1、高等数学下册教案 第九章 重积分1第九章 重积分1、二重积分的概念一重积分的概念1引例与定义曲顶柱体的体积问题设函数 ，当 时， ，且 在 上连续。由曲面(,)zfxy(,)D(,)0fxy(,)fxyD、 平面的区域 、母线平行于 轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，(,)zfxyoz或称为以曲面 为顶，以平面区域 为底，母线平行于 轴的曲顶柱体。(,)f z已知：平顶柱体的体积=底面积高分割：用平面曲线网将区域 分割为， ，. ， ，.，12in相应地将曲顶柱体分割为 个小的曲顶柱体：n， ，. ， ，.，1V2iVn其中 表示第 个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则： ；ii 1nii
2、V求 的近似值： ， （ ） ；故(,)ii(,)iiif,21niiV1,nii求 的精确值：记 所有 的直径，则， ；maxi 01lim(,)niiVf平面薄板的质量问题设平面薄板占有 平面上的区域 ，密度函数为 ，当 时，xoyD(,)xy(,)D且在 上连续。(,)0xyD同理可得，质量计算公式： ；01lim(,)nii定义 1、设函数 是有界闭域 上的有界函数。将 任意分割成 个小的区域： 、(,)fxy n1、.、 ， （ 既表示第 个小区域也表示小区域的面积） ；任取2nii， ，作和： ；记 的直径 ，若极(,)ii1,2 1(,)niiifmaxi(,)zfxyi(,)i
3、iiii高等数学下册教案 第九章 重积分2限 存在，称极限值为函数 在区域 上的二重积分，记作：01lim(,)niif(,)fxyD01li(,)niif(,)Dfd其中 被积函数， 积分区域， 面积微元， 积分变量，(,)fxy ,xy被积表达式， 积分和。,d1(,)niiif注： 相应于积分和中的 ，故 ；i0d如果已知二重积分 存在，特别：用直角坐标系中的直线网即平行于坐标轴(,)Dfxy的直线网分割区域 ，除去边沿部分外，有 ，则 iixy(,)Dfxyd01lim(,)niif0li,iif中 0lm(,)iif中0li(,)iifxy中 ,Dfxyd即： 在直角坐标系下的二重积
4、分(,)Dfxyd,Dd用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆弧、从坐标原点发出的半射线分割区域 ，D除去边沿部分外，有 ，则利用直角坐标与极坐标的关系 ，iir cosiir，sinir(,)Dfxyd01lim(,)niif0li,iif中 0l,iif中极坐标系下的二重积分0li(cos,in)i iifrr中 (cos,in)Dfrrd2二重积分的几何意义当 的几何意义表示以区域 为底，以曲面 为顶，母线(,)fxy(,)Dfxyd (,)zfxy平行于 轴的曲顶柱体体积（位于 上方） ；zxoy若 ， 积分值等于区域 的面积。(,)1f(,)DDfDiixy(,)iii高等数学下
5、册教案 第九章 重积分3注： 时， 的几何意义表示以区域 为底，以曲面 为顶，0),(yxf(,)Dfxyd D(,)zfxy母线平行于 轴的曲顶柱体的体积；z若积分区域 关于 轴对称， 是位于 轴上侧的一半区域，则0xDdyxf),(),(20Ddyf),(),(yxfyf设积分区域 关于 轴对称， 是位于 轴右侧的一半区域，则0Ddyxf),(),(20Ddyxf),(),(yxfyxf问题：考虑如果积分区域关于坐标原点对称或关于直线 对称时，被积函数 满足),(yxf什么条件积分具有类似上面的性质？例 1根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中 ，221:DxyR； ， ， 。2:,
