1、第四章 随机变量的数字特征第三部分1. (方案的决定)某城市流行某种疾病，患者约占 10，为开展防治工作，要对全城居民验血。现有两种方案：（1）逐个化验；（2）将 4 个人并为一组，混合化验。如果合格，则 4 个人只要化验一次；若发现有问题再对这组 4 个人逐个化验一次，恭化验 5 次，文这两种方案哪一种为好？（例题、数学期望）解：所谓方案好坏，在这里指的是化验次数的多少。这个问题的解决可以用两种方法来解决。为计算方便，设该城居民有 人，其中患者占 人，对方案（1），显然要化验 次。因此下面只考虑方案（2）的化验的次数。解法一：不使用概率的方法来解决。可以这样来设想，即从最坏处着想，在分组时，
2、每一组至多有一个患者，于是 人共分为 组，每组化验一次，共需化验 次；但其中有 组正好各有一个患者，因此每组需多化验 4 次，共需多化验 次。故总的化验次数为即方案（2）至多化验 次，故方案（2）为佳。解法二：使用概率的方法来解决。既不是从最坏处着想，也不是从最好处考虑，而是考虑平均的次数，也就是考虑化验次数的数学期望。因此，首先要提出一个随机变量 来描述这个问题。设 表示每组的化验次数，由于分组是随机的，所以每组的化验的次数是一个随机变量，且具有相同的分布律。令 表示总的化验次数。显然，某组 4 人中均无患者，此时只需要化验一次，故 。它的概率为，当 很大时，近似地有 。若化验不合格，则总共
3、需要化验 5 次，即 ，其概率为 ，于是 的概率分布为 ，从而每组化验次数的数学期望为 。于是对方案（2），化验次数的数学期望为。可见方案（2）优于方案（1），平均地来看，方案（2）的化验次数仅约为方案（1）的 60。2. （电梯问题） 个人在一楼进入电梯，楼上有 层。设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止时，电梯需停次数的数学期望。（例题、数学期望）解：定义随机变量 表示电梯在第 层停的次数，即注意到，每个人在任何一层出电梯的概率均为 。若 个人同时不在第 层出电梯，那末电梯在该层就不停，而此时的概率为 ，故 。这样，电梯需停的总次数 ，故其数学期望为。电梯问题有
4、它的实际意义，曾经有人把它联系到热力学和宇宙射线计数器上去。但是，重要的是它的反问题你电梯问题，即在一个有 层楼（不计一楼）的房子中，假定我们从指示灯观察到电梯停止了 次，且如果每个人以等概率在任一层出电梯，那么关于在一楼进入电梯的乘客人数 ，我们可以做怎样的猜想，这是一个很有趣的问题。（有奖储蓄问题）在 10 万张有奖有息存款单中有各种奖如表所列，共 2114个奖，每年 2 月、5 月、8 月、11 月个开奖一次，假定开各种奖是独立的，问：（1）买一张存单，在一次开奖中能得 825 元奖金的概率多大？（2）买一张存单，其中奖概率是多大？解：（1）如果某人买一张存单，而他的“运气”特别好，各种
5、奖都“中”了，就得奖金 825 元。比如说，此存单号码为 90432，某次开奖时，头奖号码 90432，副头奖号码也是 90432，二等奖号码 0342，三等奖号码 342，四奖号码 42，这样此人得奖金 500200100205825（元）。为方便设表中得代号就是中相应奖得事件，于是 ， ， ， ， 。由于开各种奖是独立的，于是买一张存单中奖 825 元的概率为 。可见这个概率非常之小，大约一千亿亿次才能遇到一次。 （2）用 表示中奖事件，则 ，注意到 是相容事件，所以应该利用广义加法来计算，但是这样计算过于复杂。因此，我们改用对立事件来计算。于是有， 这便是买一张存单在一次开奖中，“中奖”
