1、第六章 平面问题-极坐标,第六章 平面问题-极坐标,6-5 极坐标中平面问题的基本方程 6-6 轴对称问题 6-7 非轴对称问题 6-8 关于解和解法的讨论,目 录,（1） 极坐标中的平衡微分方程,对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，用极坐标表示其边界线非常方便，从而可以简化其边界条件的表示和方程的求解。,考虑平面上的一个微元体 ，沿 方向的正应力称为径向正应力，用 表示，沿 方向的正应力称为切向正应力，用 表示，剪应力用 表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用 及 表示。如图示。,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,由 ，有：,由
2、，可以得出剪应力互等关系：,由 ，有：,考虑图示微元体的平衡，有三个平衡方程：,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,因为 很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上两式，得,这就是极坐标的平衡微分方程。 两个平衡微分方程中包含三个未知函数 、 和 ，所以问题是 静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。 上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力 分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径 的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划 线的项中。,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,一、几何方程位移与形变间的微分关系,在极坐标中规定,用叠加
3、法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。,（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如上图所示。,（2） 极坐标中的几何方程和物理方程,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,径向线段 的正应变为,径向线段 的转角为,剪应变为,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图所示。,径向线段 的正应变为,径向线段 的转角为,可见剪应变为,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：,这就是极坐标中的几何方程。,二、物理方程,（1）平面应力情况,应变-应力,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,应力-应变,轴向分量,平面应力情况,6-5 极坐
4、标中平面问题的基本方程,将上式中的 换为 ， 换为 。,平面应变情况,应变-应力,轴向分量,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,利用高阶导数顺序无关性可导出如下协调方程,注,（3） 极坐标中的协调方程,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,或写成,反之,由于极坐标和转过 角后的新直角坐标 （ ）重合（见图），所以上式中的 就是直角坐标系 到 的系数转换矩阵，而 是它的逆矩阵。但应注意，在极坐标的矩阵 中， 值是随点而异的!,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,重复以上运算可导出二阶导
5、数公式,两式相加得调和算子：,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,将上式代入 式得极坐标平面问题的应力函数解法的基本方程：,利用前面公式中的转换系数矩阵 ，可立即写出极坐标和直角坐标间的分量转换关系,（1）向量例如位移,注：体力的转换关系也有类似的表达式,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,（2）张量例如应力，由第二章知识得：,三角公式,展开,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,把上面两式中的 和 对应地换位，并 把 改为 即得逆关系：,或,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,应变分量具有类似的转换关系，但应注意，这里的 和 对应于工程剪应变 。,下面导出极坐标中的应力公式：,6-5 极坐标中
