1、第三章 力学量与算符,4.1 算符的一般运算规则 4.2 量子力学的对易式 4.3 厄米算符的本征值与本征函数 4.4 力学量完全集 4.5 基本力学量的本征函数系 4.6 不确定性关系,代表对波函数进行某种运算或变换的符号, u = v 表示 把函数 u 变成 v， 就是这种变 换的算符。,1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。,2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,算符定义,4
2、.1 算符的一般运算规则,（1）线性算符,(c11+c22)= c11+c22 其中c1, c2是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。,满足如下运算规律的 算符 称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即= ，则算符 和算符 相等记为 = 。,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（3）算符之和,若两个算符 、 对体系的任何波函数 有： ( + ) = + = 则 + = 称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton 算符,注意，算符运算没
3、有相减，因为减可用加来代替。 - = + （-）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。, + + , + (T)= ( + )+T,（5）逆算符,1. 定义: 设= , 能够唯一的解出 , 则可定义 算符 之逆 -1 为: -1 = ,并不是所有算符都存 在逆算符,例如以后学 到投影算符就不存在逆.,2.性质 I: 若算符 之逆 -1 存在,则 -1 = -1 = I , , -1 = 0 证: = -1 = -1 ( ) = -1 因为是任意函数,所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.,3.性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则 ( )-1 = -1 -1,（4）算符之积,
4、若 ( ) = () = 则 = 其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,例如:,设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F()为:,（7）复共轭算符,算符的复共轭算符 *就是把表达式中 的所有量换成复共轭.,例如: 坐标表象中,（6）算符函数,利用波函数标准条件: 当|x| 时, 0。,同理可证:,（8）转置算符,由于、是 任意波函数, 所以,(9)厄密共轭算符,由此可得：:,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 之厄密共轭算符 + 定义:,可以证明: ( )+ = + +
5、 ( .)+ = . + + +,(10)厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,2. 性质,性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+),性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 , = 0 成立时, ( )+ = 才成立。,引入波函数的标积形式,转置算符,厄米共厄算符,性质 III: 定理：在任何状态下，厄米算符的平均值都是实数。反过来，在任何状 态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：首先证明，厄米算符的平均值都是实数。对于任意态
6、,厄米算符定义,厄米共厄算符定义,下面证明反过来也成立。,考虑引入两个任意态1和2，常数c也是任意的，取1c2，代入上式,上式分别取c1和i，则得,此即是厄米算符定义所要求的：,厄米算符的重要性在于：实验上可以观测的力学量，当然要求平均值为实数。因此，相应的算符必然要求为厄米算符。,4.2 量子力学的对易式,对易关系,若 ，则称 与 不对易。,对易关系,显然二者结果不相等，所以:,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,对易括
7、号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - ,这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系： , = - , , 0 ,C=0 C是常数 4) ,+ = , + , 5) , = ,+ , 6) , + , + , , = 0 上面的第六式称为 Jacobi 恒等式。,角动量算符的对易关系,经典力学中，若动量为 p，相对点O 的位置矢量为 r 的粒子绕 O 点的角动量是：,量子化后的角动量算符为：,即得算符形式,由此易知有如下对易关系：,令,下面简单给出上述对易关系的证明：,(I),(II),(III),
8、4.3 厄米算符的本征值与本征函数,本征值与本征函数的定义,假设一体系处于量子态。当人们去测量力学量A时，一般说了会出现各种可能值，各有一定几率。如进行多次测量，则结果的平均值将趋于一个确定值。每次测量的结果则围绕平均值有涨落。平均涨落的定义为,因为力学量A为厄米算符，其平均值必为实数，因而其两者的差仍为厄米算符有，,然而如果体系处于一种特殊的状态下，测量的涨落为零。即测量A的值为唯一确定的，则称这种状态为力学量A的本征态。其波函数要满足：,左式被称为厄米算符A的本征方程，An为其一个本征值，n为其一个本征态或者本征函数。,量子力学的一个基本假定：测量量子力学量A时，所有可能出现的值，都是相应
9、的线性厄米算符A的本征值。,性质,定理I：厄米算符的本征值必为实数。,A的本征方程代入,A的厄米性,定理II：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。,证明：由,证明： 设,若波函数已经归一化，则正交条件改写为：,性质III：厄米算符的简并本征函数可通过线性组合使之正交归一。,设,上式即是m重简并。本征值可以确定下来，但是一般而言，m个本征波函数不一定彼此正交。但可以数学上证明，适当线性叠加后，使之彼此正交。,即令：,新的波函数仍为A算符的本征态，相应本征值为An,因为,选择参数，即可以让新的波函数满足正交性,这相当于提出了m(m-1)/2+m=m(m+1)/2个条件。这是否过分？否。因
