1、1图 1惠州市 2018 届高三模拟考试数学（文科）全卷满分 150 分，时间 120 分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ，则集合 （ ）2|0,|lg21AxBxyA
2、B(A) (B) (C) (D) 10,2,1,1,22已知复数 ，则 （ ）2()1izz(A) (B) (C) (D) 353甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（ ）(A) (B) (C) (D) 131223344如图 1， 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（ 1 丈=10 尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. (A) (B) (C) (D) 5.4454.25.825执行图 2 所
3、示的程序框图,若输入的 ，2018x则输出的 （ ）i(A) (B) (C) (D) 3456将函数 的图象上各点的横坐标变为原sin6yx来的 （纵坐标不变） ，再往上平移 1 个单位，所得图12象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） (A) (B) ,3,2(C) (D) ,6,637设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）12,0xf01fx0(A) (B) (C) (D) (,)(,)(,2)(,)(,1)(,)8已知 为双曲线 的一个焦点，其关于双曲线 的一条F2:10,xyCabC渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 的离心率为（ ）C(A) (B) (C) (D) 2325
4、9某四面体的三视图如图 3 所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的体积是（ ）(A) (B) (C) (D) 43834810已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）nanS21na6S(A) (B) (C) (D) 63216341278图 3图 2是否311在 中， ，点 为 边上一点，且 ，ABC2,120ABCDBC2BDC则 （ ）D(A) (B) (C) (D) 373312已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且点 的坐标为 ，则F42x=yPA01(,)的最小值是（ ）PA(A) (B) (C) (D) 1412
5、232二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13曲线 在 处的切线方程为_:sin2xCfxe014若变量 ， 满足约束条件 ，则点 到点 的最小距离为 .y40,yx34(,)xy(,)15已知数列 对任意的 有 ，若 ,则 .na,mnNmna12a01816已知函数 对任意的 ，都有 ，函数 是奇函数，fxR12fxfxfx当 时， ，则方程 在区间 内的所有零点之和12fxf3,5为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （本小题满
6、分 12 分）已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且 .abcABC3cos1inaAC（1）求角 的大小；（2）若 ,且 的面积为 ,求 的值.5a418 （本小题满分 12 分）如图，直角 中， ， ， 分别是 边的中点，ABC9024BCADE， ,ABC沿 将 折起至 ，且 .DEFDE6（1）求四棱锥 的体积；（2）求证：平面 平面 19 （本小题满分 12 分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4 月 1 日 4
7、月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日温差 x/ 10 11 13 12 8发芽数 y/颗 23 25 30 26 16（1）从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 ,求事件“ 均不小于 25”的概率；mn,（2） 若由线性回归方程得到的估计数据与 4 月份所选 5 天的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据 4 月 7 日，4 月 15 日与 4 月 21 日这三天的数据，求出 关于 的线性回归方程 ，并判定所得的线性回归方程是否可靠？yxybxa参考公式: ，1122()=nniiiii iibxxybx参考数据:33
8、21197,4i iy520 （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，点 满足 .20ypxF,2Pp3PF（1）求抛物线的方程；（2）过点 的直线 交抛物线于 两点，当 时，求直线 的方程.,lAB、 ABl21 （本小题满分 12 分）已知函数 .24ln1fxmxR（1）讨论函数 的单调性；（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.,xe0fxm（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数，且 ） ，xo