6、的概率，而“不中将”的概率为3. （试验的期望次数）设一个试验有 个等可能的结局，求至少一个结局接连发生 次的独立试验的期望次数。（例题、数学期望、试验的期望次数）解：显然独立是啊一年的次数 是随机变量， 的取值为 。如果我们把“至少一个结局接连发生 次”这一事件所需要的试验次数 ，一一写出来，然后相应求出 的概率，那是相当困难的。于是，迫使人们不得不想别的办法，下面用递推方法来解决这一问题，避免了求概率的困难，是求数学期望的一个很巧妙的方法。设 是所求的数学期望，即 。那么 就是表示“至少一个结局接连发生 次”时所需试验次数的数学期望。但是注意到“至少一个结局发生 次”的事件与“至少一个结局
7、接连发生 次”事件有这样的关系：在“至少一个结局接连发生 次”的条件下，或者继续试验一次，该结局又发生了，这便导致“该结局接连发生 次”，其概率为 ；或者继续试验一次，该结局不发生了（其概率为 ），而是另外结局发生了，这样要做到至少一个结局连续发生 次，就等于从头做起一样，它的期望次数是 。综合上述分析得到：即 。注意到 ，故由递推关系最后得到试验次数的数学期望为 .4. （组织多少货源才能使国家收益最大）假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）。它服从 上的均匀分布。设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇 3 万元，但假如销售步不出而囤积于仓库，则每吨需花费保养费
8、用 1 万元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益最大。（例题、数学期望、最大收益）解：每年需要出口的商品数量是一随机变量 ，若以 记某年预备出口的该种商品量，按题意，只要考虑 的情况，则国家的收益（单位：万元）是随机变量 的函数，仍是一个随机变量记为 ，则有由于 是一随机变量，因此，题中所指的国家收益最大理解为收益的均值最大，因而来求 的均值由于 。此式当 时取得最大值。因此组织 3500 吨这种商品，能使国家所得的收益均值最大。5. （胸透问题）假定在排队等待胸透的 50 任人中间有 4 个阳性患者。试求在发现第一个阳性患者之前已检查的阴性患者的期望个数何方差。（例题、期望、方差、01 分
9、布）解：设将阴性反应的人编号为 。引入服从 01 分布的随机变量 如下：。注意到 为同分布的，则 为在第一个阳性反应者之前已检查的阴性反应者的人数。所以 6. 有五个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度函数为 ，其中 。（1）若将这 5 个电子装置串联组成整机，求整机寿命 的数学期望。（2）若将这 5 个电子装置并联工作组成整机，求整机寿命 的数学期望。（例题、期望、串联、并联、可靠性）分析：5 个电子串联时，寿命由 5 个电子元件中寿命最短的决定，而并联时由寿命最长决定。因此，可以利用 Max、Min 型随机变量来计算。解：由指数分布的性质知， 的分布函数为 （
10、1）令 的分布函数为因而 的概率密度为，从而 的数学期望为（2）令 的分布函数为，因而 的密度函数为，所以 的数学期望为。由此，我们得到 ，这就是说，5 个电子装置并联联接工作的平均寿命时串联联接工作平均寿命的 11.4 倍。7. 设 与 在园域 上服从均匀分布。（1）求 ， ， ， 。（2）求 ；（3）问 是否相关，是否独立？（例题、期望、方差、相关系数、独立性、相关性、均匀分布）分析：期望、方差、相关系数可由定义来计算，独立性的判断需要利用边缘密度函数。解：（1） 有联合密度函数 故当 时，有 ，即， ，同理， 所以， （因为被积函数是奇函数，所以在关于原点对称的区间上积分为零）于是 。同