6、0Dxy122DRxyd12()d解： 的面积d上半球体体积22DRxyd3四面体的体积2(1) 16例 2指出下列积分值， ，其中 ： 。Ddyx)2(2D42yx解：被积函数 ， ，根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲0yxz,面 为顶，以 ： 为底的曲顶柱体的体积，即等于底半径为 2，高2yxz42为 2 Dd)(2 38)(312例 3指出下列积分值，其中其中 ：D10|yxDyx2d)sin(2解： 02dDxy)sin3( Dxydsin322)10(6xy10高等数学下册教案 第九章 重积分4二二重积分的性质可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设重积分存在。性质 1、 ， 为
7、非零常数；(,)(,)DDkfxydkfxydk性质 2、 ；,g(,)(,)Dfgxyd性质 3、若 ，且 （除边沿部分外） ，则121212(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxy性质 4、若 ， ，则： ；,g(,)Ddgxyd表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值的大小。特例： 若 ， ，则 ；(,)0fxyDyx),(,)0fxyd |,|,|Ddf其中几何意义在于：左端体积的代数和，右端体积。性质 5、 （估值定理）若 ， ，则(,)mfxyM(,)xy（ 是 的面积）DdD注：利用此性质可以估计积分值的范围。性质 6、 （中值定理）
8、若 在有界闭区域 上连续，则存在 ，使得：(,)fxy (,)（ 是 的面积）(,)Ddf因为 在有界闭区域 上连续，则在 上可以取得最大、最小值 与 ，即(,)fxyDMm， ；根据性质 4，mM,(,)DDmdfxydM即 ，或 ，由闭区域上连续函数的性质，存(,)Dfxy1,f在 ，使得 ，即： 。(,),(,)Dffxyd(,)(,)Dfxydf例 4比较积分 与 的大小， 由 围成的圆域。()Dxyd3221y高等数学下册教案 第九章 重积分5解：当 时，总有 ，故 ， 。(,)xyD1xy3()xy3()()DDxydxyd例 5试估计二重积分值 ，其中 是矩形区域： ， 。()D
9、d 012解： ，则当 时， ， ，故：(,)1fxy,xy01m24M；且 ，则142(1)8Dmd（例 4 图） （例 5 图）12221高等数学下册教案 第九章 重积分62、二重积分的计算一在直角坐标系下1平面上的简单区域及其不等式表示： 型与 型XY型： 型：XY： ：D12()()axbyD12()()cydx例 1将下列平面区域用不等式表示解： ， ： ；XDYcydaxb ： ； ： ；X20RyYD220yR ： 及 ； ： 。XD21x0xyY1yx2在直角坐标系下二重积分的计算例 1计算曲顶柱体的体积 ， 。V(,)Dfxd0),(f解：设曲顶柱体的底为 平面上的区域 ，顶
10、为曲面 ；设区域 为 型区域xoy (,)zfxyDX且 ： ；D12()()abx0,，过 点作垂直于 轴的平面，0x平面与曲顶柱体有一截面，设截面面积为 ，0()A则 为： ；0()Ax201()0(,xfyd由 的任意性，有 ，截面面积为： ；,ab,ab()x21(),xfyd()Axyab1y2()Axyz122()yx1() 2()xy1()dDO12yxcdR2y高等数学下册教案 第九章 重积分7根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为 V()baAxd21(),bxafydx从而， 二次积分（累次积分）(,)Dfxy21(),xf注：对于一般的二重积分 ，若其积
11、分区域 为 型区域，即 ：,DydDXD，则也有： ；12()()axby(,)fx21(),bxafydx为了书写方便，二次积分常写为：(,)Dfxd21(),bxafyd21(),bxaf同理，若积分区域 为 型区域，即 ： ，则有：YD12()()cydx(,)Dfxyd21(),ycfxd1(),dycfx如果积分区域不是简单区域，则应当适当划分为简单区域再逐个积分。例 2计算二重积分 ，其中积分区域 为矩形： 。DxyDabcyd解：根据上面的讨论，视 为 型区域， ： ，则XxDxyddcbaxy21()bacxd221()4adcbdacxy特例：若积分区域 为矩形区域 ： ，被
