1、轴向拉伸与压缩,轴向拉伸与压缩,轴力计算 轴力图 拉压杆的应力 拉压杆的强度、变形计算 材料在拉伸和压缩时的力学性能 拉压杆的应变能 拉压杆的超静定问题* 剪切与挤压实用计算,悬臂吊车拉杆,工程实例,桁架结构,工程实例,紧固螺栓,工程实例,轴向拉伸与压缩的概念,轴向载荷外力的合力作用线完全与杆的轴线重合。,轴向拉伸（压缩）： 受力特点外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特点轴向伸长或缩短,受轴向拉(压)的杆件，简称拉(压)杆。,轴向压缩 (axial compression),轴向拉伸 （axial tension),轴向拉伸与压缩的计算简图,思考题下列杆件中，（ ）是轴向拉压杆？,D,思考
2、题 以下关于轴力的说法，哪个是错误的 （ ）,C,(A) 拉压杆的内力只有轴力；,(B) 轴力的作用线与杆件轴线完全重合；,(C) 轴力是沿杆件轴线作用的外力；,(D) 轴力与杆的横截面面积和材料无关。,轴力计算 轴力图,一等直杆在两端轴向拉力 F 的作用下处于平衡，欲求杆件横截面 m-m 上的内力。,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性问题的基础。截面法是求内力的一般方法。,用什么方法求内力？,(1) 截开：在截面m-m 处，假想地将杆截为两部分。,(2) 代替：取任一部分作为研究对象。弃去部分对其的作用，用截开面上的内力代替，用FN表示。,拉压杆的轴力计算
3、截面法,FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，称为轴向力，简称轴力。单位: N或 kN。,对左段部分列平衡方程,FN = F,(3) 平衡,物体系统平衡每个构件平衡单个构件局部平衡,对右段部分列平衡方程,FN = F,轴力的正负号规定,轴力FN为正,轴力FN为负,同一位置处左右侧截面上的内力具有相同的正负号。,内力的正负：为方便考虑变形而作的约定！,轴力规定：以拉力为正；以压力为负。,例 已知F1=5kN, F2=20kN, F3=25kN, F4=10kN。求直杆在外力作用下I-I，II-II，III-III截面的轴力，,解 先取II截面左侧为研究对象，进行受力分析：
4、,列平衡方程求 FN1,FN1 = 5kN,求轴力时，总是假设轴力方向与该截面外法线方向一致， 解得的轴力值的正负号，就是该截面上内力的实际符号。,表明该轴力方向与预设方向相反，为压力。,当所假设的轴力方向与该截面外法线方向一致，解得的轴力为正号表示拉伸，轴力为负号表示压缩。,正负号的区别,平衡方程式中的正负号表示轴力的投影，与投影轴有关 平衡方程结果的正负号表示轴力方向是否与图示方向相同 所作轴力图中的正负号表示轴力的拉伸()或压缩()作用,列平衡方程,得到： FN1 = 5kN,再求IIII截面上的内力，取截面左侧研究,列平衡方程求 FN2,若取截面右侧，有:,再求IIIIII截面上的内力
5、，可取右侧计算较为简单。,将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 内力图,将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 轴力图,5,10,15,外力个数n2，分段计算各截面上的轴力。,用逐个截面截取杆件(n个外力，则取n1个截面)；,作轴力图步骤：,将轴力值绘制成几何图线。 横坐标杆的轴线 纵坐标轴力数值,分别对截取的各部分列平衡方程，求得轴力值；,1,2,3,轴力图直观反映出轴力与截面位置变化关系，确定最大轴力的数值及其所在横截面位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力图轴力的直观描述,画轴力图注意事项,1. 横轴与杆轴线平行，端部对齐，各力作用面对应； 2. 标明内力的性质轴力F
6、N； 3. 画出内力变化规律，注明内力数值； 4. 标明内力正负号； 5. 标明内力单位。,5,10,15,课堂练习直杆受力如图，试画出其轴力图。,取I-I截面左侧,取III-III截面左侧,解：先求轴力,取II-II截面左侧,作轴力图,20,40,FN1=20kN 表明轴力方向与假定方向相反，实为压力。,危险截面：FNmax=40kN，在最右侧段内任一横截面上。,解：选取坐标原点O及坐标轴x,例 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,取左侧x 段为对象，内力N(x)为：,拉压杆的应力,仅考虑内力大小不能进行破坏分析，需要用应力来衡量。,拉压杆横截面上的应力
