1、411 半平面体在边界上受集中力,例5. 图示半平面体，在边界上受集中力P作用，力与边界法线成角，取单位厚度（力沿厚度均布，量纲为“力长度-1”），建立图示坐标系,Concentrated Normal Load on a Straight Boundary,用逆解法，首先假设应力函数,分析：任一点的应力分量与P、r、有关，从量纲来看，P 力 长度-1，r 长度， 、 无量纲，所以应力分量的表达式只可能是P/rk，k为无量纲项，可由和组成，所以应力函数只能是r的一次式，即,将所设应力函数代入相容方程得：,解此方程，求得：,由此求应力分量：,根据边界条件求待定常数C，D,上述两个条件恒满足,还有
2、一组边界条件：在o点附近，有集中力P作用，其分布情况未知，但合力为P,由应力边界条件转换而来的平衡方程如下：,将r的表达式代入，求得：,应力分量的最后解答为：,当r趋近于零时， r无限大,所以上述公式的适用条件：离开o点稍远处（圣维南原理），且在弹性范围内,1、求应力分量：,将=0代入上式，得：,利用公式,将其变换成直角坐标系中的应力分量：,2、求应变分量(将应力分量代入物理方程）,3、求位移分量(利用几何方程）,求得位移分量：,所以位移分量为：,因为I未确定，所以M点的沉陷也不能确定，但我们可以求两点间的相对沉陷,M、B两点的相对沉陷为：,上述解答也称符拉芒解答,410 半平面体在边界上受分
3、布力,利用上节的应力公式和叠加原理,2、由集中力dP引起的应力（上节讨论过）,3、将集中力引起的应力叠加（积分）：,这就是分布力引起的应力,4、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷,1、取微长度dr，其上所受的力dP=dr/c可看作集中力，如图，r为微集中力到K点的距离,2、利用公式，由dP引起的沉陷为：,s为微力到沉陷基点B之间的距离,3、积分求均布力引起的沉陷,取sr，即可将s看作常数，积分得,其中：,4、求均布力中点I的沉陷：x=0,求得：,小 结,1、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，采用极坐标，极坐标与直角坐标都是正交坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教简明的转换关系，利用这种转换关系，可以很容易建立极坐标下的基本方程,2、采用极坐标时，平面问题的基本方程共有八个：,3、按应力求解平面问题，关键是要寻求应力函数（r，），使之满足相容方程,然后按公式：,所求应力分量满足边界条件和位移单值条件,5、对圆环或圆筒、应力集中问题、半平面体受集中力或分布力等问题进行了讨论,6、构造应力函数的途径：利用材料力学的结果、利用因次分析法、根据边界上应力的变化规律、利用应力函数在边界上的力学性质,
