1、1,二维随机变量的边缘 分布和条件分布,2,二维随机变量的联合分布函数,定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何一对实数( x , y ), 事件,定义了一个,二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即,(记为 ),的概率,3,二维随机变量的边缘分布函数,由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真.,4,例1 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ；求X 和Y 的边缘分布函数；求P (X 2),5,解 (1),(2),6,(3),可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念 推
2、广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘 分布函数,7,定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个, 则称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.,要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与 每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布 和边缘概率分布,8,联合概率分布(联合分布律),设( X ,Y )的所有可能的取值为,则,显然，,二维离散型随机变量的联合分布函数,9,二维离散型随机变量的边缘分布律,已知联合分布律可以求出边缘分布律；,已知边缘分布律一般不能唯一地求出联合 分布律,10,例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，每盒容纳的球数无限.
3、记 X为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的球数，求 ( X , Y ) 的联合分布律与边缘分布律；,解 联合分布律的求法：利用乘法公式,常用列表的方法给出,11,(1) 本例中，,其联合分布与边缘分布如下表所示,12,0 1 2 3,0 1 2 3,0,Pi,1,pj,13,例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律和边缘分布律.,解,见下表,14,0 1 2 3,0 1 2 3,pi,1,p j,15,本例与前例有相同的边缘分布，但它们
4、的 联合分布却不同. 故,联合分布可以唯一确定边缘分布,但边缘分布却不能唯一确定联合分布,16,二维连续型随机变量的边缘分布,定义 设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对于任意实数 x,y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数简称为联合密度或概率密度,17,边缘分布函数与边缘密度函数,与离散型随机变量相同，已知联合分布可以 求得边缘分布；反之则不能唯一确定.,18,例5 设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的联合密度为,其中k 为常数. 求,常数 k ;联合分布函数
5、 F (x,y); 边缘分布函数与边缘密度函数,19,当 0 x 1, 0 y x时(下半三角形)，,解:(3),当 x 0 或 y 0 时， F (x,y) = 0,当 0 x 1, x y 1 时(上半三角形) ，,20,当 0 x 1, y 1 时，,21,当 x 10 y 1 时，,当 x 1y 1 时，,22,23,(4),24,25,26,也可以直接由联合密度求边缘密度，再积分 求边缘分布函数。,边缘密度和边缘分布的求解,边缘密度求解： (1) 利用联合分布函数，求出边缘分布函数，再求导。(2) 对联合密度积分。通常（2）更简单。,边缘分布求解：,28,3.2 二维随机变量的 条件
6、分布, 将条件概率的概念推广到随机变量,设已知二维离散型随机变量( X ,Y )的概率分布,若,则称,为在 X = xi 的条件下，Y 的条件分布律,29,若,则称,为在 Y = yj 的条件下，X 的条件分布律,类似于乘法公式,30,类似于全概率公式,31,例6（续） 把三个球等可能地放入编号为1， 2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号 盒的 球数，求( X , Y ) 的联合分布律与边缘分布律；P (X = i | Y = 0 )与 P (Y = j | X = 2 );,联合分布律的求法：,由乘法公式,在3.1已计算过,32,由问题的意义可知,X,0 1 2 3,33,Y,0 1,34,例7 一射手进行独立射击, 已知每次他击中目标的概率为 p ( 0 p 1 ), 射击一直进行到击中两次目标为止. 令X 表示他首次击中目标所进行射击的次数, Y 表示他总共进行射击的次数. 求 X 和 Y 的联合分布律、条件分布律和边缘分布律.,解, 第n 次击中目标，前 n 1 次恰有一次击中目标,故联合分布律为,35,边缘分布律为,36,条件分布律为,对每个n,对每个m,37,作 业,习题三 10， 11， 12,