7、,1. 拉压杆的变形特点,实验观察结果： 纵线仍为直线，平行于轴线 横线仍为直线，且垂直于轴线,3. 应变分布：由平面假设，各纤维伸长相同，轴向应变分布是均匀的，1=2=3 = ,4. 应力分布：由应变均匀分布，根据胡克定律 =E，知横截面上的应力也是均匀分布的，即各点应力相同。,2. 平面假设：杆件任意横截面在杆件受力变形后仍保持为平面(只是两截面的距离发生了改变)，且与轴线垂直。,横截面上正应力公式的推导,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,有,得到横截面上 正应力公式为:,适用条件： 1. 弹性体，符合胡克定律； 2. 轴向拉压； 3. 离杆件受力区域较远处的横截面。,FN 为轴力，
8、A 为杆的横截面积, 的符号与轴力FN 的符号相同 当轴力为正号时(拉伸), 正应力也为正号，称为拉应力 ;当轴力为负号时(压缩), 正应力也为负号，称为压应力。,实验观察平面假设应变分布应力分布应力公式,横截面上正应力公式,拉压杆横截面上只有正应力，无剪应力,提出的问题：两杆端部横截面的正应力分布是否相同？,两相同杆件分别受到分布力和集中力作用,杆端承受集中力或其他非均布载荷时，杆件并非所有横截面都保持平面，并从而产生均匀的轴向变形。严格意义上讲，上述应力公式不是对杆件的所有横截面都适用。,因此无论杆端如何受力，拉压杆横截面的正应力均可用下式计算：,圣维南原理,圣维南 (Saint-Vena
9、nt) 原理,圣维南原理：等效力系只影响荷载作用点附近区域的应力和应力分布，在离力系作用区域略远处，影响就非常小。,由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸压时，离外力作用处较远的横截面上的正应力均匀分布。但若杆截面尺寸有急剧变化，例如工程中常见的杆上有孔洞、沟槽时，突变处局部应力急剧增大，此现象称为应力集中。,应力集中（stress concentrations),开有圆孔的板条,带有切口的板条,应力集中系数,s 同一截面上按净面积算出的平均应力,smax发生应力集中的截面上的最大应力,应力集中情况与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。,截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小
10、，应力集中的程度就越严重。,应力集中对塑性材料的影响不大，但对脆性材料的影响严重，应特别注意。,应力集中会产生危害，也可以利用它为我们服务。,例 阶梯杆OD，左端固定，受力如图所示，OC 段的横截面面积是 CD 段横截面面积 A 的两倍，求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。,1. 求反力,易知 O处反力仅有水平方向的分量 FOx,2. 画出轴力图,因此 FNmax=3F 在OB段，性质为拉力,3. 计算应力,最大应力位于CD段,最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。,例 已知图示结构，F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm15mm的方截面杆。 试求杆件A
11、B、CB的应力。,解：1. 计算各杆件的轴力。,用截面法，取节点B为研究对象,作受力图，取坐标列方程:,2. 计算各杆件的应力,拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上是否也是这样？,拉压杆斜截面的应力,斜截面,形心,横截面,轴线,1. 以 p表示斜截面 k - k上的 应力，于是有,一、截面法,p=F /A,A= A/cos,p=F /A=Fcos /A= cos,F=F,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的剪应力 ,2. 将应力 p分解,p= cos,=pcos,=psin,= coscos,=/2(1+cos2),= /2sin2,=cossin,(1) 角：自 x 转向 n