12、积函数恰好可以写为 ，Dy 12(,)()ffxy则 。12()Dfxyd12()()bdacfxf例 3计算积分 ，其中 由曲线 与 围成。23D21xyxy解：视 为 型域，则 ： ；Y21y23Dxyd213yxd2113yxd211y2()()y1xy2132高等数学下册教案 第九章 重积分82431()(1)ydy2321()(1)dy542241790视 为 型域，则 ： 及DX10xy3x23xyd123Dxyd23Dd012xyd3120xyd01x201x3210()x3220()d794例 4计算积分 ， 由 与 围成。Dyx2xay0y解： ： ，则X20aDdyx2 2
13、02xady： ，则Y22xaDdyx2220yadx0ay例 5计算积分 ， 由 、 及 轴围成。2xDe解：视 为 型域， ： ，则X0xy2xDed220xed200xd20xe22001xxed41e若视 为 型域， ： ，则Yyx此积分无法用牛顿 莱布尼兹公式计算2xDed220yed注：以上例题表明，在直角坐标系下计算二重积分时，应注意积分顺序的选择，二重积分计算的关键是转化为二次积分。例 6将二重积分 化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分，其中(,)DIfxydyx02yx0221aa2xy高等数学下册教案 第九章 重积分9由直线 、 及 围成。Dyx2y解： ： ， ： 及
14、 ，则Y20yXD012x2xy20(,)yIdfx1201(,)(,)xxIdfdfy例 7改变二次积分 的积分顺序。420,yf解：由条件可得： ： ，则积分区域为：YD42yx420(,)(,)YyDdfxdfd(,)XDfxyd24402,(,)x xyfy例 8计算由平面 ， ， 所围成的柱体被平面 以及抛物面xy10z截得的立体的体积。zyx62解：此立体为以 （由 ， ， 围成）为底，以曲面D0yx为顶的曲顶柱体，则2zDdyxV)6(2xDdyd102)(6103)1(x6174练习1将下面的二重积分 化为二次积分（两种顺序都要） ，其中积分区域 ：由(,)Dfyd D、 及
15、围成；由 与 轴为成。xy1y2xRy解： (,)Dfxd10(,)xfd10(,)yfxd ,fy20,Rxfy20,Rf2交换积分顺序： 。210(,)ydfd解：210(,)ydfx10,xfy2210(,)xfyd1(4)2xy4xy2402yx011yx26yxz高等数学下册教案 第九章 重积分103计算积分 ，其中 由直线 、 及 围成。2()DxydDyx2x解： 220()xd2301xyy3201948xd49286二极坐标系下二重积分的计算1极坐标系下的二重积分2xy0r),(高等数学下册教案 第九章 重积分11极坐标系下的坐标为： ，与直角坐标的关系),(r， ；极坐标系
16、下的坐标曲线：sincoryx20常数以原点为中心的圆弧； 常数 从原点发出的半射线设二重积分存在，则 ；Ddyxf),(ni iif10),(lm用极坐标系中的曲线网分割区域 时，除去边沿部分外，均有： iiiiii rr221)(1iii(2 iiir iiii rr)(21ir考虑圆弧 上的一点 ，取 ， ，则ir),iriicosiisnDdyxf),(ni iif10,(lm ),(),(lm0中中 iiiiff iiii rrf 中 )sn,col Drdrfsn,coDdyxf),(Ddf,(注：二重积分的面积微元 在极坐标系下为： ；r2极坐标系下的简单区域半射线 与区域 边界
17、曲线的交点不超过两个，则 为极坐标系下的简单区域。0 D ： ，则D12()()rcos,infd 21()cos,in)frrd ： ，则0()r(cos,inDfdr ()0cos,in)frrd ： ，则20()rcos,inDfrd2()0cos,in)frrdO2()r1O()r()rO()ri1)(2r高等数学下册教案 第九章 重积分12 ： ，则D0()rcos,infrd ()0cos,in)frrd例 1将二重积分 化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域 为(,)Dfxy D，且 。22axyb0解： ： ，则201r(,)Dfxyd20(cos,in)bafrrd如果将条件