9、yCcosinxay0a以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为Ol3cos2（1）若曲线 与 只有一个公共点，求 的值；Cla（2） ， 为曲线 上的两点，且 ，求 的面积最大值AB3AOBAB23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 1fx（1）求不等式 的解集 ；2M（2）设 ，证明： ,abMfabffb6数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A B B C D C A A D C1.【解析】因为 ，所以 ，选 C1|01,
10、|2xx1|2Bx2.【解析】 , ，选 B2(1)iiz|=iiz3.【解析】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种有 9 种不同的结果，分别为（红，红） ， （红，白） ， （红，蓝） ， （白，红） ， （白，白） ， （白，蓝） ， （蓝，红） ，（蓝，白） ， （蓝，蓝） 他们选择相同颜色运动服有 3 种不同的结果，即（红，红） ， （白，白） ，（蓝，蓝） ，故他们选择相同颜色运动服的概率为 ，选 A194.【解析】如图，已知 AC+AB=10（尺） ，BC=3（尺） ， ， 229BC所以 ，解得 ， ()()9ABCA0.A因此 ，解得 ，1
11、0.5.4BC故折断后的竹干高为 4.55 尺，选 B.5.【解析】第一次执行循环体后： ;第二次执行循环体后：11,20707bia;第三次执行循环体后： 输出 选 B.20172017,388bia 8,b3i6.【解析】将函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 ，可得 的sin6yx 12sin26yx图象，再往上平移 个单位，得函数 的图象，其单调区间与函数1sin26yx相同，令 ,解得：sin26yxZ2kk，当 时，为 ， 选 C,Z3kk0,367另：用五点画出 的函数图象（如下） ，可直接观察出单调区间。sin26yx7.【解析】令 0x不符合题意，排除 A，B； 1x时， (
12、)fx，不符合题意，排除 C，选 D. （另：画出12,0xf的大致图象如下，也可观察出答案为 D.）8.【解析】 如右图所示，由题意可知 ，OPQF = = ，POQF60M12cos60e选 C.9. 【解析】由三视图知该几何体为棱锥 ,其中 平面 ABCD,此三棱锥的SABDSC体积 ,选 A14233V10. 【解析】 由 得 ，11,a1nna2n65632Sa，选 A11. 【解析】因为 ，12333DCABCACAB，选 D.（另：本小题也可以建立坐标系去计算）21423B 812. 【解析】由题意可得，抛物线 x2=4y 的焦点 F（0，1） ，准线方程为 y=1过点 P 作
13、PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则 = =sinPAM，PAM 为锐角故当PAM 最小时， 最小，故当 PA 和抛物线相切时， 最小设切点 P（2 ，a） ，由 y= x2 的导数为 y= x，则 PA 的斜率为 2 = = ，求得 a=1，可得 P（2，1） ，|PM|=2 ，|PA|=2 ，sinPAM= = 故选： C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 4036 16. 423yx3213.【解析】由 ，得 ， ，切线的斜率sinxfecosxfxe03f为 ，故切线方程为 .02k 23y14.【解
14、析】：由约束条件 作出可行域如图，点（3，4）到点（x，y）的最小距离为 P（3，4）到直线 x+y4=0 的距离为 .15.【解析】令 m=1,则可知 为等差数列，首项和公差均为 2。11,2nnaana ，2()na20843616.【解析】因为函数 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，把函数fx1fx0,的图象向右平移 1 个单位可得函数 的图象，即函数 的图象关于点 )对1fx fx1,0称，则 ，又因为 ，所以 ，从而2ffx2fxfx1ff，再用 替换 可得 ，所以1fxf11ff9，即函数 的周期为 2，且图象关于直线 对称，如图21fxfxffx12x所示， 区间 内有 8
15、 个零点，所有零点之和为 .3,514三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）【解析】 （）由正弦定理得： 2 分3sinco1iAC由于 ， ， sin0Csi scA即 4 分132A ， 83015A 0 6 分6（）由： 可得 8 分ABCSsin2Sbc4bc由余弦定理得： 10 分22o31aA 12 分13a18. （本小题满分 12 分）【解析】 （） 分别是 边的中点，,DE,ABC 平行且等于 的一半， 1 分,1DE依题意， ,2F于是有3 分,DEBCDECFFF平 面平 面10 ，DECF平
