1、第一章 插值方法,1,2,一问题的提出,如果两个变量x, y之间具有某种内在关系，一般表示为：,x,y,f,y = f (x),3,一问题的提出,1f 的数学表达式已知，但不是有理函数，不能表示为有限次四则运算，不能在计算机上表现其计算过程；,实际应用中，经常遇到以下两种情况：,y = ln x,4,一问题的提出,2f 的数学表达式未知，只有函数在给定点的函数值（或其导数值），无法建立关系。,实际应用中，经常遇到以下两种情况：,例如：在灾区测量某段江面水位高度，一小时测一次。试估算: 1:30 和 4:45 时刻的水位高度？,1f 的数学表达式已知，但不是有理函数，不能表示为有限次四则运算，不
2、能在计算机上表现其计算过程；,思路：将f “简单化”，即构造一个简单且便于计算的连续函数g 近似代替f 。,办法： 第一步：数据采样,一问题的提出,第二步：构造替代函数g,5,限定g(xi) = f (xi), i=0,1,n，即“过点”插值方法,g(x)从整体上逼近f (x)，不要求“过点”逼近方法,f(x) g(x),限定g(xi) = f (xi), i=0,1,n，即“过点”插值方法,一问题的提出,f(x*) g(x*),y=f(x),y=g(x),R(x*)=f(x*)-g(x*),6,g(xi)=f(xi),i=0,1,n,泰勒插值 拉格朗日插值公式 插值余项 埃特金算法 牛顿插值
3、公式 埃尔米特插值 样条函数 曲线拟合,7,二本章主要内容,泰勒插值 拉格朗日插值公式 插值余项 埃特金算法 牛顿插值公式 埃尔米特插值 样条函数 曲线拟合,三泰勒插值,f(x)在x0处可泰勒展开为：,tn(x)在点x0邻近很好的逼近f(x),8,tn(x),Rn(x),f(x) tn(x),n阶泰勒多项式,三泰勒插值,，在x0=100处的二阶泰勒多项式为：,9,f(x) =,三泰勒插值,10,f(x) =sin x，在x0=0处的三阶泰勒多项式为：,三泰勒插值,定理1（泰勒余项定理） 设f(x) 在a,b内有直到n+1阶导数，则当xa,b时，存在min(x0, x), max(x0, x)
4、，使得下式成立,11,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,12,13,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,R1(x)=-0.026194 p1(x)有 位有效数字,3,14,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,3位有效数字,4位有效数字,15,三泰勒插值,例1 求作 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,解：,16,三泰勒插值,泰勒插值的应用：,cos x,
5、 ex，,17,三泰勒插值,适用泰勒插值方法的问题的特点：,1f 的表达式已知，且足够光滑，在x0这点处有直到n+1阶导数存在；,2在展开点x0处的各阶导数便于计算；,3|f(n+1)(x)|存在上限。,18,四拉格朗日插值,问题1 求作n次多项式pn(x)，满足这就是所谓拉格朗日(Lagrange)插值。,问题1 求作n次多项式pn(x)，满足这就是所谓拉格朗日(Lagrange)插值。,19,系数行列式为,四拉格朗日插值,设 pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，其中，a0、a1an为 待定系数。代入插值条件（3），有线性方程组,20,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n
6、次多项式。,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n 次多项式。,证明：（可利用Vandermonde 行列式的性质及克莱姆（Cramer）法则论证),反证：若不唯一，则除了pn(x) 外还有另一 n 次多项式 Ln(x) 满足 Ln(xi) = yi 。,考察 则 Qn 的阶数, n,而 Qn 有 个不同的根,注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,例如 也是一个插值多项式，其中q(x)可以是任意多项式。,四拉格朗日插值,那么，能否避开求解线性方程组来获得插值函数pn(x)呢？,是的。但是，这种方法的计算量较大，不便于实际应用。,哦耶，通过求解线性方程(4)即可确定插值函
7、数pn(x),可以的，这就是我们下面要 讲到的拉格朗日插值公式。,21,四拉格朗日插值,定理2 存在唯一一个满足插值条件（3）的 n 次多项式。,称为拉格朗日基函数 满足条件 li(xj)=ij,22,1线性插值 问题2 求作一次式p1(x)，使满足条件p1(x0)=y0， p1(x1)=y1,四拉格朗日插值,n = 1,可见 p1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,(5),(6),23,例2 解：x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，令x=115，代入上式，得y=10.71428。 有 位有效数字。,四拉格朗日插值,1线性插值,3,24