18、 去掉，则积分区域为环形区域，此时(,)Dfxy20(cs,i)bafrr注：注意到两组积分限均为常数。因此如果积分区域为上述的环形或圆形区域，被积函数中含有 ，可以考虑使用极坐标。2最常用的三种圆的极坐标方程： 22xyar 22()xaycosra2()xya2sinra例 2将二重积分 化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域 分别为(,)Dfxyd D、xyx2(,)Dfdcos0)sin,(2ardrf,fxysini,f例 3计算二重积分 ， ： ， 。2()xyDed22xya0,xy解： ： ，故20ra2()xyDed2rDed220ared2201()ared2201ra 2
19、201a 20a214ae注： 2220()aaxxxeded220xyed2()xyDed中rbraOa2cosrsir高等数学下册教案 第九章 重积分13因为 ，利用重积分的性质，有D中中2()xyed中 2()xyDed中 2()xyDed中又因为 ： ， ： ，故中 a中 a2()xyDed中 214ae2()xyDed中 214ae，或，214a2()xy中 2a2a20()xd214ae令 ，则 ， ，由夹逼准则可得， ，2144ae214e20()ax即（ ）从而获得重要结论： 。20axeda20xed例 4求曲线 围成的图形的面积。23()yx解：根据曲线的方程，有 ，且曲线
20、关于 轴对称，故只需要讨论 即第一象限部分0y0y的面积即可。将曲线的方程极坐标化： ，即曲线的极坐标方程为： ，所求面43cosr 3cosr积示意图为 ：D230cs2Adrd32cos0rd32cos01rd2609cos53145例 5计算球面 与圆柱面 所围成的体积。22xyza20xya解：所求体积包括两部分：即位于球面之内柱面内的部分与柱面外的部分。由于球面与柱面均关于 坐标面对称，故只考虑 的部分。球面之内柱面内的部分的体积：o0z：D20cosra2214DVaxyd24Dard2cos2044ard 3rx20xyacosryz24ax高等数学下册教案 第九章 重积分142
21、cos2204()adrdar 322cos00(4)ard 23304(8in) 230sin1d3321)Va3a333649a例 6将二次积分 化为极坐标系下的二次积分。2201()ydfxd解： ：D21yy： 及42sinco0r420cosr210()ydfxd 2()Dfxyd2()Dfrd24sinco0fr24cos20()fr练习题1将下面积分化为极坐标系下的二次积分。 ， ： ， 。(,)Dfxyd22(1)xy0x 20,xf解： (,)Dfyd(cos,in)Dfrrd2sin0(co,sin)frrd20,xf ,if 342se0,idf2选择适当的坐标系，计算下
22、列二重积分 ， 由 、 及 围成。2Dxdy2xyx1解：2121xd2dx231dx42194 ， 由 与坐标轴围成的第一象限的部分。2ln()DxyD2y解： l1dln(1)rd2120ln()rd21xyxycosr2sincor0sin14()yx023yx021yx03a高等数学下册教案 第九章 重积分151220ln()2rd21ln4td1l4tt(l) ， 由 、 、 与 围成。2()Dxydyxay3(0)a解： 232()aydx321yaaxd3321()ayayd32321a323ad42321(7)(9)a41a求半球面 与旋转抛物面 （ ）所围立体的体积。223z
23、axyxyaz0解： 21VDd21()Dd223axy(3ar0drd 2201rd320()a3()a1DVxyda31Drd230adr420()2ar313)335(2)a4、三重积分的概念及计算法2xya高等数学下册教案 第九章 重积分16一三重积分的概念引例：某物体占有空间的区域 ，密度为 ，且在 上连续，求此物体的质(,)0xyz量。解：用曲面网分割区域 为空间的 个小区域： ， ，则物体的质量为：n1V2, n， 既表示第 个小区域，又表示第 个小区域的体积， ； ，物1niiMiVi i (,)iiiV体的质量： ，记 所有 的直径 ，则所求物体质量：1nii1(,)niii