12、,符号的规定,(2) 正应力：拉伸为正，压缩为负。,(3) 切应力：对研究对象任一点取矩,顺时针为正，逆时针为负。,逆时针时 为正，顺时针时 为负。,单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。,单元体的性质：互相平行的面上应力均布。,1. 取拉压杆内一点M为应力单元体,二、单元体法,A,A,2. 截取单元体的一部分,由分离体平衡得：,得到左侧分离体, cos = p,将p分解为和,=pcos,=psin,= coscos,=(1+cos2),= sin2,=cossin,A=Acos, A=p A, Acos=p A,s与p是否相等？,= coscos,=(1
13、+cos2),= sin2,=cossin,结论：斜截面方位不同，截面上的应力不同。,=max=，=0,(1) = 0时，,轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,3. 结果讨论 (4种特殊情况),(2) = 450 时，,(3) = 450 时，,(4) = 900 时，,=0，=0,=max=,=min=,轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。,在平行于杆轴线的截面上、 均为零。,切应力互等定理,=(1+cos2),= sin2,4. 过O点的不同截面上的应力,过一点有无数的截面，过这一点各个截面上的应力情况总和，称为这点的应力状态。,思考题 拉压杆内只有正应力，没有切应
14、力，这种说法是否正确？,(1)拉压杆横截面上的内力只有轴力，因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。,(2)拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的, 即 = FN /A,(3)拉压杆的斜截面上一般既有正应力，又有切应力。 正应力最大值位于横截面上，数值为 ； 切应力最大值在与轴线成45角的截面上，数值为。,应从下列角度理解拉压杆的应力：,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,例直径为d =1 cm 杆受拉力F =10 kN，试求最大剪应力，并求与横截面成30夹角斜截面上的正应力和剪应力。,材料拉伸时的力学性能,材料拉伸时的力学性能,力学性能：材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的特征，主
15、要由实验测定得到。,变形的分类：1.弹性变形；2. 塑性变形,2. 塑性变形又称永久变形或残余变形。,1. 弹性变形为变形后外力撤除后可恢复的变形；,脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料,塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料，如低碳钢,要对构件进行强度分析时，除计算应力外，还应了解材料的力学性能。,1. 试验目的,(1) 测定低碳钢拉伸的力学性能。,(2) 观察低碳钢拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸曲线。,一、低碳钢拉伸时的力学性能,国家标准规定金属拉伸试验方法(GB2282002),(1) 常温: 室内温度 (2) 静载: 以缓慢平稳的方式加载 (3) 标准试件：采用国家标准统
16、一规定的试件,2. 试验方法,3. 试验设备,万能材料试验机,具有拉伸、压缩、弯曲及剪切等各种静力实验功能的试验机称为万能材料试验机。一般由两个基本部分组成：,(1) 加载部分，利用一定的动力和传动装置使试件发生变形，从而使试件受到力的作用，即对试件加载。,(2) 测力部分，指示试件所受载荷大小的机构。,圆截面试样，标距 L0 = 10d (长试件) 或 L0 =5d (短试件),试件中段用于测量拉伸变形，此段长度称为“标距”L0，两端较粗部分是夹持部分，为装入试验机夹头用。,4. 试验试件,5. 试验过程,(1) 在画线器上对试件画上标距，并在其内分若干等分格。,(2) 量试件直径。,(3)
17、 估计所需要的最大载荷，选择测力度盘。,(4) 调整试验机，装卡试件并加载。,(5) 观察拉伸时的四个阶段，记录数据，绘制F -DL曲线。,(6) 关闭送油阀，关闭油泵电机，打开回油阀，取下试件。,(7) 测量断裂后数据，分析整理数据。,6. s-e 曲线图,由测量得到的F -DL曲线可以转换为 se 曲线。,对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过s-e 曲线，整个试验过程可以分为四个阶段：,(1) 弹性阶段 (2) 屈服阶段 (3) 强化阶段 (4) 局部变形（颈缩）阶段,7. 曲线的四个阶段,直线部分的最高点a所对应的应力称为比例极限，sp,ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消失（