16、面 4 分AE平 面 平 面过 点作 于 ，则M， 5 分,FCFCFMACEDE平 面 平 面 且 交 线 为 平 面平 面 ，603梯形 的面积AD11()(2)32SACED四棱锥 的体积 6 分FCE33Vh（） （法一）如图设线段 的中点分别为 ，连,F,NQ接 ，则 ，于是,DNQ/12A/ /12EACDEQNDE是 平 行 四 边 形又是等边三角形，EQFC， 8 分60EFC由（1）知 ， ， ，,DCEFQEF平 面 平 面 DQACE于是10 分,AEQFCAF平 面平 面 ，DNA平 面又 ，平 面平面 平面 12 分FC11（法二）连接 ， ， 是边长为 2 等边三角
17、形BF,60ECFCEF ， ， 8 分,E1329B又 ，,D平 面 ,A平 面 ， 10 分BFC平 面 F又 ， ，又 ，A平 面 BAD平 面平面 平面 12 分DFC19 （本小题满分 12 分）【解析】 () 所有的基本事件为(23，25) ，(23，30)，(23，26)，(23 ，16)，(25，30) ，(25，26)，(25，16)，(30 ，26)，(30，16)，(26 ，16)，共 10 个 2 分设“m，n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(25，30) ，(25，26)，(30 ，26)，共 3个，故由古典概型概率公式得 P(A) . 5
18、分310() 由题意得 1+325+26,7,xy239,43,xy且321197,4i iy所以 ，219755=,27133niixyba所以 关于 的线性回归方程 9 分y2x且 当 时， ；0x,y|当 时， ；149|5|当 时， ；3x,2y|30|2当 时， ；7|6|当 时， .8x1,y|所以所得到的线性回归方程是可靠的. 12 分1220. （本小题满分 12 分）【解析】 （）由条件易知 在抛物线 上， 1 分,2Pp2ypx， 3 分32pxPF故 ，即抛物线的方程为 ； 4 分24yx（）易知直线 斜率必存在，设 ， ， ， 5 分l :1lk1,Axy2,By， 6
19、 分1233FABx联立 得 即 ， 8 分24 yk4x222(4)0kxk由 得 ， 9 分216021且 ， ， 10 分1224kx12x由得 ，即直线 . 12 分233:1lyx21. （本小题满分 12 分）【解析】 （）由题知： , 1 分242(0)mxfx 当 时, 在 时恒成立0mfx(0,) 在 上是增函数. 2 分f()当 时, ,02242 (0)mxfxmxx令 ，得 ；令 ,得 .f0fx 在 上为增函数，在 上为减函数. 5 分fx20,m2,m（）法一：由题知： 在 上恒成立， 24ln10x,xe13即 在 上恒成立。 7 分24ln1xm,e令 ，所以
20、8 分2l,gx3214ln,xgx令 得 ；令 得 . 9 分014e04e 在 上单调递增，在 上单调递减. 10 分gx,1, 11 分11442maxlne . 12 分2e法二：要使 恒成立，只需 , 6 分0fxmax0f（1）当 时， 在 上单调递增，所以 ,m1,e2max410ffe即 ，这与 矛盾，此时不成立. 7 分25e（2）当 时,0 若 即 时， 在 上单调递增，m2efx1,e所以 ，即 ，这与 矛盾，此时不成立.ax40ff25m20e8 分 若 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 .21e2fx1,m所以 即 ,max4ln0ffm142e解得 ，又因为
21、 ，所以 , 10 分2e2e 即 时， 在 递减，则 ,1mfx1,max10ff ，又因为 ，所以 ； 11 分2m14综合得： . 12 分2em（22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程【解析】 （）曲线 C 是以（ a，0）为圆心，以 a 为半径的圆； 1 分直线 l 的直角坐标方程为 2 分由直线 l 与圆 C 只有一个公共点，则可得3 分解得：a=3（舍）或 a=1 4 分所以：a=1 5 分（）由题意，曲线 C 的极坐标方程为 =2acos（a0）设 A 的极角为 ，B 的极角为6 分则： =8 分cos =所以当 时， 取得最大值9 分OAB 的面积最大值
22、为 10 分解法二：因为曲线 C 是以（a，0）为圆心，以 a 为半径的圆，且由正弦定理得： ，所以|AB=由余弦定理得：|AB 2=3a2=|0A|2+|OB|2|OA|OB|OA|OB|则： = OAB 的面积最大值为 （23） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲【解析】解法一：（） （） 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1x 12x1x15此时原不等式的解是 ； 2 分1x（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，212x1x此时原不等式无解； 3 分（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1x 此时原不等式的解是 ； 4 分综上， 5 分M或（）因为 6 分1fab1ab7 分 8 分因为 ，所以 ， ， 9 分,ab1b0a所以 ，即 10 分ffbfafb解法二：（）同解法一（）因为 ， 7 分11fafaa所以，要证 ，只需证 ， bfbab即证 ， 8 分221即证 ，2aa即证 ，即证 9 分220b210b因为 ，所以 ，所以 成立，,M2,b1a所以原不等式成立 10 分