24、maxi。01lim(,)niii定义 2、设函数 是有界闭域 上的有界函数。将 任意分割成 个小的区域：,fxyzn， ， （ 既表示第 个小区域也表示第 个小区域的体积；任取1V2 niVii， ，作和 ；记 的直径 ，若(,)iii1,2 1(,)niiiifVmaxiV极限 存在，称极限值为函数 在区域 上的三重积分，01lim(,)niiif(,)fxyz记作： ；其中 被积函数， 积01li,niiifV(,)fxyzdv,f 分区域， 体积微元， 积分变量， 被积表达式，dv,z(,)fxyzdv积分和。1(,)niiiif注： 相应于积分和中的 ，故 ；viV0dv若 存在，当
25、直角坐标系中的坐标平面网分割区域 时，除去边沿部分外，(,)fxyzd 其内部的小区域均为长方体，其体积为： iiVxyz(,)fxyzdv01lim(,)niiif()0lm(,iiiNfV,iiixyz,xyzd即在直角坐标系下， 且 ；dxyzv(,)fdv()f三重积分的几何意义：当 时， 积分值等于积分区域 的体积，即 ；(,)1f dv高等数学下册教案 第九章 重积分17三重积分的性质类同于二重积分。二在直角坐标系下三重积分的计算空间 型简单区域：平行于 轴的直线穿过 时，与 的边界曲面的交点不超过两个。Zz1设 ，根据三重积分的几何意义，(,)1fxyzVdvxydz设： 是空间
26、的 型简单区域，且依此将 的边界曲面分为上、下两部分： ：2与 ： ，即 ；2(,)zxy11(,)zxy12(,)(,)zxyzxy 在 坐标面上的投影区域 是平面的 型域 ： ；oDXD12()abx对于 上的任意一点 ，均满足不等式：(,)xyz：12()(),abzxyzxy再利用二重积分的几何意义，有 dv21V21(,)(,)DDzdzxyd(,),Dzxy21(,)zxy21(,)zxyd2211()(,)byxazxydd事实上对于 不恒为 1 的情形，在上述的区域 上仍然有(,f )zv21(,),)zxyDfz 2211()(,),)byxzxyafzd注：若空间区域 在
27、面上的投影区域 为 型区域，即oY： 12()()cydx(,)fxyzdv1,(),zxyDfz 2211()(,),)dxyzxycfzd根据上面的讨论，在直角坐标系下的三重积分共有 6种不同顺序的累次积分。当区域 空间的 型简单区域(平行于 轴的直线穿过区域 时与区域边界曲面的的交点不超过两个)Yy且 ，以及 在 坐标面上的投影 用不等式表示为：12,)(,)yxzyxzxozD：D12()()abD(,)xyz2z1,(,0)xy高等数学下册教案 第九章 重积分18.(,)fxyzdv21(,),)yxDfzdy 2211()(,),)bzxzxyadfzdy计算三重积分时，要求必须画
28、出投影区域 的图形；D计算三重积分时，首先对 作定积分然后再作投影区域上对 作二重积分，称之为“先z yx,一后二” 。例 1将三重积分 化为三次积分，其中积分区域 由平面 与(,)Ifxyzdv 1xyzabc三个坐标面围成（ ） 。0abc解：将 向 面投影，投影区域 如图示，且xoyD： 0(1)zcab0(1)xayb,Ifxydv(1)0,xacDfzd (1)(1)00,)yxxaabbcdfzd（ ）(1)(1)00,)yyxbabbacf在此，特取 ， ，则zxIxdv10xyDd1100xydz10()xdyd1220()()2()2()241将 向 面投影，投影区域 如图示
29、，yoz且 ， ： ，则(1)xabcD0(1)ybzc(,)Ifyzdv()0,yzcfxd（ ）(1)(1)00,)yyxbabbccf (1)(1)00,)yxzabccbfxd例 2将三重积分 化为三次积分，其中 由椭圆抛物面 与平Izdv 2zxy面 围成。z解：将 向 面投影，投影区域 ： ， ；yozD21xy1122xy(,)Ifxdv21(,)xyfzdxOyczyzOyzbc高等数学下册教案 第九章 重积分19212 211(,)cxydfxzd如果选择向 面上投影，记投影区域为 ，ozD则 ，且 ：22zyx21yz(,)Ifzdv2(,)zyDfxd 221(,)zyy