18、弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值弹性极限，se,(1) 弹性阶段,Oa段处于线弹性阶段，应力与应变满足胡克定律s = Ee，弹性模量E为直线Oa的斜率。,应力大于弹性极限后，荷载基本不变而变形却急剧增加，若此时解除拉力，则试样会留下一部分不能消失的变形塑性变形。这种现象称为屈服。,应力基本保持不变，应变显著增加屈服/流动,表面磨光的试样屈服时，表面将出现与轴线成45度倾角的条纹，这是由于材料内部相对滑移形成的，称为滑移线。,(2) 屈服阶段,上屈服极限与试件形状、加载速度有关，一般不稳定,下屈服极限比较稳定，能够反映材料的性能,通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点ss,材料屈服表现为显著
19、的塑性变形，而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标,Q235 ss=235MPa,屈服阶段后，材料恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，须增加拉力，称为材料的强化。,最高点e所对应的应力：sb,材料所能承受的最大应力，称为 强度极限或抗拉极限，它是衡量材料强度的另一个重要指标。,(3) 强化阶段,强化阶段，试样的横向尺寸有明显的缩小。,(4) 局部变形/颈缩阶段,e点过后，试样某一段内的横截面积显著收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。,(1) 伸长率,l1断裂时试件长度，l试件原长, 5%的材料为塑性材料； 5%的材料为脆性材料。,(2) 断面收缩率,A1
20、断口处最小横截面积，A试件原面积,Q235的断面收缩率 60%。,8. 伸长率和断面收缩率,若把试件拉伸到超过屈服极限d点,然后卸载,应力应变关系沿dd回到d点,dd与Oa平行,卸载过程中，应力和应变按照直线规律变化，这就是卸载定律。,9. 卸载定律及冷作硬化,卸载后短期内再次加载：,可见在再次加载时，直到d点以前的材料的变形都是弹性的，过了d点才开始出现塑性变形。,第二次加载时，其比例极限得到了提高，但塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷作硬化。,工程中经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段，如起重的钢丝绳和建筑用的钢筋，常以冷拔工艺提高强度。,但另一方面，零件初加工后，由于冷作硬化使材
21、料变硬变脆，给下一步加工造成困难，很容易产生裂纹，往往需要在工序之间安排退火，以消除冷作硬化的影响。,又如对某些零件进行喷丸处理，使其表面发生塑性变形，形成冷硬层，以提高零件表面层的强度。,低碳钢的应力应变全曲线,p比例极限；e弹性极限；s屈服极限；b强度极限,2. 屈服阶段bc,1. 弹性阶段ob,3. 强化阶段ce,4. 局部径缩阶段 ef,有些材料 明显的四个阶段,有些材料 没有屈服、颈缩阶段，只有弹性阶段和强化阶段,对于没有明显屈服点的塑性材料，规定以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服指标，称为名义屈服点。用s0.2 表示。,二、其他塑性材料拉伸时的力学性能,铸铁拉伸的应力应变曲线
22、,三、铸铁的拉伸时的力学性能,铸铁拉伸：与为微弯的曲线，无明显的线性关系，抗拉强度差，试件突然拉断，拉断前应变很小。破坏时沿横截面拉断，为典型的脆性材料。,拉伸强度极限,材料压缩时的力学性能,金属材料的压缩试样一般都制成很短的圆柱，以免被压弯，圆柱高度约为直径的1.33倍。混凝土、石料等则制成立方体的试块。,粗短圆柱体：h0=13d0,低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两端摩擦力影响，形成“鼓形”。,一、低碳钢压缩时的力学性能,低碳钢压缩的应力应变曲线,屈服阶段以前，低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能相同。,屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，横截面上应力很难达到材料的强度极限，抗压能力