6、平面问题的基本方程,比较上两式右端相应三角函数项的系数得极坐标应力公式,另一方面，由坐标转换的逆关系的第二式得,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,可以看到,即应力第一不变量与坐标选择无关！,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,边界条件考虑边界线 不是坐标线的一般情况，设边界外法线方向为 ，见下图。在位移边界上 给定,在力边界 上给定,分别为边界处面载荷的径向和环向分量，沿坐标正向为正。,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,如把边界上的面载荷按如图所示的应力正向（不是坐标正向）来分解，则力边界条件成,在环向边界（ ）上：,在径向边界（ ）上：,和 （或 和 ）仅是 （或 ）的函数，因为沿此边界
7、线 （或 ）保持不变。,6-5 极坐标中平面问题的基本方程,6-6 轴对称问题,几何形状和载荷分布都与环向坐标无关的平面问题称为平面轴对称问题。,应力函数解法,轴对称问题的应力函数与 无关，简化为一元函数 。代入如下应力公式,可见，在轴对称问题中，正应力 和 （因而正应变 和 ）都与 无关，而剪应力 （因而剪应变 ）为零。变形前极坐标中的扇形微元变形后仍保持扇形。,协调方程,实系数欧拉方程的一般形式为,其中 。下面介绍一种有效解法。先设解具有幂函数形式：,6-6 轴对称问题,代入上述欧拉方程后消去公因子 得特征方程,这是关于 的 次代数方程，可解得 个特征根，分别记为 。当它们为互不相重的实根
8、时，欧拉方程的通解具有幂函数形式,当出现重实根时，每多一重根相应的系数就多乘一个对数因子 。例如，当 为 重根时，通解为,6-6 轴对称问题,若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子。如， 当 时，通解为,当出现重复根时，则实部要多乘对数因子 。如， 当 为 重共轭复根时，通解为,6-6 轴对称问题,对于重调和方程，确定特征根的简捷方法是依次对解 作两次调和运算。但应注意，经过第一次调和运算后 和 项分别成 和 ，可提出与 有关的公因子 。第二次调和运算则作用在 (而非 )上，对应于 和 项的系数应是 和 。按此规律可直接写出协调方程的特征方程,6-6 轴对称问题,所以有 和 两个二重实根
9、。通解为,代入,应力分量,6-6 轴对称问题,本构方程,平面应力问题 的应变分量,6-6 轴对称问题,代入几何方程,并积分可得位移分量。,由本构方程和位移分量公式，得,积分,下面将确定待定函数,(a),(b),6-6 轴对称问题,将(a)和(b)式代入几何方程第三式。注意到 ，并把 的函数分别写在等式两边有：,左端,右端,6-6 轴对称问题,代入,代(a)和(b)式得轴对称位移分量,6-6 轴对称问题,应力分量表达式表明，常数A，B，C与应力有关。对于环向闭合的圆域或环域，位移单值条件要求 ，因为上式中 的的第一项与 成正比，沿环向每绕行一周， 就增加 。,若 ， 将是多值的。于是应力分量为,
10、常数A和C可由内 ，外 两个环向边界上的力边界条件,或位移边界条件,来确定。,其中， 和 是与 和 无关的常数。对于圆域，为防止圆心 处出现无限大应力，必须令 。,6-6 轴对称问题,应力分量简化为,这是个均匀拉压应力状态,把应力分量前两式相加得,符合方程的线性条件。故两端自由的轴对称问题无论轴向有多长都属于平面应力问题。,应力分量表明，常数H，I，K与应力无关，它们代表刚体运动。对于无应力 状态，(a)式成：,转到直角坐标中有,6-6 轴对称问题,（a）式表明，一般说轴对称问题的位移是与 有关的。 如果限制原点的刚体位移 ，且考虑位移单值情况 ，则位移与 无关。如进一步限制刚体转动 ，则只剩
11、下径向位移：,以上讨论的是平面应力问题，对于平面应变问题应作弹性常数替换。,(c),6-6 轴对称问题,位移解法,采用半逆解法限制原点的刚体位移和转动，由轴对称性可设,代入几何方程得,由本构方程得,在轴对称问题中，平衡方程简化成：,（d）,（e）,(f),6-6 轴对称问题,将式(e)代入式(f)，并考虑无体力情况，则用位移表示的平衡方程为,这又是欧拉方程，其通解为,这就是(c)式。可见两种解法的结果一致。将上式代回（d）和（e）式可得相应的应变和应力分量。,6-6 轴对称问题,考虑下图所示的厚壁圆筒。在内表面 处受内压 ，在外表面 处受外压 ，相应的,应力边界条件为,例1 均压圆筒或圆环问题
