1、第四章平面问题的极坐标解答 第一节极坐标中的平衡微分方程 第二节极坐标中的几何方程及物理方程 第三节极坐标中的应力函数与相容方程 第四节应力分量的坐标变换式 第五节轴对称应力和相应的位移 第四章平面问题的极坐标解答 第六节圆环或圆筒受均布压力 第八节圆孔的孔口应力集中 第九节半平面体在边界上受集中力 第十节半平面体在边界上受分布力 例题 第七节压力隧洞 区别 直角坐标中 x和y坐标线都是直线 有固定的方向 x和y的量纲均为L 极坐标中 坐标线 常数 和坐标线 常数 在不同点有不同的方向 相同 两者都是正交坐标系 直角坐标 x y 与极坐标比较 坐标线为直线 坐标线为圆弧曲线 的量纲为L 的量纲
2、为1 这些区别将引起弹性力学基本方程的区别 对于圆形 弧形 扇形及由径向线和环向围成的物体 宜用极坐标求解 用极坐标表示边界简单 使边界条件简化 应用 4 1极坐标中的平衡微分方程 在A内任一点 取出一个微分体 考虑其平衡条件 微分体 由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成 两面不平行 夹角为 两面面积不等 分别为 从原点出发为正 从x轴向y轴方向转动为正 注意 平衡条件 平衡条件 考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡 列出3个平衡条件 注意 通过形心C的力矩为0 当考虑到二阶微量时 得 通过形心C的向合力为0 整理 略去三阶微量 得 同理 由通过形心C的向合力为0可得 极坐标下的平衡微分方程
3、 几何方程 表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 4 2几何方程及物理方程 极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得 也可以采用坐标变换的方法得到 下面讨论后一种方法 根据直角坐标与极坐标之间的关系 有 注意 可求得 根据张量的坐标变换公式 对平面问题 几何方程 由此可得比较可知 极坐标中的物理方程 直角坐标中的物理方程是代数方程 且x与y为正交 故物理方程形式相似 物理方程 极坐标中的物理方程也是代数方程 且 与为正交 平面应力问题的物理方程 物理方程 对于平面应变问题 只须作如下同样变换 边界条件 应用极坐标时 弹性体的边界面通常均为坐标面 即 边界条件 故边界条件形式简单 平
4、面应力问题在极坐标下的基本方程 物理方程 物理方程 对于平面应变问题 只须将物理方程作如下的变换即可 以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系 用于 4 3极坐标中的应力函数与相容方程 1 物理量的转换 2 从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程 函数的变换 将式或代入 坐标变量的变换 反之 1 从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变换 或 矢量的变换 位移 坐标变换 将对的导数 变换为对的导数 可看成是 而又是的函数 即是通过中间变量 为的复合函数 有 坐标变换 导数的变换 而 代入 即得一阶导数的变换公式 一阶导数 展开即得 二阶导数的变换公式 可以从式 e 导出 例如 二阶导数 拉普拉斯算
5、子的变换 由式 f 得 二阶导数 3 极坐标中应力用应力函数表示 可考虑几种导出方法 2 极坐标中的相容方程 从平衡微分方程直接导出 类似于直角坐标系中方法 相容方程应力公式 2 应用特殊关系式 即当x轴转动到与轴重合时 有 3 应用应力变换公式 下节 应力公式 4 应用应力变换公式 下节 而 代入式 f 得出的公式 比较两式的的系数 便得出的公式 应力公式 当不计体力时应力用应力函数表示的公式 应力公式 4 极坐标系中按应力函数求解 应满足 1 A内相容方程 2 上的应力边界条件 设全部为应力边界条件 3 多连体中的位移单值条件 按求解 应力分量不仅具有方向性 还与其作用面有关 应力分量的坐
