1、,第十章,习题课（一）,一、二重积分基本概念,二、直角坐标下计算二重积分,三、极坐标下计算二重积分,二重积分概念与计算,内容小结,(1) 二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为X型,则,若积分区域为Y型,则,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先找两端点，后积一条线 ),充分利用对称性,应用换元公式,设函数,(上下对称) D 位于
2、x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称（左右对称）, 函数（看x)关于,在 D 上,在闭区域D上连续,区域D关于x 轴对称,则（变量看y),则,变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.,二重积分的对称性,在第一象限部分, 则有,二重积分的对称性特别重要！,如，D1为,典型例题,例1. 设,且,则,分析:,交换积分顺序后, x , y互换,等于（ ）,例2 设f(x)为连续函数，,，则,等于（ ） .,B.,C.,D. 0,A.,分析：.,交换积分次序，,变成定积分积分上限函数,选 B .,B,O .,x .,y .,t .,1 .,y=x .,1 .,例3.设,是由曲线,和,围成的平面
3、区域，则,A. 等于0 B. 符号与,有关，与,C. 符号与,有关，与,无关 D. 符号与,、,都有关.,（ ）,无关,分析：.,如图：.,x .,y .,o .,由积分区域的对称性,选 C .,C,例4.设,连续,且,是由,围成,则,（ ）,A.,B.,C.,D.,分析：.,注意到二重积分是数，故设.,则.,o .,u .,v .,选C.,C,.,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,在,上,在,上,(-1,0),(1,0),例6,则,分析: 如图 ,由对称性知,在,上是关于 y 的奇函数,在,上是关于 x 的偶函数,A,，其中,为圆周,所围成的闭区域。,.,例7
4、,解：如图,由积分区域的对称性，有,例8. 计算,其中,是由,及,所围成的区域，,是,上的连续函数.,解：如图,做辅助线,将区域分成两部分D1，D2，,D1,D2,例9. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,例10.交换积分顺序,解: 积分域如图,解：,原式,例11. 给定,改变积分的次序.,其中,例12. 计算,解：如图,为去掉绝对值，做辅助线,将区域分成两部分D1，D2，,D1,D2,由积分区域的对称性，有,例13.,解:,.,例14. 计算,解：如图,1,2,4,（2,2）,（1,1）,例15.设区域,是中心在原
5、点，半径为,的圆盘，求,解：如图,由积分中值定理，存在,使,于是,=1,或者,由洛必达法则,=1,例16.设二元函数,解：当,时，,计算,其中,由对称性,当,时，,于是,，其中,为圆周,所围成的闭区域。,.,例17.,解：如图,由积分区域的对称性，有,例18.设f (x)是在0,1上连续，单调减少的正值函数，,证明:,证明:,x,0,1,且f (x) 0, 上述四个积分都大于零,令,变成二重积分,交换变量符号,于是，将上两式相加，得,因 f (x)单调递减，所以当,时,当,于是总有,从而有,例19.设 f (x) 在0,1上连续，,证明:,证明:,因为D关于x= y对称，所以,设,所以,(交换变量符号),例20.设,为可微函数且,证明：,证明：,例21.设,在单位圆上有连续偏导数,且在边界上,证明：,取值为零，,证明：,令,则,从而,因为,在单位圆的边界上取值为零，则当,时，,因此,故,由积分中值定理,
