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大学物理第20章量子力学.ppt

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资源描述

1、2019/6/5,作者 余 虹,1,大学物理助学,大连理工大学物理系,PHYH,余 虹,2019/6/5,作者 余 虹,2,第20章 薛定谔方程,2019/6/5,作者 余 虹,3,经典理论:沿x方向传播的单色平面波,波强度 I A2,量子理论:沿x方向运动的自由粒子的德布罗意波是单色平面波( =E/h = h/P ),一维波函数,一、波函数,20 .1 定态薛定谔方程,一维定态波函数,1、什么是波函数,2019/6/5,作者 余 虹,4,量子概念下的粒子与确切的轨道无关, 但有质量、电量; 波与物理量的空间周期性无关,但具有可叠加性。(r) 不代表实在物理量的波动,而是刻划粒子在空间概率分布

2、的概率波。,开始毫无规则,时间 延长显示衍射图样,波动性许多次相同实验的统计结果,亮波强电子到达多。,暗波弱电子到达少。,(r)不可直接测量!,2019/6/5,作者 余 虹,5,可测量在空间 处 可观测到粒子的概率密度。, 在 附近,dv =dxdydz 区域 内发现粒子的概率。,量子力学指出,我们只能判断在一定空间范围发现粒子的概率,不能确定一个粒子一定在什么地方;只能作某种可能性的判断,不能做绝对确定性的断言。,例如: 中子的平均半衰期 616秒 ,即N个中子在 616 秒内有50% 衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前,我们不能断定哪几个中子会衰变,只能说,每个中子在616 秒内都有

3、50% 的衰变机会。,意义?,2019/6/5,作者 余 虹,6,2、波函数的条件,1、 (r) 必须是时空的单值函数 。 确定的时间,地点,粒子出现的概率是确定的。,2、 (r)必须是有限的。因为概率W(x,y,z)1。,3、两个区域的边界处波函数 1= 2 、 1 = 2 连续。粒子出现在边界处确定点的概率是定值。,4、粒子在全空间出现的概率=1,标准条件,归一化条件,2019/6/5,作者 余 虹,7,如果 1、 2 、3 n 是粒子 或系统的波函数,,3、态叠加原理,电子双缝实验,开S1,电子出现在P点的波函数1,则 =C11+C22+C33+ Cn n 也是粒子或系统的波函数。,s1

4、,s2,S1s2 同时开,电子出现在P点的波函数 = C11+C22,开S1,电子出现在P点的波函数2,2019/6/5,作者 余 虹,8,二、薛定谔方程,1、一维自由粒子的波函数,一维自由粒子的薛定谔方程,2019/6/5,作者 余 虹,9,2、一维势场U(x,t)中运动粒子,令,薛定谔方程,三维:,2019/6/5,作者 余 虹,10,三、定态薛定谔方程,若U 与 t 无关,整个方程与 t 无关定态薛定谔方程,一维:,三维:,2019/6/5,作者 余 虹,11,四、算符与本征值,一维定态薛定谔方程,非相对论近似下,粒子的能量,动量算符,新的波函 数,则(x)是 的本征函数 E是 的本征值

5、。,如果,哈密顿算符能量算符,2019/6/5,作者 余 虹,12,五、本征值与本征态,对粒子进行某力学量(如:能量)测量,不一定总测得相同的值,每次测得一系列可能值中的一个(以一定的概率出现)。,若有N个本征态对应一个本征值,则称该本征值N度简并。,这一系列可能值即力学量的本征值。,对应一确定本征值 的粒子状态,称为本征态。,2019/6/5,作者 余 虹,13,量子力学处理问题的方法,1、分析、找到粒子在势场中的势能函数U,写出薛定谔方程。,2、求解 ,并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。,3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。,201

6、9/6/5,作者 余 虹,14,U=0(0xa),U = U0(其他),势能,量子力学预言:势阱里的粒子的能量只可能是一系列分立的本征值,对应的波函数只能是能量本征态波函数。,(1)U 与t 无关,写出定态定谔方程,(2)解方程, 1= 0,3 = 0,To15,1 2 3,一、一维无限深势阱,20.3 一维定态问题,令:,2019/6/5,作者 余 虹,15,(3)确定常数A、,势阱无限深阱外无粒子, = 0 ( x 0 x a ),由波函数连续性,边界条件 (0)= 0 (a)= 0,Acos =0 = 2,A sinka = 0,n = 1.2.3,ka = n ,To14,2019/6

7、/5,作者 余 虹,16,( 0x a ),基态能量,驻波,讨论,考 虑 时间因子,2019/6/5,作者 余 虹,17,n = 1,n = 2,n = 3,一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度,2019/6/5,作者 余 虹,18,经典理论,1.E U0的粒子, 越过势垒。,2.E U0的粒子, 不能越过势垒。,量子理论,1.E U0 的粒子,也存在被弹回的概率 反射波。,2.E U0 的粒子,也可能越过势垒到达3区 隧道效应。,穿透概率,二、势垒穿透,2019/6/5,作者 余 虹,19,电子云,Ub 微小电压,1.测样品表面:控制,使I 保持恒定;,2.分辨样品表面离散的原子,分

8、辨率,横向0.1nm ,纵向0.01nm,电子显微镜(0.30.5nm),3.重新排列原子(1990年用35个Xe原子在Ni表面拼缀出 IBM 纳术米技正式诞生)。,1981年IBM公司,电子云重 叠,2019/6/5,作者 余 虹,20,实验事实2,(鲁瑟夫) 粒子轰击金箔,大角散射率1/8000。,r010-1510-14 m,经典理论下核式模型遇到的问题:,原子不稳定; 发射连续光谱。,实验事实3,原子是稳定的。,20.4 原子中的电子,一、实验事实与原子模型,实验事实1,原子内部空虚。,2019/6/5,作者 余 虹,21,实验事实4,原子光谱是分立的。,m n 都是正整数,,氢原子光