6、标变换关系 4 4应力分量的坐标变换式 1 已知 求 含 的三角形微分体 厚度为1 如下图A 考虑其平衡条件 取出一个包含x y面 含 和面 得 同理 由 得 类似地取出包含x面 y面和面的三角形微分体 厚度为1 如图B 考虑其平衡条件 得 应用相似的方法 可得到 2 已知 求 3 可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出 4 也可以用应力坐标变换公式得到 轴对称 即绕轴对称 凡通过此轴的任何面均为对称面 轴对称应力问题 4 5轴对称应力和相应的位移 轴对称应力问题 应力数值轴对称 仅为的函数 应力方向轴对称 展开并两边同乘得 相应的应力函数 所以应力公式为 1 相容方程 的通解 2 应力通解
7、 4 11 分开变量 两边均应等于同一常量F 将代入第三式 由两个常微分方程 其中 代入 得轴对称应力对应的位移通解 I K 为x y向的刚体平移 H 为绕o点的刚体转动角度 位移通解 4 12 说明 2 在轴对称应力条件下 形变也是轴对称的 但位移不是轴对称的 3 实现轴对称应力的条件是 物体形状 体力和面力应为轴对称 1 在轴对称应力条件下 4 10 11 12 为应力函数 应力和位移的通解 适用于任何轴对称应力问题 说明 4 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程 它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件 并由此求出其系数A B及C 说明 5 轴对称应力及位移的通解 可以用于求
8、解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题 6 对于平面应变问题 只须将换为 圆环 平面应力问题 和圆筒 平面应变问题 受内外均布压力 属于轴对称应力问题 可以引用轴对称应力问题的通解 4 6圆环或圆筒受均布压力 问题 问题 边界条件是 边界条件 考察多连体中的位移单值条件 圆环或圆筒 是有两个连续边界的多连体 而在位移解答中 式 b 中的条件是自然满足的 而其余两个条件还不足以完全确定应力解答 a 单值条件 是一个多值函数 对于和是同一点 但式 c 却得出两个位移值 由于同一点的位移只能为单值 因此 B 0 单值条件 由B 0和边界条件 b 便可得出拉梅解答 单值条件 4 13 解答的应用 1
9、只有内压力 2 只有内压力且 成为具有圆孔的无限大薄板 弹性体 3 只有外压力 单值条件 单值条件的说明 1 多连体中的位移单值条件 实质上就是物体的连续性条件 即位移连续性条件 2 在连续体中 应力 形变和位移都应为单值 单值条件 按位移求解时 取位移为单值 求形变 几何方程 也为单值 求应力 物理方程 也为单值 按应力求解时 取应力为单值 求形变 物理方程 也为单值 求位移 由几何方程积分 常常会出现多值项 所以 按应力求解时 对于多连体须要校核位移的单值条件 单值条件 对于单连体 通过校核边界条件等 位移单值条件往往已自然满足 对于多连体 应校核位移单值条件 并使之满足 4 7压力隧洞
10、本题是两个圆筒的接触问题 两个均为轴对称问题 平面应变问题 1 压力隧洞 圆筒埋在无限大弹性体中 受有均布内压力 圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为 压力隧洞 因为不符合均匀性假定 必须分别采用两个轴对称解答 圆筒 无限大弹性体 压力隧洞 应考虑的条件 1 位移单值条件 2 圆筒内边界条件 3 无限远处条件 由圣维南原理 压力隧洞 由 1 4 条件 解出解答 书中式 4 16 4 的接触条件 当变形后两弹性体保持连续时 有 压力隧洞 2 一般的接触问题 1 完全接触 变形后两弹性体在s上仍然保持连续 这时的接触条件为 在s上 当两个弹性体 变形前在s上互相接触 变形后的接触条件可分为几种情况