12、,6-6 轴对称问题,边界 的条件能自动满足。若把 代入上式，可解出,这就是著名的拉梅公式。,代入,(g),6-6 轴对称问题,应力分布和弹性常数无关，因而同时适用于两类平面问题。,但是在平面应力问题中 ，而在平面应变问题中,上式右端项为常数，所以 沿端面均匀分布，其合力为：,把(g)式代入(c)式得位移分量：,它与 有关，对平面应变问题须作弹性常数替换。,6-6 轴对称问题,下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。,（1）只作用均匀内压时（ ），例如液压缸，上面解答化为：,应力分布大致如上图所示。,6-6 轴对称问题,当 时，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面
13、的解答成为：,（2）只有外压时（ ），例如液压柱塞，上面解答化为：,应力分布大致如右图所示。,6-6 轴对称问题,注：拉梅公式适用于任意壁厚情况。例如带小圆孔的等向拉伸平板可简化为 ，壁厚很大 的圆环（见图）。这时拉梅公式为,在孔边上 ， 故应力集中系数为2。,6-6 轴对称问题,再如对受内压的薄壁筒（柱壳）有：,且 。于是 。拉梅公式简化为薄壁筒公式： 这可由下图的平衡条件直接导出。,6-6 轴对称问题,拉梅公式还可用来计算过盈配合问题。,设内筒的内、外半径为 和 ，外筒的内、外半径为 和 ，其中 为过盈量。内、外筒的材料可以不同。现在来说明配合面上配合压力 的计算方法（参看下图）。用位移公
14、式分别计算出在 作用下配合面处内、外筒的径向位移 和 ，则配合处的位移连续条件是：,由此可解出 ，进而由拉梅公式算出内、外筒的应力。,6-6 轴对称问题,例2 纯弯曲梁,考虑图(a)所示单位宽度矩形截面曲梁，两端受弯矩 M 作用。曲梁的几何形状和载荷都与 无关，看作是轴对称问题。对于环向不闭合的扇形或楔形域，允许有与 成正比的环向位移，所以，一般说 ，应力应按应力分量公式计算。其中第三式已自动满足曲梁四周 的边界条件。,图(a),6-6 轴对称问题,两个环向边界上的力边界条件是：,把应力分量第一式代入得,曲梁两端的放松边界条件是,利用应力分量第二式，按条件（c）积分得,(a),(b),(c),
15、(d),6-6 轴对称问题,可见只要满足（a）和（b）式，条件（c）就能自动满足。条件（d）积分后得,(e),由(a)，(b), (e)式解得,(f),6-6 轴对称问题,从而得应力分量,这个结果和材料力学解不同， 和 的分布情况见图(b)。,图(b),(g),6-6 轴对称问题,求位移时，设梁两端中点固定，即在 处 。于是由轴对称位移分量定出积分常数：,把(f)和(h)式中的常数代回轴对称位移分量就得位移分量。,(h),6-6 轴对称问题,例如，考虑如图所示圆筒的装配应力。设圆筒半径为R，焊接前存在纵向缝隙，其对应的中心角为 。焊接后应 满足的位移连续条件,6-6 轴对称问题,代入（f）第二
16、式得 M，再代入（g）式就得装配应力。,关于 的条件成,把下式代入位移连续条件（取 ），关于 的条件 自动满足,6-6 轴对称问题,如右图所示，受均匀内压力 作用的圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒和无限大弹性体的材料不同。试分别讨论两者的应力和位移情况。,两者都属于轴对称应力问题，采用半逆解法。,设圆筒的应力表达式为：,例3 压力隧洞,6-6 轴对称问题,设无限大弹性体的应力表达式为：,由应力边界条件求待定常数 、 、 、 。,（1）在圆筒的内表面：,由此得：,（2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。,由此得：,（3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有：,（1）,（2）,6-6 轴对
