1、10 03 随机变量的数字特征1、概念网络图 切 比 雪 夫 不 等 式矩方 差期 望一 维 随 机 变 量 协 方 差 矩 阵相 关 系 数协 方 差方 差期 望二 维 随 机 变 量第四章一、 数学期望（一）一维随机变量1.离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量 的分布律为X,21ipxPii若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量 的数学期望（简称期望或1iip1iixX均2、连续型随机变量的数学期望定义：设连续型随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称积分X)(xfdxf)(的值为随机变量 的数学期望，记为 ，即： =dxf)( XEdxf)(（二）二维随机变量的数学
2、期望对二维随机变量 .，定义它的数学期望为),(Y ).,(),(Y1.二维离散型随机变量的数学期望设二维离散型随机变量 的联合分布律为：),(X21,jipyYxXPji则 = = ， = =)(XE1iipx1ijjpx)(YE1jjpy1iijjpy2. 二维连续型随机变量的数学期望设二维连续型随机变量 的概率密度为 ，则),(YX),(xf= = ， = =)(XEdxf)dyf),(YEdyfY)(y,（三）随机变量的函数的数学期望1.离散型随机变量的函数的数学期望设离散型随机变量 的分布律为 ， 是实值连续函X,21,ipxXPi )(xg数，且级数 绝对收敛，则随机变量函数 的数
3、学期望为1)(iipxg)(gXE.1)(ii2. 连续型随机变量的函数的数学期望设连续型随机变量 的概率密度为 ， 是实值连续函数，且广义积分X)(xfg绝对收敛，则随机变量函数 的数学期望为dxfg)( )X)(XgE.（四）数学期望的性质：（1） 设 是常数，则有CCE)(（2） 设 是一个随机变量， 是常数，则有 .X )()(XCE（3） 设 是两个随机变量，则有 .（可推广到 维）Y, YYXn（4） 设 是两个独立的随机变量，则有 )()(二、方差1.定义式：D(X)=EX-E(X) 2，标准差： )()(XD离散型： kkpXExXD)()(连续型： dxf22.方差常用计算公
4、式.22)(XEDX3. 方差的性质（1）设 是常数，则有 ，C0)(C)(XD（2）设 是一个随机变量， 是常数，则有 .2C（3）设 是两个相互独立的随机变量，则有 .YX, )()(YY（可推广到 维）n一般地，设 是任意两个随机变量，则有, ),cov(2)()( XDXD（4） =0 的充分必要条件是 一概率 1 取常数 ，即 ，显然，这里)(DXC1PXEC期望 方差0-1 分布 ),1(pBp )1(p二项分布 nnp n泊松分布 )(P几何分布 pGp121p超几何分布 ),(NMnH 1NnMn均匀分布 ),(baU2ba12)(ab指数分布 e1正态分布 ),(2N2分 布
5、2n 2n常见分布的期望和方差t 分布 0 (n2)2n三、协方差1.定义 1： 称为随机变量 的协方差记为 ，EYXYX, ),cov(YX即 =),cov( 2.协方差的常用公式：=),(Y)()(Y（按定义展开即得）3.协方差的性质（1） ；)(,cov(XD（2） = ；)Y,c（3） = 为任意常数；,c(babaY,)ov(（4） = + ；)ov21Xc1),cov(2YX（5）如果 是相互独立的，则 =0。Y,四、相关系数1.定义 2：设随机变量 的数学期望与方差都存在，称 为随机变量X, )(,covYDXxy的相关系数。YX,2.相关系数的性质：（1） xy（2） 的充分必
6、要条件为，存在常数 使得 。ba, 1baXYP当 ，称 与 不相关；当 时，称 X 与 Y 完全相关：0xyXY1xy1)(baP完全相关 ，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当 )0(a五、矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk), k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即， k=1,2, )(kkXE六、二维正态分布及其边缘分布1.定义：若二维连续随机变量 的联合概率密度为：),(Y),( )()(2)(1(2exp12),( 2
7、2112 y yxxyxf 其中 都是常数，且 ，,21 0,21，2我们称 为服从参数为 的二维正态分布记为),(YX,21 ),21N2.说明：参数 分别是 和 的数学期望，参数 分别是它们的标准差，参数 是21,Y21,它们的相关系数。3. 二维正态分布的边缘概率密度 xexfxX,2)(21)(yyfyY,)(2)(4. 二维正态分布的联合概率密度与边缘概率密度的关系二维随机变量 服从二维正态分布，则随机变量 和 相互独立的充分必要条),(XXY件是 。即二维正态随机变量 ， 和 不相关与 和 相互独立是等价的。0),(Y常见题型1、一维随机变量及其函数的数字特征1. 设随机变量 X
8、的概率密度为.x,cxf 其 他 ；）（ 022试求：（1）常数 c；（2）E（X） ，D （X） ；（3）P|X-E（X）| 0. 试求 U，V 的相关系数 。UV7. （01，3 分） 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上或反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（A） -1 （B）0（C） （D）1218.今有两封信欲投入编号为 I、II、III 的 3 个邮筒，设 X，Y 分别表示投入第 I 号和第 II号邮箱的信的数目，试求（1） （X，Y）的联合分布；（2）X 与 Y 是否独立；（3）令 U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求 E（U）和 E
9、（V） 。9.假设二维随机变量（X，Y）在矩形 G=（X,Y）|0x2, 0y1上服从均匀分布，记;,1,0YU.2,1,0YXV（1） 求 U 和 V 的联合分布；（2）求 U 和 V 的相关系数 .10.（98，7 分） 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件。现从中随机抽取一件，记 )3,21(0,1iiXi其 他 等 品若 抽 到试求：（1） （ X1， X2）的联合分布；（2） （ X1， X2）的相关系数 。3、独立和不相关11.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，3 2）和 N（0，4 2） ，且 X 与 Y 的相关系数，设2
10、1XY.23Z（1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2）求 X 与 Z 的相关系数 ；（3）XZ问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？12设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 。)(2xeXE13.（93，6 分） 设随机变量 X 的概率密度为xexfx,21)(|（1） 求 EX 和 DX；（2）求 X 与| X|的协方差，并问 X 与| X|是否不相关？（2） 问 X 与| X|是否相互独立？为什么？14.如果 X 与 Y 满足 D（X+y）=D（X-Y） ，则必有（A）X 与 Y 独立。 （B）X 与 Y 不相关。（C）D（Y）=0。 （D）D(X)D(Y)=0.15.设 A，B 是二随机事件，随机变量,1否 则 出 现若X.,1,否 则 出 现若Y证明 X,Y 不相关与 A,B 独立互为充分且必要条件。4、应用题16.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量 X 盒，它服从区间200 ，400上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得 1 元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔 3 元。问小店应组织多少货源，才能使平均利润最大？