9、 谱,R =1.096776107 m 1,里德堡常数,根据不同的 m 值把氢原子的光谱分成不同的线系。,n =1L. S.,n =3P. S.,n =2B. S.,紫外线,紫外线、可见光,红外线,2019/6/5,作者 余 虹,22,二、氢原子,势能,定态薛定谔方程,用球坐标,r,通过分离变量将方程分解为分别与变量r、有关的3个方程。,方程有解的条件直接引出了微观领域里的量子化条件。,To 41,2019/6/5,作者 余 虹,23,量子理论:具有确定能量的原子不辐射电磁波;仅当电子在不同的“轨道”跃迁或者说在不同的能级间跃迁时才辐射。频 率满足,n 主量子数,n =1 基态,6 5 4 3

10、 2,第一激发态,1、能量量子化,-13.6 eV,13.6,电离一个基态氢原子需要 13.6 eV 能量; 电离一个第一激发态氢原子需要 3.4 eV 能量。,氢原子,2019/6/5,作者 余 虹,24,例题:氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线 1,其次为 2,求比值 1/ 2 .,解:,2019/6/5,作者 余 虹,25,例题:处于第三激发态的氢原子,可能发出的光谱线有多少条?其中可见光谱线几条?,解:第三激发态 n = 4,六条谱线,喇曼系3条 紫外线,巴耳末系2条 可见光,帕邢系1条 红外线,n=4,n=3,n=2,n=1,2019/6/5,作者 余 虹,26,2、角动量量子化,

11、具有确定能量的电子角动量可有若干,角动量 大小,s p d,角量子数 l = 0、1、2n-1,l 决定角动量大小。,En,n个,例:第二激发态的电子 n=3 对应角量子数 l =,0 1 2, 3s L = 0,3p L,3dL,2019/6/5,作者 余 虹,27,3、角动量取向量子化,具有确定角动量的电子,角动量方向可有若干,L 在任意一轴上(如:沿磁场方向)投影LZ,磁量子数 m = 0、1、2 l 决定角动量方向。对应 l 可有 2 l + 1 个不同取向。,m=0,例:,m=1,m=-1,m=2,m =-2,2019/6/5,作者 余 虹,28,电子的状态可用 n、l、m 三个量子

12、数表示,相应的波函数 nlm 。 对确定能级En电子有 n2 种可能状态, 2 0 0,基态 n =1 n2=1 1 0 0,第一激发态 n =2 n2 =4 2 l m?,l = 0, m = 0, m = 0、 1, 2 1 0, 2 1-1, 2 1 1,能级简并,l = 1,2019/6/5,作者 余 虹,29,p21,p10,p20,a氢原子玻尔半径,1、半径为a的球面附近发现1s 电子的可能性最大。,2、2s电子在半径为5 a的球面附近出现的概率最大;不可能在2 a处出现。,3、寻找2p电子最好在半径为4 a的球面处。,电子径向概率分布图,图中信息,2019/6/5,作者 余 虹,

13、30,已知氢原子基态波函数,例题,求:电子处于半径为 a0 的球面内的概率P0,解:概率密度p100=| 100 |2,电子处于半径为r 、厚度为dr 的壳层内的概率为 dP= p100 4r2dr,在半径为 a0 的球面内的概率,2019/6/5,作者 余 虹,31,一、斯特恩盖拉赫实验(1921),电子在核周围运动 电流圈有磁矩,用 s 态(l = 0)银原子无论有无磁场都只有一条!,实验结果:有磁场时,底板上是呈对称分布的两条纹。,?,z有2l+1种不同值。,4、第4个量子数自旋,2019/6/5,作者 余 虹,32,电子的状态要用 n、l、m ,ms四个量子数表示,相应的波函数 n l

14、 m m s 对确定能级En电子有2 n2 种可能状态能量2 n2 度简并。,基态 n =1 2n 2 = 2, 100, 100,能量2 度简并,第一激发态 n =2 2n2 = 8 2l m?,2019/6/5,作者 余 虹,33,二、电子自旋理论(1924年),电子除了绕核运动外,还绕自身轴旋转自转磁矩s,角动量Ls、Lsz 根据量子理论,ms = -s, s,s =?,对称,说明银原子可分为两类,受力大小相等方向相反。,s,且 -s+1=s,z也有两个大小相等方向相反。,2019/6/5,作者 余 虹,34,原子核外电子的排布,原子是由多个电子与原子核组成系统,系统的状态用电子状态分布

15、来描写 。用n、l 标记一个电子再指明该态中的电子数原子组态,若有x个电子处于n l 态,记n l x,例:氦的基态,2个电子都处于 n = 1 l = 0 态 记:1s2,第一激发态,记:1s 1 2s 1,2019/6/5,作者 余 虹,35,分配原则,1、泡利不相容原理:一个多电子原子系统中,不可能有两个电子具有相同的状态4对量子数 n、l、m、m s 至少有一对不同。,2、能量最小原理:基态原子中电子先填满能量小的壳层。,例题:氯原子有17个电子,写出基态原子组态。,1s22s22p63s23p5,2019/6/5,作者 余 虹,36,作者 余 虹,2019/6/5,作者 余 虹,37,氢原子的定态薛定谔方程,分离变量,令,代入方程,由,得,只能,分得三个独立变量的方程,再根据波函数的条件,自然得到三个量子数。,Back 25,

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