1、习题课二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法 化二重积分为累次积分的步骤是 作出积分区域的草图 选择适当的坐标系 选定积分次序 定出积分限 1 关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑 一 主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2 关于积分次序的选择 选序原则 能积分 少分片 计算简 3 关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形 扇形 圆环形 看图定限 穿越法定限和不等式定限 先选序 后定限 直角坐标系 先y后x 过任一x a b 作平行于y轴的直线 穿过D的内部 从D的下边界曲线 穿入 内
2、层积分的下限 从上边界曲线 穿出 内层积分的上限 先x后y 过任一y c d 作平行于x轴的直线 定限 左边界 内层积分的下限 右边界 内层积分的上限 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算 结果相加 极坐标系 积分次序一般是 过极点O作任一极角为 的射线 从D的边界曲线 穿入 从 穿出 如D须分片 内下限 内上限 具体可分为三种情况 极点在D的边界上 是边界在极点处的切线的极角 绝大多数情况下为0 极点在D的内部 化累次积分后 外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘r 极点在D的外部 4 关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的
3、它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的 不过重积分的情况比较复杂 在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面 不可误用 对 若D关于x轴对称 若D关于y轴对称 若D关于原点对称 称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0 偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质 简述为 你对称 我奇偶 简单地说就是 若D关于直线y x对称 5关于二重积分的换元法 f x y 在D上连续 变换T x x u v y y u v 将uov平面上的闭区域D1变成xoy平面的闭区域D 1 x x u v y y u
4、 v 在D1上具有连续的一阶偏导数 2 在D1上 基本要求 变换后定限简便 求积容易 注意 二 例题分析 例1计算 解 积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 都有意义 必须限制 因此D只能在x 0 x 2之间 确定了积分区域后 再看被积函数结合积分区域的特点 化成极坐标计算较为简单 显然 r呢 极点在D的边界上 所以 那就错了 不能以为极点O在区域的边界上 就误以为对r积分的下限为0 定r的积分限 应先固定 以原点为起点作射线 这射线和两个半圆相交 积分限如何确定 尽管极点在D的边界上 但极角为 的射线并不是从极点穿入 而不是 域D的极坐标表示为 解 D关于x y轴及原点及y x对称 故 故 例2计算 解 例3计算 解 D的边界 极点在D的边界上 圆周在 0 0 的切线斜率为 故 例4计算 例5计算 解 和差化积 例6 设f x 在 0 1 上连续 求 解 试将二重积分 化成定积分 解 由积分域和被积函数的对称性 有 用极坐标 例7 为将二次积分化为所需要的定积分 须变换积分次序 其次 若先对r后对不可进一步化为定积分 又想到换序 例8 设f x 连续 证明 注 证一 令 则 证二 x y 证三 记 则 分部积分
