、对角阵 矩阵的迹及其性质：矩阵的对角元素之和tr(A)=aii 矩阵的秩 特征根与特征向量 若A为对称阵，则A的全部特征根为实数，故可按大小次序排成1 2 p 。 若A为对称阵， i，j是它的两个不相同的特征根，则相应的特征向量li和lj互相正交，这时A可表示为,二、坐标系与多维数据的图示,说明：向量-列，向量、矩阵-粗，标量-普通 坐标系（以二维为例） 标准基向量,向量 坐标系中的点或方向线（矢量）,a1,a2分别
2、是a在两个坐标轴上的投影,向量的几何解释,向量的模（矢量的长度）,三、矩阵运算的几何解释 数量乘,数量乘：标量c乘以向量x尺度变换 将x在原方向上扩大或缩小c倍,三、矩阵运算的几何解释,向量乘投影：,a,w,矩阵向量投影,例：23个地区供电局的经营数据：利润和售电量。用一综合指标评估其运营绩效 设： a1=(售电量s )231 , a2=(利润s )231 a=(a1, a2)232, w1T=(0.766 , 0.643),运算结果,例：新城分局售电量s=1.5，利润s=0.49， 则z1=0.7661.5+0.6430.49=1.46,w1,矩阵乘：在多于一维上投影,z1=aw1是a在w1
3、方向投影，现在我们再找一个与w1垂直的方向w2，z2=aw2是a在w2方向上的投影.这样，a=(a1, a2) z=(z1,z2)=aw 。 w=(w1,w2)为一正交阵。 几何意义：坐标轴旋转 前地区供电局例，设w2T=(- 0.643, 0.766 )，,计算结果,w1,w2,a1,a2,z1,z2,四、随机向量及其数字特征,均值向量,自协方差矩阵,若xi独立,总方差,随机向量的相关矩阵,相关阵与协方差阵,简单随机抽样,样本均值向量,样本协方差矩阵,样本相关矩阵,标准化随机向量,为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往采用标准化变量 标准化随机向量有：,即：标准化数据的协方差阵正好是原变量的相关阵,五、多维正态分布,
