1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 刘劲松 第七讲 厄密算符的本征值与本征函数 角动量的本征值与本征函数,2,第七讲目录,一、厄密算符回顾 二、厄密算符的本征值与本征函数 三、角动量的本征值与本征函数 习题,3,一、 厄密算符回顾（1）,1、转置算符 则 2、共轭算符3、厄密共轭算符,4,一、 厄密算符回顾（2）,4、厄密算符5、厄密算符的平均值 定理：厄密算符的平均值为实数。,5,一、厄密算符回顾（3）,推论：厄密算符平方的平均值大于等于零,6,二、 厄密算符的本征值与本征函数（1）,（一）本征函数（本征态）,7,二、 厄密算符的本征值与本征函数（2）,(二)本征值,8,二、 厄密算符的本征
2、值与本征函数（3）,定理1：厄密算符的本征值必为实数。,9,二、 厄密算符的本征值与本征函数（4）,定理2：厄密算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。即证,10,11,二、 厄密算符的本征值与本征函数（5）,正交归一化的表示,12,三、角动量的本征值与本征函数（1）,角动量及其算符(1),13,三、角动量的本征值与本征函数（2）,角动量及其算符(2),14,直角坐标与球坐标的变换关系,这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f (r, , ) （
3、其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,15,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,16,例1：角动量z分量的本征值与本征函数(1),三、角动量的本征值与本征函数（3）,17,三、角动量的本征值与本征函数（4）,例1：角动量z分量的本征值与本征函数(2),18,三、角动量的本征值与本征函数（5）,19,三、角动量的本征值与本征函数（6）,例2：平面转子的本征值与本征函数,20,三、角动量的本征值与本征函数（7）,21,三、角动量的本征值与本征函数（8）,例3：动量x分量的本征值与本征函数,22,三、角动量的本征值与本征函数（9）,例4：一维自由粒子的能量本征态,23,习题(1),在第5讲：一维势场中粒子能量本征态的一般性质中讲到：,24,习题(2),25,习题(3),
