1、线性叠加原理线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法，在数学物理中有最强的应用。实际上我们能够解析解决的所有问题都与之有关。先举个简单例题，在系统介绍+求一个整数 N，被 11 出余 5，被 7 除余 2这是孙子兵法问题，有通常的解法。我们用线性叠加原理讲解其道理。N 可以分解为下面三个数的组合：（1） 求整数 N1,被 11 除余 5，被 7 除余 0（2） 求整数 N2,被 11 除余 0，被 7 除余 2（3） 求整数 N1,被 11 除余 0，被 7 除余 0N=N1+N2+m N3注意 N3 随意加几次都不会改变余数，因此可以加 m 次。还可以化简为N 可以分解为下面三个数的组合
2、：（4） 求整数 N1,被 11 除余 1，被 7 除余 0（5） 求整数 N2,被 11 除余 0，被 7 除余 1（6） 求整数 N1,被 11 除余 0，被 7 除余 0N=5N1+2N2+m N3注意每次加入 N1 都不改变 7 除余数，而使 11 除余数增加 1，加5 次就能使 11 除余数变为 5，以此类推。这样问题变得简单多了。+再举个例子计算满足 nnnaa53211数列通解可以简化为下面两个特解的组合即 nnDdCcba11235nndc值得注意的是 C 和 D 可以是任意常数猜特解的办法是，先尝试多项式，再尝试指数，再尝试组合，一般根据源项形式猜如 第一方程猜解为 , 带入
3、 ，比15nbnnn5)253(12较可以得到 ，2/)125/(/1n第二个猜解 带入 ，可得 ，nc0311nn12这样也把第三个特解也求出来了 ，ncnd2因此原方程通解为 n DCDCba8/51+再举个微分方程组的例子 )exp(82tzy可以简化为下面几个个特解的组合 02zyt)exp(t02zy第一方程猜解为 , 带入 ，比较可以得到3tzy2)9(t， ， +19/19/3tzy9/第二方程猜解为 , 带入 ，比较)exp(2tzy )exp()(3tt可以得到 ，3/13/)(t第三方程解为 10,zyz因此原方程解为 3/)exp(2819/)1(0133 ttftfDCzy+一般线性问题为 ibuL其中 是线性操作算符， 是简单的项。ib问题化为一些特解之和 0,.1uLib如猜到 3 个特解，分别是1 132,u猜到 2 个特解，分别是b1猜到 1 个特解，分别是3uL3猜到 2 个特解，分别是0 021,u原问题通解可以构造为 02132121 13.)()(GuFCuBuA注意 也是齐次方程的解。2113,u