30、dfxzd例 3计算三重积分 ，其中积分区域 由椭圆抛物面 与抛物柱面x2围成。2zx解： 在 坐标面上的投影区域为 ： ；oy21xy(,)Ifzdv2xDydz221xxyz2122()xxyd212(1)xdd 3322114)(0注：积分区域 关于 平面对称， ，则yoz00x若 关于 是奇函数，则 ；(,)fxx(,)fyzdv若 关于 是偶函数，则 。,yz ,x02(,)fxyzdv例 4计算三重积分 ，积分区域 如图所示。3(2)zdv解：积分区域 关于 面对称，故xoy3(2)zdv22()4a2对于三重积分 除了先作定积分，然后在投影区域上再作二重积分外，在,fxyzdv某
31、些情况下也可以采用先二重积分再定积分的积分方式，称为“先二后一” 。设空间区域 如图所示，则 ， ，12cz12(,)c过 点作 轴的垂面，与区域 的截面为 ，则z zD(,)fxyzdv21(,)zcfxyd例 5计算三重积分 ， ： 。2221zabczyx212x2zzD1c2cxyO12yOxy211z2xyxy22a高等数学下册教案 第九章 重积分20解：如果采用“先一后二”的方法积分，则将 投影到 平面上，投影区域为 ：xoyD，21xyab2zdv21yxabcDzd 2211yxxaababcdzd积分很难完成23213()xaaby将 投影到 轴上，则 ； ，平面 与椭球的截
32、面为 ：zcz(,)czzD（ ） ，是一个在平面 上的椭圆，即221xyabcz： （ ）zD221()()zzccxyab2dvzDdzDd2221cabc 2(1)czabd420()czbd31()534二柱坐标系下三重积分的计算1柱坐标系介绍zyx(,)Przz(,0)r高等数学下册教案 第九章 重积分21(,)(,)Pxyzrz， ， ；cosinrz0022xyr柱坐标系中的坐标曲面常数圆柱面r常数过 轴的半平面z常数平行于 坐标面的平面zxoy用上述的坐标面构成的曲面网分割空间区域 ，除去边沿部分外，均有，iiii zrV)(,fxydvni iiiVf10),(lm ni i
33、iiii zrrf10 ),sn,co(lmcos,rzrd在柱面坐标系中， ， ， ， ，则xinydzrv(,)fyzdv(cs,)frz设空间区域 是 型简单区域，在 面上的投影区域为Zxoy：D)()(21r则柱坐标系下的三次积分为：dzrrf),sin,co( ),()(2121 ),sin,co rz dzrfd例 1将三重积分 化为柱坐标系下的三次积分，其中 为介于 、2(fxyv 1之间的圆柱： 。2za解： 在 坐标面上的投影区域 ： ，且 ，xoyD22xya(,)xyD均有 ，以及 ： 1z0r2(,)fxyzdv2(,)fzd2201(,)adrfzd注：注意到三对积分
34、限均为常数，因此在上述类似的圆柱形区域上积分时，一般可考虑采用柱面坐标。drzvzxyz220O12xy22a),(1rz,2D高等数学下册教案 第九章 重积分22例 2将三重积分 化为柱坐标系下的三次积分；(,)fxyzdv 由圆柱面 与平面 、 围成；2202z 由圆柱面 与平面 、 围成；yx0 由椭球面 与抛物柱面 围成。2z 2zx解： 在 平面上的投影区域 ：oDy，对应有 ，且 ： ，(,)xyD02z20cosr,)fdv(cos,in,)frzd2200(s,in,)frz (,)fxyzdv(cos,in,)frzd20in20 ),si,(zrf 在 平面上的投影区域 ：
35、 ， ，对应有 ，在xoyD1xy(xyD22xyzx柱坐标系下为： ，且 ： ，222(1sin)cosrzr01r(,)fxyzdvc,in,)frzd221cos0(in),sin,)rdfrzd例 3计算三重积分 ，其中 由圆锥面 、圆柱面 与平面zv 2xy2xy围成。0z解： 在 平面上的投影区域 ： ， ，xoyD2xy(,)D均有 ，在柱坐标系下为：2z，且 ：0r20cosrzdvzd200rdz2cos301r241(cos)8240cosd3124xy2cosry212zxxz20yOxy2cosr2zyxsin2r高等数学下册教案 第九章 重积分23三球面坐标系下三重积