8、,借鉴基函数的思想，构造三个二次式l0(x)、l1(x)、 l2(x)，满足条件：,组合出一个新的二次式：,问题3 求作二次式p2(x)，使满足条件p2(x0)=y0，p2(x1)=y1 ，p2(x2)=y2。,四拉格朗日插值,2抛物插值,n = 2,可见 p2(x) 是过 ( x0 , y0 ) 、 ( x1, y1 ) 和( x2, y2 )三点的抛物线，这类插值亦称抛物插值。,25,四拉格朗日插值,2抛物插值,l0(x1)=0,l0(x2)=0,l0(x)=c(x-x1)(x-x2),l0(x0)=1,插值基函数,有 位有效数字,26,例3 解：,四拉格朗日插值,2抛物插值,4,x0=1
9、00，y0=10 x1=121，y1=11 x2=144，y2=12x=115,y=10.7228,10.723805,27,定义1 若n次多项式li(x)(i=0,1,n)在n+1个节点x0x1xn上满足条件就称这n+1个n次多项式l0(x)，l1(x)，ln(x)为节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,四拉格朗日插值,3一般情形,定义1 若n次多项式li(x)(i=0,1,n)在n+1个节点x0x1xn上满足条件就称这n+1个n次多项式l0(x)，l1(x)，ln(x)为节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,28,四拉格朗日插值,3一般情形,每个 li 有 n 个根 x0, ,xi
10、-1, xi+1, , xn,与 有关，而与 无关,节点,f,拉格朗日插值多项式,29,四拉格朗日插值,4算法框图,30,定理3 设x0,x1,xn a,b，f(x)在a,b内有连续的直到n+1阶导数，且f(xi)=yi(i=0,1,n)，则当xa,b时，对于式(9)给出的pn(x)，存在 a,b ，使得：,五插值余项,1拉格朗日余项定理,定理3 设x0,x1,xn a,b，f(x)在a,b内有连续的直到n+1阶导数，且f(xi)=yi(i=0,1,n)，则当xa,b时，对于式(9)给出的pn(x)，存在 a,b ，使得：,31,证明：,五插值余项,Rolles Theorem: 若 充分光滑
11、， ，则 存在 使得 。,推广：若,使得,Rn(x) 至少有 个根,n+1,(t)有 n+2 个不同的根 x0 xn x,注意这里是对 t 求导,1拉格朗日余项定理,32,只能在理论上说明存在；,五插值余项,2补充说明,若存在 ，可得误差估计：,为插值区间。如果插值点x位于插值区间内，这种插值过程称为内插(interpolation)，否则称为外推（extrapolation )，插值的外推过程是不可靠的；,f(x)要足够光滑，否则插值效果不好。当f(x)为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即n次插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,33,例4 已给sin0.32=0.31456
12、7,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274，用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。,五插值余项,3应用实例,解：x0=0.32，y0=0.314567，x1=0.34，y1=0.333487，x2=0.36，y2=0.352274，x=0.3367。,取x0和x1：,取x1和x2：,截断误差限：,截断误差限：,线性插值：,外推,内插,34,例4 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274，用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。,五插值余项,3应用实例,解：x
13、0=0.32，y0=0.314567，x1=0.34，y1=0.333487，x2=0.36，y2=0.352274，x=0.3367。,抛物插值：,截断误差限：,位有效数字,6,35,是的，但是要注意一点， 并不是插值多项式次数越高越好。,通过上面的例子，可以找出两个规律： 1.内插通常优于外推； 2.高次插值通常优于低次插值。,五插值余项,36,问题：若f的表达式未知，如何应用余项定理估计误差？,六误差的事后估计,37,考察三个节点x0，x1，x2，对于插值点x：,六误差的事后估计,(1)取x0与x1线性插值求出 y=f(x)的近似值y1：,(2)取x0与x2线性插值求出y=f(x)近似值
14、y2：,(3)假设： 在a,b内改变不大，得：,y1的误差,y1和y2间的偏差,事后估计法,(4)修正y1，得新的近似值：y=10.71428+0.00847=10.7228,38,六误差的事后估计,例5 在例2中增加一个条件 ，用事后估计法考察例2的误差。 解：,(1)取x0=100，x1=121，得近似值y1=10.71428,(2)取x0=100，x2=144，得近似值y2=10.68182,(3)按估计式(11)有：,与例3的结果相同，是巧合么？,39,作业,1证明，对于次数n的多项式f(x)，其n次插值多项式pn(x)就是它自身，即有pn(x)=f(x)。给出概率积分 的数据表用二次插值计算： （1）当x=0.472时积分值等于多少？ （2）当x为何值时积分值等于0.5？,