11、接触问题 2 有摩阻力的滑动接触 变形后在S上法向保持连续 而切向产生有摩阻力的相对滑移 则在S上的接触条件为 其中C为凝聚力 接触问题 4 局部脱离 变形后某一部分边界上两弹性体脱开 则原接触面成了自由面 在此部分脱开的边界上 有 3 光滑接触 变形后法向保持连续 但切向产生无摩阻力的光滑移动 则在s上的接触条件为 接触问题 在工程上 有许多接触问题的实际例子 如机械中轴与轴承的接触 基础结构与地基的接触 坝体分缝处的接触等等 一般在接触边界的各部分 常常有不同的接触条件 难以用理论解表示 我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析 接触问题 3 有限值条件 图 a 设图 a 中半径为r的圆
12、盘受法向均布压力q作用 试求其解答 有限值条件 引用轴对称问题的解答 并考虑边界上的条件 上述问题还是难以得出解答 这时 我们可以考虑所谓有限值条件 即除了应力集中点外 弹性体上的应力应为有限值 而书中式 4 11 的应力表达式中 当时 和中的第一 二项均趋于无限大 这是不可能的 按照有限值条件 当时 必须有A B 0 有限值条件 在弹性力学问题中 我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件 几何条件和物理条件后 建立基本方程及其边界条件来进行求解的 一般地说 单值条件和有限值条件也是应该满足的 但是这些条件常常是自然满足的 而在下列的情形下须要进行校核 1 按应力求解时 多连体中的位移单值条件
13、有限值条件 在弹性力学的复变函数解法中 首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数 从而缩小求解函数的范围 然后再根据其他条件进行求解 2 无应力集中现象时 和 或处的应力的有限值条件 因为正 负幂函数在这些点会成为无限大 有限值条件 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔 本节研究 小孔口问题 应符合 1 孔口尺寸 弹性体尺寸 孔口引起的应力扰动局限于小范围内 4 8圆孔的孔口应力集中 小孔口问题 2 孔边距边界较远 1 5倍孔口尺寸 孔口与边界不相互干扰 当弹性体开孔时 在小孔口附近 将发生应力集中现象 小孔口问题 1 带小圆孔的矩形板 四边受均布拉力q 图 a 双向受拉 内边界条件为 将外
14、边界改造成为圆边界 作则有 利用圆环的轴对称解答 取 且R r 得应力解答 双向受拉 4 17 2 带小圆孔的矩形板 x y向分别受拉压力 图 b 所以应力集中系数为2 内边界条件为 最大应力发生在孔边 作圆 求出外边界条件为 双向受拉压 应用半逆解法求解 非轴对称问题 由边界条件 假设 代入相容方程 由 关系 假设 所以设 双向受拉压 除去 为典型欧拉方程 通过与前面 4 5相同的处理方式 可以得解 然后代回式 d 即可求出应力 双向受拉压 校核边界条件 b c 求出A B C D 得应力解答 在孔边 最大 最小应力为 应力集中系数为 双向受拉压 4 18 3 带小圆孔的矩形板 只受x向均布
15、拉力q 单向受拉 应用图示叠加原理 此时令 得应力解答 单向受拉 4 19 讨论 1 孔边应力 最大应力3q 最小应力 q 单向受拉 2 y轴上应力 可见 距孔边1 5D处 由于孔口引起的应力扰动 5 单向受拉 3 x轴上应力 同样 距孔边1 5D处 由于孔口引起的应力扰动 5 单向受拉 4 小孔口的应力集中现象 1 集中性 孔口附近应力 远处的应力 孔口附近应力 无孔时的应力 2 局部性 应力集中区域很小 约在距孔边 1 5倍孔径 D 范围内 此区域外的应力扰动 一般 5 应力集中现象 3 凹角的角点应力高度集中 曲率半径愈小 应力愈大 因此 工程上应尽量避免接近直交的凹角出现 如正方孔的角