17、称问题,由此得：,由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问题，可以写出两者的径向位移的表达式。,圆筒：,无限大弹性体：,（3）,简化,6-6 轴对称问题,在接触面上，两者应具有相同的位移，即：,因此有,因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是 在 取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必 须相等。于是有,（4）,6-6 轴对称问题,联立方程（1）、（2）、（3）、（4）出 、 、 、 ，代入应力分量的表达式，得,当 时，应力分布大致如图所示。,6-6 轴对称问题,圆筒受内压外部固定,径向位移截面图,内侧的径向位移最大,径向位移立体图,有限元模拟厚壁圆筒,Mises应力
18、截面图,Mises应力立体图,内侧的Mises应力最大,有限元模拟厚壁圆筒,设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度 旋转。圆盘可 以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态，即,令：,(1),例4 等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移场。,则：,6-6 轴对称问题,在这里，由于圆盘只受回转轴的约束，而这种约束是轴对称的，所以它的弹性位移也是轴对称的。即：径向位移 ，而环向位移 。于是几何方程简化为：,消去 ，得到相容方程：,解方程得到：,将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数 表示的相容方程：,联立式（1），得：,(2),6-6 轴对称问题,其中 和 是任意常数。,盘边的边界条件：,其中 是圆
19、盘的半径。代入式（2），得：,取 ，代入式（2）得应力分量的表达式为：,最大应力在圆盘的中心：,6-6 轴对称问题,在圆盘的中心（ ）， 。最大弹性位移发生在圆盘的边缘（ ）：,径向位移(与 无关）：,6-6 轴对称问题,6-7 非轴对称问题,当载荷分布与环向坐标 有关时，可以把它沿环向展开成三角级数。对于圆域或环域，载荷及域内应力、应变状态的基本变化周期是 。相应地，应力函数 可展成,其中，第一项 与 无关，是解的轴对称分量，对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现含因子 的函数项 和,目前，已经找到极坐标中应力函数的通解如下：其中,6-7 非轴对称问题,与直角坐标中的线性项
20、相应，在极坐标中应力函数允许差一个任意的 项，而不影响应力，因而上面带虚线的项可以删除。 是轴对称解，含因子 的 ， 仅存在于环向不闭合的楔形或扇形域中，其余项就是对 展开的三角级数。,6-7 非轴对称问题,例1 小圆孔的应力集中,实验证明，在物体几何形状或载荷发生突变的地方，将出现随着远离突变点而迅速衰减的局部高应力区，这种现象称为应力集中。,通常用应力集中系数,最大局部应力 相应点处不考虑局部效应时的计算应力，称为 名义应力,6-7 非轴对称问题,局部应力需要弹性理论来分析。由于局部高应力是引起疲劳裂纹或脆性断裂 的根源，所以应力集中的计算具有重要的实际意义。,考虑图所示的单位厚度矩形薄板
21、的等值拉压情况。在离边界较远处有半径为 的小圆孔。x 方向受均匀拉力q，y 方向受均匀压力q，即已知,选用极坐标，板的矩形边界用半 径为b的同心圆来代替。当b足够 大时，局部应力已经完全衰减， 所以为求外圆边界 上的应力，,(a),6-7 非轴对称问题,把（a）式代入转轴公式,在内孔处的力边界条件为,（b）式表明， 的环向分布规律为,(b),(c),6-7 非轴对称问题,由上式第一式知 与 及 有关，所以应力函数也按 变化，应设为：,代入协调方程,(d),6-7 非轴对称问题,其特征方程为：,通解,6-7 非轴对称问题,应力分量,代入,6-7 非轴对称问题,利用边界条件（b）和（c）定出积分常
22、数,对无限大板小圆孔情况， ，各常数简化成,(e),(f),6-7 非轴对称问题,等值拉压无限大板中 小圆孔附近的应力,代入,6-7 非轴对称问题,可以看到，在孔边 处，当 和 时， 的 应力集中系数为 ，当 和 时， 。,如果不假设 ，把（e）式直接代入右上角公式，就得到任意宽度圆环在周向按 变化的载荷作用下的应力值。弹性力学往往只能给出个别典型问题的解答。在应用时，要善于把实际问题分解成若干典型问题处理，然后利用叠加原理求解。以小圆孔应力集中问题为例，利用上述矩形薄板等向拉伸（或压缩）和等值拉压两种典型解答，可以解决一大批工程实际问题。,6-7 非轴对称问题,（e）,例如,（1）双向不等值