23、也继续增高，试件不会发生颈缩和断裂。,铸铁压缩的应力应变曲线,压缩后破坏的形式:,破坏面与轴线大约成 35 39,与拉伸比较,铸铁抗压的强度比抗拉高45倍,其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度。,二、铸铁压缩时的力学性能,部分常用材料的主要力学指标,工程应用实例,为什么如此设计混凝土和钢筋？,塑性材料的主要特点：,塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是s，且拉压时具有同值。,脆性材料的主要特点：,塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有b。,塑性材料和脆性材料的主要区别,蠕变及松弛(Creeping & relaxation).,固体材料在保持应力不变的情况下，
24、应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变(creeping),粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为松弛 (relaxation),高温对材料的力学性能有影响长期在高温下工作的构件，会产生蠕变和松弛;,思考题 三根杆的横截面面积及长度均相等，其材料的应力应变曲线如图。其中强度最高，刚度最大，塑性最好的杆依次是( )。,(A) a, b, c,(B) b, c, a,(C) b, a, c,(D) c, b, a,A,拉压杆的强度计算,2. 许用应力,1. 极限应力,安全系数和许用应力,n 安全系数（factor of safety）值大小由相关设计规范规定,塑性
25、材料,脆性材料,塑性材料屈服时的应力是屈服极限s 脆性材料断裂时的应力是强度极限b 这两者都是构件失效时的极限应力(或称危险应力),以大于1的因数除极限应力，将所得结果称为许用应力， 用 表示。,3. 强度条件,要使杆件有足够强度并保证一定的安全系数，要求最大工作应力不超过材料的许用应力，强度条件为,根据强度条件，可以解决三类强度计算问题,强度校核：,设计截面尺寸：,确定许可载荷：,若 ，满足强度要求,若 ，则强度不够。,1,2,3,例已知圆杆受拉力F =25 kN，直径d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。,(1) 计算轴力：FN = F =25kN,(2)
26、应力：,(3) 强度校核：,(4) 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。,解：,例图示结构由两根同材料圆截面杆组成，许用应力 170MPa，AC、BC两杆直径分别为d130mm，d220mm，荷载F 铅垂向下。试求最大许可荷载。,解：(1)由平衡条件对节点C分析,解得,(2)根据各杆的强度条件,应取二者中较小值 F103.1kN,FACA1=120.2kN,NBCA2=53.4kN,F164.2kN,F103.1kN,求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。,方法一,FACcos30 +FBCcos45F=0,FACsin30 +FBCsin45=0,解：(1)
27、由平衡条件对节点A分析,方法二,(2)由强度条件,FACmax=120.2kN,FBCmax=53.4 kN,将FACmax和FBCmax同时代入平衡方程的(2)式，,解出许可载荷 F 141.8kN,与前一种方法解出的 F103.1 kN不同。为什么？,方法二不正确！ 两杆中的内力，并不能同时达到最大允许轴力。,FBCsin45FACsin30=0 FACcos30FBCcos45F=0,FACA1=120.2kN,FBCA2=53.4kN,例 刚性杆AB与圆杆CD在C处铰接，B处受力F=25kN，已知CD杆直径d=20mm，许用应力 =160MPa。 试：(1)校核CD杆的强度，(2)求结
