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类型平面问题的极坐标解答5.ppt

  • 上传人:hwpkd79526
  • 文档编号:12391093
  • 上传时间:2021-12-11
  • 格式:PPT
  • 页数:58
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    平面问题的极坐标解答5.ppt
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    1、第四章例题 例题1 习题4 8 试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题 y x a a 0 解 本题应按逆解法求解 首先校核相容方程 是满足的 然后 代入应力公式 4 5 求出应力分量 再求出边界上的面力 读者可由此画出边界上的面力分布 半平面体表面受有均布水平力q 试用应力函数求解应力分量 例题2 习题4 9 解 首先检验 已满足 由求应力 代入应力公式得 再考察边界条件 注意本题有两个面 即 分别为面 在面上 应力符号以正面正向 负面负向为正 因此 有 代入公式 得应力解答 设半平面体在直边界上受有集中力偶 单位宽度上的力矩为M 试求应力分量 例题3 习题4 18 1 按量纲分析

    2、方法 单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同 应力应与有关 由于应力的量纲是单位面积上的力 即 应力只能以形式组合 解 应用半逆解法求解 2 应比应力的长度量纲高二次幂 可假设 删去因子 得一个关于的常微分方程 令其解为 代入上式 可得到一个关于的特征方程 3 将代入相容方程 得 其解为于是得的四个解 前两项又可以组合为正弦 余弦函数 由此得本题中结构对称于的轴 而是反对称荷载 因此 应力应反对称于轴 为的奇函数 从而得 5 考察边界条件 由于原点o有集中力偶作用 应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件 在的边界上 有 4 由求得应力分量 为了考虑原点o附近有集中力偶的作用 取出以o为中心 为半径

    3、的一小部分脱离体 并列出其平衡条件 前一式自然满足 而第二式成为 a 上式中前两式自然满足 而第三式成为 再由式 a 得出代入应力公式 得最后的应力解答 b 设有厚度为1的无限大薄板 在板内小孔中受集中力F 试用如下的应力函数求解 例题4 习题4 19 x y 0 F 1 经校核 上述满足相容方程 解 2 代入应力公式 得 3 考察边界条件 本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F 可取出包含小孔口在内的 半径为的脱离体 列出其三个平衡条件 将应力代入上式 其中第二 三式自然满足 而第一式得出 a 4 由此可见 考虑了边界条件后还不足以确定待定常数 注意到本题是多连体 应考虑位移的单值条件

    4、因此 先求出应变分量 再积分求出位移分量 然后再考虑单值条件 由物理方程求出应变分量 代入几何方程 得 由前两式积分 得 将代入第三式 并分开变量 得 为了使上式在区域内任意的都成立 两边都必须等于同一常数G 这样 得到两个常微分方程 由式 b 解出 b 将式 c 对求导一次 再求出 再将上式的代入 得 显然 式 d 中第二项是多值项 为了保证位移的单值性 必须 d e 将式 a 代入上式 得 将式 a f 代入应力公式 得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答 试由书中式 4 21 的解答 导出半平面体 平面应力问题 在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答 例题5 解 由书中式 4 2

    5、1 当时 用直角坐标系的应力分量表示 以下来求位移解答 将应力代入物理方程得应变分量 再代入几何方程 分别积分求出位移分量 第四章例题 两边对积分 得 得 由几何方程第一式 由几何方程第二式 再将式 a 和 b 代入几何方程的第三式 分开变量后 两边分别为的函数 各应等于同一常数G 即 两边对积分 得 于是得两个常微分方程 式 c 中的前一式为 对式 c 的后一式再求一次导数 得 将和代入的表达式 并由式 c 得 得解为 代入后 得出位移的解答如下 由反对称条件 当时 而另两个刚体位移分量H和K 因未有约束条件不能求出 代入 得最后的位移解 水平位移是 在半平面体的左半表面 铅直沉陷是 取B点

    6、为参考点 则M点的相对水平位移是 圆盘的直径为d 在一直径AB的两端点受到一对大小相同 方向相反的集中力F的作用 试求其应力 例题6 解 本题可应用半平面体受铅直集中力的解答 进行叠加而得出 a 假设GH以下为半平面体 在A点的F作用下 引用书中式 4 22 之解 b 假设IJ以上为半平面体 在B点的F作用下 类似地得出 c 对于圆周上的点M 分别作用且 并有 显然 在圆周上有 因此 圆盘在对径受压时 其应力解是 a b c 三部分解答之和 两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力 应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为 由于 最大压应力发生在圆盘的中心 得到CD线上的应力分量

    7、 现在来计算水平直径CD线上的值 对于N点 设则有 读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值 并证明在中心线AB上 为常量的拉应力 AB线上的常量拉应力 便是劈裂试验的参考解答 第四章例题 图示的曲杆 其截面为狭矩形 内外半径分别为r和R 在两端受有力矩M的作用 试求其应力 例题7 解 本题中每一个截面上 内力都是M 因而也属于轴对称问题 可以引用轴对称应力解 在主要边界上 边界条件是 由于 后两式自然满足 而其余两式为 在两端部 或者任一截面上 有边界条件 上式中第一式自然满足 对于后两式 注意有积分式 得到 注意式 c 实际上是式 a 和 b 的组合 由式 a b d 解出 其中 曲杆中的

    8、应力分量为 例题8图示的三角形悬臂梁 在上边界受到均布压力q的作用 试用下列应力的函数 求出其应力分量 解 应力函数应满足相容方程和边界条件 从中可解出常数 得出的应力解答是 第四章例题 在截面mn上 正应力和切应力为 例题9图中所示的半平面体 在的边界上受到均布压力q的作用 也可以应用下列用极坐标表示的应力函数 进行求解 试求其应力分量 解 将上述的应力函数代入相容方程 并校核边界条件 若两者均满足 就可以求出应力分量 本题的应力分量用极坐标表示的解答为 图中所示的半平面体 在的边界上受到均布切力q的作用 也可以应用下列用极坐标表示的应力函数 进行求解 试求其应力分量 例题10 解 校核相容方程和边界条件 若上述应力函数均能满足 就可以求出应力分量 本题的应力解答是

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