36、分的计算1球面坐标系介绍(,)(,)Pxyzr球坐标系下的坐标面常数中心在原点的球面， ；r0r常数过 轴的半平面， ；z2常数原点为顶点的圆锥面， ；球坐标与直角坐标的关系：， ，sincoxryz22xyzr22sinxyr用球面坐标系中的曲面网分割空间区域 ，除去边缘部分外，均有，则iiiii rrV)sn()iirsn2,fxyzdv 2(co,s,co)sinf rdr表明 ，则球坐标系下的三重积分为rvsi2(,)fxyzv 2(sinc,sin,cs)ifrrrr2,)Fd例 4将球坐标系下积分 化为三次积分。(,siIrr ： ； ：由 与 围成。2221RxyzR2zxy21
37、zxy解： ： 02012Rr2(,)sinIFrd 2120(,)sinRdFrdr ： 00423r2(,)sinIrd 423200(,)sindrdr(,)rdrd1r2xy3r4高等数学下册教案 第九章 重积分24注：注意到以上两个积分的三对积分限均为常数，故如上的区域（球体、上球下锥体）上积分时，可以考虑采用球坐标。例 5将三重积分 在由 与 所围成的区域22()Ifxyzdv2zxy21zxy上化为球坐标系下的三次积分。解：由 可解得 ，表明交线位于平面 上，投影驻面为 ，21zxy3z3z23xy由此确定 ；则 ，其中0612： ， ， ；1203r： ， ， ；20622co
38、sin2()Ifxyzdv()frdr1)sinrr22si6223200()sidfdr226cos2in00()sidfrdr62320(cos)fr226cos2in0if23201()fd226cos2in0()sifrdr例 6求图中 的体积。解： 其中球面方程 在球坐标系下可以表示2sinVdvr 22xyza为 ，则 ： 2cosra00cosr2sivrd220inaddr33082inco 3416(cos)a34(1cos)注：常用球面的球坐标方程： ； 22RzyxrRzyx22；cosRr问题：若此体积用柱坐标应应如何计算？练习题：化为球坐标系下的三次积分0r2cosi
39、nr2xyza高等数学下册教案 第九章 重积分25 ， 是 对应的 的部分；22ln(1)zxyzdv221xyz0y解：22l()xyz 22cosln()sirrdr13200l()incodr2130 0l()sincordd0 ， 满足 、 ；22zxyzdv22xyz23xy解： cosinrdr621400icosd 6201(sin)5选择适当的坐标系计算三重积分 ，其中 由旋转抛物面 与平2()xydv2zxy面 围成。0z解：根据被积函数和积分区域，用柱坐标计算： 2()xydv3rdz22030rdz2320()rdr4621将 化为三种不同的坐标系下的三次积分，并计算积分
40、值，其中 由锥面2()xydv 与旋转抛物面 围成。z2zxy解： 在 坐标面上的投影区域为 ： ，则oD21xy2()xydv221 2()xyddz23rz2130r1320()rdr152()xydv43sind224cos43in00d6、重积分的应用一几何应用1体积高等数学下册教案 第九章 重积分26以 为底， 为顶的曲顶柱体的体积：D(,)0zfxy(,)DVfxyd空间区域 的体积：Vdv2面积平面区域 的面积： DA空间曲面的面积：设空间曲面方程为： ， ；函数 的一阶偏导数(,)zfxy,D(,)fxy在 上连续，求此曲面的面积。D将曲面任意分割为 个小的曲面： 1S， ，., ,其中 iS既表示第 张小曲面又表n2ni示第 张小曲面的面积，则 ；i 1nii设 第 张小曲面 iS在 xoy坐标面上的投影区域， (,)iiD， iD对应的曲面上的点为 ，其中 ；过 ,ii(,)iiiSiif作曲面的切平面，当 时，小片切平面的面积记为 iA，则 ；iiDiiS设 表示曲面上 点处的切平面的法