28、构的许可荷载F； (3)若F=50kN，设计CD杆 的直径。,解：(1) 求CD杆受力,(2) 结构的许可荷载F,由,得,F33.5kN,(3) 若F=50kN，设计CD杆直径,由,得,d24.4mm,例 图示杆沿mn由两部分胶合而成，横截面积A= 4cm，受拉力P，胶合面的许用拉应力为=100MPa；许用剪应力为=50MPa，设杆的强度由胶合面控制。为使杆承受最大拉力，角值应为多大？(要求在060度之间选择)。,解：,B,(1)、(2)式的曲线如图，B点左侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度,B1,联立(1)、(2)得：,a=60时，由(2)式得,拉压杆的变形计算,材料的应力
29、应变关系胡克定律,实验表明：工程上大多数材料都有一个线弹性阶段，在此线弹性范围内，正应力与线应变成正比。即为胡克定律（Hooke law）,E材料的杨氏弹性模量,G材料的切变模量,直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗,杆件在轴线方向的伸长,纵向应变,由胡克定律,拉压杆的变形计算,可变换得到轴向拉压变形公式：,EA称为抗拉（压）刚度。,在材料的线弹性范围内，dL与外力F 和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。此公式为胡克定律另一种形式。,公式的适用条件,(1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,(2）计算杆件伸长时，长度内FN、A、l 均应为常数，若为变截面
30、杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,当杆件受力作用后，纵向发生变形，横向也会发生变形,横向应变,通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系,泊松比,泊松比 m 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。,对于各向同性材料，三者之间存在着下面的关系：,例变截面圆杆ABCD如图。已知F1=35kN，F2=35kN，F3=20kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：,(1) II、截面的轴力并作轴力图； (2) 杆的最大正应力max； (3) B截面的位移及AD杆的变形
31、。,FR = 50kN,计算各截面的轴力并作轴力图,解：,分析II截面,计算支座反力,F1=35kN，F2=35kN，F3=20kN,分析IIII截面,分析IIIIII截面,F1=35kN，F2=35kN，F3=20kN,FN2 =15kN,FN1 =20kN,FN3 =50kN,(2) 根据轴力求杆的最大正应力max,AB段：,DC段：,BC段：,max = 176.8MPa 发生在AB段。,FN2 =15kN,FN1 =20kN,FN3 =50kN,(3) B截面的位移及AD杆的变形,拉（压）杆受两个以上外力时，分别计算各段的变形，各段变形的代数和为杆的总伸长量。,FN2 =15kN,FN
32、1 =20kN,FN3 =50kN,例 图示桁架，F = 80 kN，杆AC横截面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC横截面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。求铰接点C的位移。,节点位移问题,通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。,因此，C节点变形后将位于C3点,由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧，得到交点C0,分析,变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起。,(1)分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）,拉,压,伸长,缩短,解：,(2)分别求AC
33、和BC杆的变形量,(3)分别作AC1和BC2的垂线交于C0,C点总位移：,此问题若用圆弧精确求解,B1,例 图示结构,刚性横梁AB由杆CD吊在水平位置，杆CD抗拉刚度为EA，B点处受F作用，求B点的位移dB。,(A) m=3 (B) m=3 (C) m=1/3 (D) m=1/3,(A),思考题在试件表面，沿纵向和横向粘贴两个应变片，在力F的作用下，测得e1=1210-6 ，e2=4010-6，则该试件材料的泊松比是 。,ae。因各条纵向纤维的应变相等，因为上边纤维长，所以伸长量也大。,思考题 图示一端固定的橡胶板条，加力前在板表面划条斜直线AB，加轴向拉力后AB线所在位置是?,思考题图示杆件