23、的均匀拉（压）情况。如图，其中 和 为任意代数值。,即,(g),(h),令,6-7 非轴对称问题,则原问题转化为等向拉伸（或压缩） 和等值拉压 （x方向为 ，y方向为 ）两个问题之和。利用下面两式分别求得 和 引起的应力场，叠加后就是不等值拉（压）的解。,6-7 非轴对称问题,等向拉伸（或压缩）,等值拉压,设 ，则 和 同号。选x轴沿 方向，则最大（绝对值）应力发生在孔边 的A点处，其值为,以 作名义应力，则应力集中系数为,（j）,6-7 非轴对称问题,当 （等值拉压）时最大， ；当 （等向拉伸或压缩）时最小， ；其他情况为 。,当 且 时，得图所示的单向拉伸情况。令 ，则 应力,应力集中系数
24、 。图中表明，在离孔边 的地方集中应力已衰减到可以忽略的程度。,6-7 非轴对称问题,（2）任意均匀应力状态。若除 和 外，板边还受均匀剪应力。可以先算出相应的主应力 和 ，然后选主轴为参考坐标，则化为情况（1）。则应力集中系数为 ，其中 是绝对值较大的主应力。,（3）缓慢变化的非均匀应力状态。由于小孔应力集中是局部现象，只要未开孔前板内的应力状态在开孔区附近变化不大，则可近似地认为开孔区附近是均匀应力场，其值等于未开孔前孔心处的应力值，然后再按情况（2）计算应力集中系数。,6-7 非轴对称问题,（5）各种材料情况。适用于各种材料的平面应力或平面应变情况，例如也能用于山岩，坝体，土壤中的圆柱形
25、孔洞。,（4）其他几何形状。无论板的几何形状如何，只要孔心离板边的距离大于 ，且相邻两孔的距离大于 ，就能按“无限大板”中孤立的小圆孔来处理。对于薄壳，只要壳体的曲率半径 ，也能近似地按（j）式来计算应力集中系数。,6-7 非轴对称问题,有限元模拟孔边应力集中,Mises应力最大,位移加载方向为1方向，可以看出与加载方向垂直的孔径上的应力较大，且在孔边处最大。,例2 曲梁的一般弯曲,考虑图中所示狭长矩形截面曲梁在径向集中载荷P作用下的一般弯曲问题。这时梁内各截面上的弯矩（因而与弯矩相应的应力 ）与 成正比。,注意到 ，所以设应力函数,代入上面协调方程,其特征方程为：,(a),(b),得：,6-
26、7 非轴对称问题,即,因而通解为：,代回（a）式，并由应力公式得应力分量：,边界条件是：,当 时， 当 时，,由此可定出积分常数：,其中，,常数C对应力无影响，可不考虑。,(c),(d),(e),6-7 非轴对称问题,把（e）代回得：,由本构方程求出应变，然后积分得位移：,常数H，I，K代表刚体运动，由固支端位移边界条件确定。令 处 得：,这时自由端的径向位移为：,(f),(g),6-7 非轴对称问题,考虑下图所示的矩形截面的起重机吊钩。它中间段的几何形状和受力情况基本上对称于截面 。把对称面看作固支端，则简化为右下图所示的曲梁问题（P力反向）。用 代替前面应力计算式中的P 就得吊钩应力计算公
27、式。B点处的 是最大应力，其值为：,(h),6-7 非轴对称问题,为了计算图中所示圆筒体因径向错位 所引起的装配应力，可把它看作由四段前面所示的曲梁组成。在装配力P作用下，每段产生端部位移,I，II段向内，III，IV段向外。由此解得 ，代入（e）第三式得：,代入应力计算公式就得相应的应力分量。,(i),（e）,6-7 非轴对称问题,例3 楔体,考虑楔体顶部受集中力P的情况，见图。首先应确定应力函数（或应力）沿径向的分布规律。,选A为初始起点，沿逆钟向计算应力函数 及其导数的边界值。在AO边 上（无载荷作用），有 ：,(a),6-7 非轴对称问题,(注意n,s与极坐标r, 的方向),在 OB
28、边 上，有：,由（b）第一式可见， 和 成正比，所以设 把（c）式代入如下协调方程,(b),(c),6-7 非轴对称问题,通解,代入(c）,(d),6-7 非轴对称问题,将式（d）代入应力公式,两个侧面 上 的条件已由（e）式自动满足。楔体顶端集中力作用点处出现奇异性，应力为无穷大。弹性力学的处理方法是：,(e),检验边界条件,6-7 非轴对称问题,把集中力转化为奇异点附近球面上的应力边界条件。右图为顶端附近的微元平衡图。,注意到 ，微元在x和y 方向上的平衡条件是,6-7 非轴对称问题,把（e）式代入就可定出积分常数,代回（e）式得,若把（d）式代入应力函数的边界条件（a）和（b），同样能定
29、出积分常数。,(f),6-7 非轴对称问题,应力计算式中的集中力倾斜角可取为 ，例如，对于垂直集中力,这时 是 的偶函数，应力分布对称于x轴。对于水平集中力 ，即悬臂楔问题，有,这时 是 的奇函数，应力分布对x轴反对称。可以看到，悬臂楔与悬臂梁不同，在其弧形的截面上剪应力 处处为零。,6-7 非轴对称问题,应力计算式中的楔顶角可取为 。当 时，化为半无限平面问题。这时有,若令 ，它是由力作用线起算的角度（如下图），则对任意方向的斜力都有统一的公式，即：,6-7 非轴对称问题,在以上解答中令 。于是得,利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式,一、应力分量,6-7 非轴对称问题,当平面体在边界上