11、理， 。（2） ,于是， ，从而 。（3）因为 ，从而 与 不相关。又在区域 内， ，所以 与 不独立。8. 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，求 的数学期望与方差。（例题、数学期望、方差、二维随机变量）分析：可以把 看作 与 的函数，利用随机变量函数期望的解法得到 和 。解：区域 如下图：有密度函数 ，所以9. 设 有概率密度 ，已知 ，求 及 。（例题、期望、参数）分析：密度函数中有两个未知数，因此需要两个条件来确定它，利用密度函数的性质和期望值可以确定这些参数。解：因为 ；又 ；求得， 。10. 设的分布律为求 ；（2）证明 与 不相关，不独立。（例题、二维离散型、期望、方差、独立
12、性、相关）分析：数字特征可由定义得到，要判断独立性，只需验证联合密度是否等于边缘密度的乘积。解：（1）由二维分布律可以得到关于 和关于 的边缘分布律：， ，所以， ；， ，从而有 ， 。（2） ，故 ，从而相关系数 ，所以 与 不相关。但是， ，而 ，因此 ，故 不独立。11. 设 有密度函数 ，已知 , ,求常数 。（例题、期望、方差、参数确定）分析：利用期望和方差的定义以及密度函数的性质给出带有参数的表达式，然后求解。解：由密度函数的性质有： ；（1）由期望的定义有： ；（2）由方差的定义有： ，而；故 （3）解方程（1）、（2）、（3）得到 。12. 将 个球放入 各盒子中，设每个球落入
13、各个盒子是等可能的，求有球盒子数 的期望。（例题、期望、二项分布、0 1 分布）分析：对每个盒子只有两种会发生：即盒中有球和盒中无球，所以可以用一个随机变量 来表示这两种情况。而有球盒子数可由 得到。解：设 ， （这是一个 01 分布），则有球的盒子数 显然课表为 且 ，故当 时，有 ，所以 。又根据期望的线性性可知，。13. 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若取出的废品不再放回去。求在取得合格品以前取出的废品数的数学期望、方差、标准差。（例题、期望、方差、古典概率）分析：求解这类问题，必须首先得到随机变量的分布律或密度函数，而上题显然是一个古典概率
14、的问题。解：由于一批零件只有 3 件废品，所以在取得正品前最多只有 4 种情况会发生：（1）没有取得废品，直接取得正品；（2）在取得正品前取得 1 件废品；（3）在取得正品之前取得 2 件废品；（4）在取得正品之前取得 3 件废品。设 表示取得的废品数，可以计算得到 ； ； ； ，故得到 的分布律 。期望： ；方差： ；标准差： 。14. 设 有密度函数 ，求 与 。（例题、期望、方差连续型）分析：直接使用期望和方差的定义，注意积分的分段表达。解：；。15. 设随机变量 ，令 ， ，求 。（例题，相关系数）分析：由于 分别是随机变量的函数，所以可以利用随机变量函数的期望和方差的求法得到相关的数
15、据。解：由于 ，所以 ,从而， 。故 ；同理， ， ，故 ；。于是 ，于是 。16. 求泊松分布 的三阶原点矩与三阶中心矩。（例题、泊松分布、原点矩、中心矩）分析：直接根据定义计算。解：设 ，则 有分布律 ，于是， ； 。由公式可知 。17. 设随机变量 ， ， ，且相互独立，设（1） ，求 ；（2） ，求 。（例题，随机变量的函数、期望、方差）分析：由于随机变量是相互独立的，所以问题的求解十分容易。解： 的期望和方差都是已知的，这可以通过查表得到。， ； ， ；， 。根据独立性，有18. 设 在区域 上均匀分布，求（1） ；（2） ；（3） 及 ；（4）问 与 是否独立，是否相关？解：区域 的图形如下：由于 在 上均匀分布，所以联合密度函数为 ，利用联合密度函数课求得边缘密度： ， ； 。于是，（1） ， 。（1） 由于 ，得到 。又 ，得到 （3）于是， （4）由于 ，所以 与 负相关。由于 ，故 与 不独立。19. 设 ， 且 ，又设 。（1）求 ；（2）求 。（例题、相关系数、期望方差、正态分布）分析：直接利用性质和定义计算。解：由于 都服从正态分布，所以易知 ， ； ， 。由相关系数的定义知， ，于是，（1） ；。（2）由得 。
