1、,2.9 函数的应用举例,数学模型与数学建模:简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法,有一堵长为30米的墙，现有50米的篱笆，如果利用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的鸡舍,请写出鸡舍的面积S与其宽x的关系式,x,S,引申：如果在现有条件下想得到一个面积最大的鸡舍，将如何确定它的长和宽呢？,S=x(50-2x)= - 2x2+50x,定义域:,实际应用问题,矩形面积,引例,50-2x,12.5,当长为25米,宽
2、为12.5米时面积最大.,x|10x25,第一步：引入变量，抽象数量关系；,第二步：尝试建立函数关系式；,第三步：解决这个已转化成的函数问题；,第四步：将所得结论转绎成具体问题的解答.,解函数应用问题的基本步骤:,函数法,例1 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和 y随存期 x变化的函数式如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?,复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.,结论 : 在实际问题中 , 常常遇到有关平均增长率的问题 , 如果原来产值的基数为N，平均增长
3、率为 p，则对于时间 x 的总产值y，可以表示为:y=N(1+p)x,例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，写出该城市人口数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系式；试计算大约多少年后该城市人口将达到120万人?,x年后该城市人口总数为：,即 1.02x = 1.2,依题意：100(1+1.2%)x=120,解：,答：该城市人口数函数为y=100(1+1.2%)x，大约经过15年该城市人口达到120万.,y=100(1+1.2%)x,1图,例三 某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50 km/h
4、的速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表示为时间 t (h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再把车速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并画出函数的图象.,v = 50km/h,2图,返回,a-2x,练习一 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量 的函数式，并讨论这个函数的定义域,x,a,x,a-2x,a-2x,练习二 将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为 x,截面的面积为S，求面积S以 x为自变量的函数式，并写出它的定义域,d
5、,x,小 结,函数应用题的解题步骤可以用下面的框图表示:,数学模型的解,实际应用问题,数学模型,实际问题的解,作业： P88练习3，4题； P89习题2.9第1，2，3题.,阅读P90自由落体运动的数学模型预习P92实习作业建立实际问题的函数模型,例3设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y=cekx， 其中c，k为常量已知某地某天在海平面的大气压为1.01105Pa，1000m高空的大气压为0.90105Pa，求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字),例四. 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表,根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数中找到一种函数
6、,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？,根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数 来近似反映根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 来近似反映,函数拟合与预测的步骤：,在中学阶段，在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤： 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合
7、曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据,练习：某工厂今年月、2月、3月生产某种产品为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或y=abx+c（其中a、b、c为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪一个函数作为模拟函数较好？请说明理由。,