34、，受方向相反的均布载荷q作用，若变形前划两条平行线段AB、CD，则变形后( )。,A,(A) AB/CD， a角减小；,(B) AB/CD， a角不变；,(C) AB/CD， a角增大；,(D) AB不平行CD。,拉压杆的应变能,弹性体在外力作用下将发生变形，在变形过程中，一方面载荷将在相应的位移上做功，称为外力功，用W表示；另一方面，弹性体由于变形，在其内部存储了能量，这种因变形而存储的能量称为应变能（或变形能），用Ve 表示。,根据能量守恒原理，如果载荷是静载，则应变能在数值上应等于外力功:,利用这个能量原理和在此基础上导出的其他功、能关系，可以求解弹性体的变形位移和内力等，这种方法称为能
35、量法。,常力功,弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力作功，是常力功:,变力功,作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。,对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。,外力作功:,应变能:,拉压杆的应变能计算,外力F 作用是缓慢加载，F - DL关系符合胡克定律，呈线性关系当加载至F，变形为DL时，外力作功为图示的阴影部分面积。,将上式除以杆的体积Al,单位体积内应变能,应变能:,ve 变形能密度,若杆件中轴力
36、FN =F,当杆件的轴力沿杆件的轴线发生变化时, dx微段的应变能:,取节点A研究，用截面法得,例图示结构，斜杆AB长2m,横截面积为200mm2。水平杆AC的横截面积为250mm2。材料的弹模E=200GPa。载荷F=10kN。求节点A的垂直位移。,解：(1) 计算各杆件的轴力。,(2) 用能量法计算A的垂直位移,FN1=20kN FN2=17.32kN,拉压杆的超静定问题,静定与超静定问题,基本概念,静定问题：独立方程数目未知数数目，可求解 超静定(静不定)问题：独立方程数目未知数数目,未知量数,平衡方程数, 具体的约束情况, 力系的类型,超静定问题在静力学中无法求解出所有的未知量。,例图
37、示结构，已知F及a。求三根杆的轴力。,此结构是静定还是超静定的？,超静定次数是多少?,对A点研究，可知三杆的轴力与外力F构成平面汇交力系。,平面汇交力系独立方程数:,2,未知数个数是：,3,因此这个结构是 次超静定。,1,分析,(1) 先分析A点受力，写出平衡方程。,2个方程不能求3个未知量，需增加一个补充方程。,通过三杆的变形及A点的位移找出变形协调方程 补充方程,解：,(2) 变形几何关系,设AC杆长为l ，得变形协调方程,结合前面的静力学方程,(3) 物理关系（胡克定律）,得到结果：,如果结构是n次超静定，则总可以找到n个补充条件，相应建立n个补充方程（变形协调方程）。,拉压超静定问题的
38、基本步骤,1. 静力平衡方程判断超静定次数；,2. 变形几何方程画变形图，列变形几何关系；,3. 物理方程依据胡克定律代入力与变形关系；,4. 联立方程求解；,例图示杆系结构，设AB为刚性杆，杆的刚度为EA，载荷为F。求杆的轴力。,(1) 对AB杆进行受力分析，确定静力学平衡方程：,(2) 变形几何方程,(3) 物理方程,得两个独立方程，解得：,装配应力,加工构件时，尺寸上的一些微小误差是难以避免的。对于静定结构，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化，不会引起内力。但对于超静定结构，加工误差却往往要引起内力，这种附加的内力就称为装配内力，与之相对应的应力称为装配应力 。,例吊桥链条的一节
39、由三根长l的钢杆组成，简化为如图所示的超静定结构，若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆略短于名义长度，且加工误差为d = l / 2000, 求各杆的装配应力。,当把较短的中间杆与两侧杆一同固定于两端的刚体时，中间杆将受到拉伸，两端杆将受到压缩，最后在红色虚线所示位置，两杆的变形相互协调。,设两侧杆的轴向压力FN1, 中间杆的轴向拉力为FN2,静力平衡方程有,由图中可知,解静力平衡方程可得:,温度应力：温度的变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但是超静定结构的变形受到部分或全部约束，当温度变化时 ，往往会引起内力。与之相对应的应力称为热