10、为系数a共有m2个。可以证明m2m(m+1)/2，m属于正整数。因此总可以找到一组系数a ，使得上面的正交条件(*)满足。,例如： 考虑m2时 则有,将发现这样的系数时满足正交性条件的，因为,在常见的一些问题中，当出现简并时，为把A的简并态确定下来，往往是用其他某些力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性的问题将自动解决。这是多个力学量的共同本征态问题。,性质：厄米算符本征函数的完备性和封闭性。,设 ，则厄米算符A 的所有本征函数构成完备的本征函数系。,本征函数的完备性是指，体系的任意波函数都可以用本征函数系展开，即,展开系数由正交性条件给出,下面是本征函数系的封闭性问题：,利用函数的性质
11、有,比较两式，即可以得到本征函数系的封闭性关系：,4.4 力学量完全集,力学量同时具有确定值的充要条件是它们的算符彼此对易。,证：,首先证明必要性：若力学量A和B总是同时具有确定值，即它们有共同的完备的本征函数，则A,B=0,设n为算符A和B的共同完备的本征函数系:,任意波函数可以用完备系展开,由的任意性，可知：A,B=0。,再证明充分性：若力学量A和B对易，则它们必有共同的，完备的本征函数系，因而力学量A和B同时有确定值。,设n为算符A本征值为An的本征函数，即:,(a) 考虑An不简并的情况。,利用A,B=0则有：,上式表明，Bn也是算符A的本征态，本征值为An。因为不简并，所以本征态Bn
12、和n至多差一常数因子，记为Bn，则,n就是A和B的共同本征态，本征值分别为An和Bn。,(b) 考虑An是fn重简并的情形。,假设波函数已经归一化，即,上式表明，Bn也是算符A的本征态，本征值为An。因为fn简并，所以本征态Bn可以表达为：,正交性要求,一般而言，n还不是算符B的本征态。不妨再次做如下的线性叠加：,新的波函数将即是A算符的本征态，也是B算符的本征函数，有,下面假设幂方程无重根，记为B(=1,2fn)。将每个根代入线性齐次方程，可以得到一组解，记为C，相应的波函数记为,上述假设的线性叠加是确实存在，因为：,上式可以改写为,未知数C的线性齐次方程组,方程组的非平庸解的充要条件是,B
13、的fn次幂方程,因为B是厄米算符,所以有fn个实数根.,例如，fn=2时:,所以,方程有2个实根。,这样的波函数有fn个，即是A和B的共同本征函数。,力学量完全集,概念：设有一组彼此独立而且彼此对易的厄米算符集 ，它们的共同本征态为，实际上表示一组量子数。若给定一组量子数之后，就能够确定体系的唯一一个可能状态，则称 构成体系的一组力学量完全集。,体系的任何一个状态都可以用共同本征态展开，即,由本征态的正交归一性,任意力学量A在此状态的平均值为,由此可见，|C|2表示在态下,测量力学量A得到A值的几率，而展开系数C也称几率幅。,讨论：,（1）力学量完全集中包含体系的哈密顿量H，且不显含时间，则完
14、全集中力学量都是守恒量，也称为守恒量完全集。而其共同本征态为定态，相应的量子数是好量子数。,更详细的论述见第五章。,（2）构成力学量完全集的力学量应满足相互独立，彼此对易的条件，且这样的力学量的个数应等于体系的自由度数。如，三维的粒子的动量三分量构成一组力学完备集；坐标也构成。,4.5 基本力学量的本征函数系,坐标和动量算符的本征函数系,一维的情况下，坐标和动量算符的本征方程分别为：,坐标表象,相对应的本征函数系分别为：,由于坐标算符和动量算符的本征谱都是连续谱，其本征函数系，也就不是平方可积的，因此只能归一化为函数，,三维空间中，则有类似的情形：,(I) 直角坐标系,角动量平方算符,由于角动
15、量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,角动量算符算符的本征函数系,直角坐标与球坐标之间的变换关系,这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),(II) 球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,下面在球坐标
16、系中求解角 动量算符的本征函数系：,算符Lz的本征函数系的求解,求 归 一 化 系 数,正交性：,I.角动量算符的厄米性，要求 z 为实数； II.波函数单值条件，要求 当 转过 2角回到原位时波函数值相等，即：,合记之得 正交归一化 条件：,解为,其中c为归一化系数.,最后得 Lz 的本征函数 和本征值：,L2 的本征值方程可写为：,为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, )内都是有限的， 则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, .,该方程的解就是球谐函数 Yl m(,)，其表达式：,归一化系数，由归一化条件确定,算符L2的本征函数系的求解,连带Legendre多项式
17、,此项也是Lz的本征函数.,其正交归一 条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,球谐函数的 简并度问题.,量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,由上式可知，球谐函数是算符L2和Lz的共同本镇函数。 L2的本征值为为( +1) h/2，Lz的本征值为mh/2。,本征方程为,在给定角量子数的情况下，磁量子数m可以取(2 +1)个不同值,即对于算符L2而言，球谐函数是(2 +1)重简并的，相应的子角动量算符Lz的引入，则刚好用其本征值磁量子数m分类了这(2 +1)重简并态。,4.6 不确定性关系,上面讨论了力学量A和B对易情况下，有共同
18、本征函数，且同时能有确定的测量值。那么反过来，A，B 0时，将会有怎样的物理现象呢？,答案,就是著名的不确定性关系！,证明：,例如,设任意两个力学量算符的对易关系为：,这样定义的算符C也是厄米的。,对体系的任意波函数，考虑下面积分：,任意实数,算符的厄米性,令,这里用到厄米算符方均值为非负的性质。,对于厄米算符而言，有如下性质：,仍是厄米算符,用A和B替换A和B算符,令,令,不确定性关系,不确定性关系是波粒二象性和波函数的统计解释的必然结果。测不准关系表明，微观粒子的位置和动量不能同时具有完全确定的值。这是一个量子效应，是由力学量的统计分布决定的，绝不是测量技术或仪器精度的问题，而是原则上根本不可能同时准确地确定它们。,测量极限：不可能实现比不确定性关系更精确的测量。,应用：角动量的测不准关系,首先：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx= Ly= 0,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,同理有,然后：在L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：,将上式两边在 Ylm 态下求平均：,左乘Lx,对易式,易得等式,将上式两边在 Ylm 态下求平均：,则测不准关系：,陈 洪，量子力学： 4.2、4.5 、4.9 、4.10 、4.12,作 业,