16、点 角点曲率半径 应力集中现象 5 一般小孔口问题的分析 1 假设无孔 求出结构在孔心处的 2 求出孔心处主应力 3 在远处的均匀应力场作用下 求出孔口附近的应力 小孔口解法 当然 对于左右边界受均匀拉力作用带孔平板的应力集中问题 还可以用如下方法求解 单向受拉 对于无孔板 板中的应力为 与之相应的应力函数为 转为极坐标表示为 单向受拉 现参照上述无孔板的应力函数来选取一个应力函数 使它适用于有孔板 即 代入相容方程得 解得 单向受拉 由此求得应力分量为 解得 单向受拉 应力分量为 应用弹性力学问题的复变函数解法 已经解出许多各种形状的小孔口问题的解答 复变函数解法是一种求解弹性力学解答的解析
17、方法 它将复变函数的实部和虚部 均为实函数 分别表示弹性力学的物理量 将弹性力学的相容方程 重调和方程 也化为复变函数方程 并结合边界条件进行求解 6 其他小孔口问题的解答 为了了解小孔口应力集中现象的特性和便于工程上的应用 我们把远处为 压应力场 作用下 椭圆类孔口 矩形类孔口和廊道孔口的应力解答表示在下图中 它们的应力分布情况如下 4 3 2 b a 1 1 2 23 1 2 3 1 1 0 1 3 1 1 00 2 5 1 35 1 在 压应力场 下 孔口的最大拉应力发生于孔顶和孔底 椭圆类孔口均为 矩形类孔口的 标准廊道孔口为0 90和0 92q 1 8r 1 7 c 标准廊道孔口 r
18、 0 90 0 92 2 在 压应力场 下 孔口的最大压应力发生在孔侧 椭圆类孔口 垂直半轴为b 水平半轴为a 中 当成为一条裂缝时 当 当 矩形类孔口从 越小 则压应力集中系数越接近1 标准廊道左右 半平面体在边界上受集中力作用如图 它是下图所示问题当的特殊情况 4 9半平面体在边界上受集中力 半逆解法 用半逆解法求解 1 假设应力 F为单位宽度上的力 按量纲分析 应力应为 半逆解法 2 推测应为 3 代入 得 求出f之解 代入 其中前两项即Ax By 与应力无关 删去 则取应力函数为 5 考虑边界条件 因有集中力作用于原点 故边界条件应考虑两部分 4 由求应力 b 在原点O附近 我们可以看
19、成是一段小边界 在此小边界附近 有面力的作用 而面力可以向原点o简化为作用于O点的主矢量F 和主矩为0的情形 将小边界上的应力边界条件应用圣维南原理来进行处理 圣维南原理的应用可以有两种方式 a 不包含原点O 则在显然这条件是满足的 即 1 在同一小边界上 使应力的主矢量和主矩 分别等于对应面力的主矢量和主矩 数值相等 方向一致 共有3个条件 2 取出包含小边界的一部分脱离体 并考虑此脱离体的平衡条件 同样也得出3个条件 本题中 由于已经将小边界上的面力简化到o点的主矢量和主矩 可以按后一种方式来处理 即取出如图部分的弹性体 考虑 由此 得出应力解答式 4 21 即 求得 当F垂直于边界时 应
20、力解答为 当应力解答为 相应的位移按下列步骤求出 2 代入几何方程 位移 相应的直角坐标系中的应力 如书中式 4 24 所示 1 由物理方程求形变 对第一式积分 求出 含 对第二式积分 求出 含 由对称条件 代入第三式 分开变量 求出和 得 3 求刚体位移H I K x向无约束条件 I不能确定 因刚体位移不能确定 用相对沉陷表示 此解答用于基础梁问题 地基一般为平面应变问题 故应取 4 半平面体表面的沉陷 M点为 为基点 s 4 10半平面体在边界上受分布力 当半平面体表面有分布荷载作用 时 其应力和位移解答可从集中力的解答得出 F 原集中力 代之为微分集中力 作用点为 x 原表示F作用点到M的铅直距离 仍为x y 原表示F作用点到M的水平距离 应代之为 应力 式 4 24 的推广 然后对积分 从 原M点到F作用点的水平距离 代之为 s 原B点到F作用点的水平距离 代之为 然后对积分 从 相对沉陷解答的推广 F 原集中力 代之为 半平面体在边界上受有均布单位力作用 书中用上述方法 导出了基础梁计算中的公式 如点K在均布力之外 则沉陷为 若基点B取得很远 有 其中
