1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 刘劲松,第三讲 力学量的平均值算符薛定格方程量子力学中的基本假设,2,第三讲目录,一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定格方程 五、量子力学的基本假设,3,一、简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点,能量量子化，基于此，推出了Planck公式，解释了黑体辐射现象； 波粒二象性: 认为任何粒子都具有粒子和波动二重性。其中的波动，称为物质波，满足德布罗意公式： =E/h，= h /p 测不准原理（不确定度关系）: 认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。,4,为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首
2、先做了以下工作。（1）,1、自由粒子的波函数既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述。由平面波公式借助德布罗意公式：=E/h，= h /p和 得到也可以写作,5,2、任意粒子的波函数可以看作无限多个平面波的叠加,6,为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作。（2）,3、该如何理解波函数的物理意义？为此，人们提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物理意义的一种理解。基于此，应该是表示 粒子出现在点(x,y,z)附件概率大小的一个量。由此要求波函数必须满足以下性质1）可积性；2）归一化3）单值性；4）连续性,7,为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先
3、做了以下工作。（3）,4、不确定度关系与力学量的平均值通过举例得到， 由此得知一般情况下x和p不能完全确定。这样可以提出一个问题: x和p的平均值可否确定？,由此引申出：力学量的平均值,8,二、力学量的平均值(1),既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如 的平均值 ，由概率论，有又如，势能V是 的函数： ，其平均值由概率论，可表示为,9,二、力学量的平均值(2),再如，动量 的平均值为：对比 和 提出两个问题： 1、为什么不能写成 2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？,由此引申出量子力学中特有的概念： 力学量的算符,10,三、力学量用算符表示(1),当算
4、符 作用到平面波波函数 上，有,11,三、力学量用算符表示(2),动量的平均值,以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为,12,三、力学量用算符表示(3),动量的平均值， 用以动量为自变量的波函数表示用以坐标为自变量的波函数表示其中， 为动量 的算符， 即：动量算符,13,三、力学量用算符表示(4),动能 ，动能算符动能平均值角动量 ，角动量算符角动量平均值,14,三、力学量用算符表示(5),力学量 的平均值为其中， 为力学量 的算符。 问题：坐标 的平均值可否表示为可以，其中,15,三、力学量用算符表示 (6),描述粒子一般状态的波函数，可以由平面波的叠加来表示对这个波函数关于时间做偏微商，
5、有因此，,能量算符,利用能量算符，可以从形式上给出量子力学中的基本方程：薛定格方程,16,四、薛定格方程（1）,粒子的能量 两边同乘粒子的波函数得到薛定格方程,量子力学的基本假设之一：波函数的 时空演化满足薛定格方程,17,连续性方程 薛定格方程的推论,薛定格方程 （1） 由 ，得令得到连续性方程,四、薛定格方程（2）,概率密度,概率(粒子)流密度,18,四、薛定格方程（3） 概率守恒定律,由 有高斯定理有左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时间内的增量。 右边表示单位时间内通过 的封闭表面 而流入 内的粒子数。所以， 表示粒子流密度。,19,四、薛定格方程（4） 能量本征方程,薛定格方
6、程 若 不显含 ，则可令 ，有因此，有 和因此， 满足的方程 称为能量本征方程 ， 称为能量本征函数， 称为能量本征值,20,本征方程,数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中,对方程 算符 被称为哈密顿算符， 因为本征值E具有能量的量纲，故此方程被之为能量本征方程， 被称为能量本征函数， E被称为能量本征值。,21,五、量子力学的基本假设（1）,1、微观粒子的状态由波函数 描写。 2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。,22,五、量子力学的基本假设（2）,1、微观粒子的状态由波函数 描写。 2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程,23,五、量子力学的基本假设（3）,1、微观粒子的状态由波函数 描写。 2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程。 5、态叠加原理。由此构成量子力学的公理体系,