40、应力或温度应力。,静定情况,温度应力,超静定情况,F力随着温度的升高逐渐变大,温度应力：温度的变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度均匀变化时，并不会引起构件的内力。但是超静定结构的变形受到部分或全部约束，当温度变化时 ，往往会引起内力。与之相对应的应力称为热应力或温度应力。,下图所示的蒸汽锅炉和原动机间的管道，与锅炉和原动机相比，管道刚度很小，故可把A、B两端简化为固定端。,温度的变化造成两个固定端水平反力由对称性很容易得出以下关系:,拆除右端约束，假设允许杆件自由变形：,al是材料的线膨胀系数。,然后在右端作用FRB,杆件由于该力缩短。,实际上由于两端固定，杆件长度不能变
41、化，必须有,碳钢的al=12.510-6-1，E=200GPa,由上面的公式计算得到,可见，温度变化较大时，温度应力的数值便非常可观。为避免过高的温度应力，在管道中有时增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝，这样就可以削弱对膨胀的约束，降低温度应力。,剪切与挤压实用计算,1、连接件,工程中有时需将几个构件连成一体，在连接部分，一般要有起连接作用的部件，称为连接件。如螺栓、铆钉、键等。,连接件虽小，起着传递载荷的关键作用。,铆钉,无间隙,(1)铆钉连接,可传递力，不可拆卸。,与铆钉类似，但可以拆卸,(rivet),(2)螺栓连接,键可传递扭矩。,(3)键连接,(4)销轴联接,连接处一般有间隙，可活
42、动。,2. 连接件的受力、变形特点,受力特点:,受到大小相等，方向相反，作用线很近且平行的力。,变形特点:,连接面沿着剪切面发生相对错动。,3. 连接件的失效形式,(1)沿着剪切面发生的剪切破坏,(2)构件局部面积的承压，导致构件与连接件的局部接触面产生较大的挤压应力，引起过量塑性变形，导致失效。,有效挤压面积：接触面在垂直挤压力方向的投影面积。,4. 连接件的剪切强度计算,由于连接件剪切面上的切应力和接触面上的挤压应力分布比较复杂，因此工程上一般采用简化计算。,假定切应力在剪切面上均匀分布,剪切强度条件:,5. 连接件的挤压强度计算,假定: 挤压应力在有效挤压面上均匀分布。,有效挤压面指接触
43、面在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。,挤压力：在接触面上的压力的合力,实际挤压面 (接触面),有效挤压面,挤压强度条件:,AC是有效挤压面积； FC是接触面上的总挤压力； sc 是许用挤压应力。,(1) 校核强度,(2) 设计尺寸,(3) 设计外载,可解决的三类问题,例齿轮与轴由平键 bhl=20 12 100mm连接，它传递的扭矩M=2KNm，轴的直径d =70mm，键的许用切应力为t= 60MPa，许用挤压应力为sc=100MPa，试校核键的强度。,键的受力分析如图,剪切应力和挤压正应力的强度条件,综合以上，键满足强度要求。,例 一销钉连接如图所示，已知外力 F=18kN,被连接的构件A
44、 和 B 的厚度分别为 t=8mm 和t1=5mm ,销钉直径 d=15mm ,销钉材料的许用切应力为 = 60MPa ,许用挤压应力为 bS= 200MPa .试校核销钉的强度。,该同一销钉，不同受力方式，剪切面、挤压面不同！,解: (1)销钉受力如图b所示,(2)校核剪切强度,由截面法得两个面上的剪力,剪切面积为,(3)挤压强度校核,这两部分的挤压力相等，故应取长度 为t的中间段进行挤压强度校核.,故销钉是安全的。,(1)销钉的剪切面面积 AQ,(2)销钉的挤压面面积 AC,思考题,例 冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力=440MPa，钢板的剪切强度极限u=360MPa，试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度 .,F,解 (1)冲头为轴向压缩变形,d=34mm,F,(2)由钢板的剪切破坏条件,d=10.4mm,例 图示木榫接头，a = b =12cm，h=35cm，c=4.5cm, P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。,P,P,P,P,(1) 受力分析如图,(2) 剪应力和挤压应力,剪切面和剪力为,P,P,解：,本章小结,你收获多少？,