30、受有垂直于边界的力P，即 ,=0时，如右图示：,其最大值为,在 的水平截面上， 应力分布如图所示。,6-7 非轴对称问题,二、位移分量,假设是平面应力情况。将应力分量代入物理方程，得形 变分量,再将形变分量代入几何方程，得位移分量,6-7 非轴对称问题,其中 、 、 都是任意常数。,由对称条件 ，得,代入上式，得：,6-7 非轴对称问题,如果半平面体不受铅直方向的约束，则常数I 不能确定。如果半平面体受有铅直方向的约束，就可以根据这个约束条件来确定常数I。,6-8 关于解和解法的讨论,本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令,或,然后按如下步骤求解：,第一步，设
31、法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数变化规律（例如 或 ）。,第二步，代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律（例如 或 ）,第三步，利用边界条件定出解中所含的待定常数。,第一步的判断带有一定的经验性，主要方法是：,（1）根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部应力和应力函数的分布规律。利用对称性，反对称性，均匀（不变）性等特点经常使解题过程大为简化，但应用时要谨慎，以防误判。如果把一个既有对称成分又含有非对称成分的问题误判为对称问题，就不可能找到正确的解答。对各种试凑解法，把所得的解答代入全部基本方程和边界条件进行检验是十分重要的。,6-8 关于解和解法的讨论,（2
32、）把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。应该指出，当作这类推广时，所考虑的边界必须是坐标线。,（3）对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律。例如，轴线沿x方向的细长梁可简化为沿x轴的一维问题，所以材料力学解在x方向上的变化规律反映问题本质。而在y方向上则是基于平截面假设才导出了应力的线性变化规律，不能误把这线性规律当作前提假设代入弹性力学基本方程中去求解。,6-8 关于解和解法的讨论,下面讨论第二步。把第一步设定的函数代入后，应力函数的重调和方程就简化为常微分方程，从中可解出应力函数沿另一坐标方向的变化规律。 直角坐标中应力函数的变化规律是
33、： 为幂函数，则解得 也是幂函数，若 为三角函数，则 为 双曲函数以及再乘因子y。 极坐标系中应力函数的变化规律是： 为三角函数，为r的幂函数，或重根时再乘以因子lnr。反之， 为幂函数，则相应的 为三角函数（含常数项）或 对环向不闭合情况再乘以因子 。,6-8 关于解和解法的讨论,（4）灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解叠加起来去共同满足边界条件。,以上主要结合应力函数解法作了讨论。对于位移解法或应力解法，试凑法的处理原则是相同的，区别仅在于所考虑的基本未知量及相应的基本方程的不同。,6-8 关于解和解法的讨论,对应力的放松边界条件。一旦边界条件正确给定，求待定常数只是解代数方程的数
34、学问题。,第三步的关键是要正确地给定边界条件。在主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分形式条件，这也是一种,6-8 关于解和解法的讨论,试凑法反映了认识的深化过程，每认识到问题的一个特征，就能把问题简化一步，这样逐步深化直至把问题完全解开。现在，任何弹性力学平面问题都已能用有限元法得到满意的解答，但这种试凑法的原则，对于寻找其他问题的解析解仍不失为一种可能的途径。,作业,1）设在厚壁管外套以绝对刚性的外套，使管不能发生轴向位移。厚壁管受均匀内压力q（如图所示），试求厚壁管中的应力及位移场。,2）图示曲梁（二分之一圆环），其上端周向应力 的合力为P，对坐标原点O的力矩为零。求曲梁的应力。,作业,3）矩形薄板受纯剪作用，剪应力强度为q。设距板边缘较远处有一小圆孔，孔的半径为a。试求孔边的最大和最小正应力。 4）图示椭圆薄板中心有一个小圆孔，其半径为a。板的外边界作用有均匀分布的法向拉应力p。试求应力集中系数。,作业,5) 图示单位厚度的楔体，在顶点受一集中力偶M作用。试求应力分量。,作业,结束,
