1、,12-1 弹塑性力学中的边值问题 12-2 梁的纯弯曲 12-3 梁的横力弯曲,第12章 梁的弹塑性弯曲,12-1 弹塑性力学中的边值问题,塑性本构关系有全量和增量两种理论，这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 ，在应力边界 上给定面力 ，在位移边界 上给定 ，要求物体内部各点的应力 、应变 、位移 。确定这些未知量的基本方程组有： 1）2）,3） ，4）5）求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。,将 代入用位移表示的平衡 微分方程得： 其中或在弹
2、性状态时，上式右端等于零，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求精度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。,增量理论的边值问题及解法 设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的 ，求在此基础上，给定体力增量 、 上面力增量 、 上位移增量 时，物体内部各点的应力增量 、应变增量 、位移增量 。确定这些增量的基本方程组有： 1） 2）,3）本构关系（理想弹塑性材料） 弹性区塑性区4） 5）,此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。在给定加载历史
3、时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。塑性力学中比较简单的问题，包括用平衡微分方程、屈服条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题，以及屈服条件为线性的情况，求解时并不需要处理整套方程（因为其中许多方程已自动满足），需要处理的方程也可用较简单的数学方法求解属于这类问题的有纯拉伸、纯弯曲、纯扭转平面弯曲、厚壁筒和旋转圆盘等。,一、研究对象及基本假设考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制成。荷载作用在对称平面x y平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设： （1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 ； （3）、梁内各点为单向应
4、力状态，只有 ； （4）、梁的材料在拉伸和压缩时有完全相同的力学性能。,12-2 梁的纯弯曲,材料不可压缩，即取 。二、应力分布设梁受弯矩M 后产生的曲率为 ，由基本假设可知 (12-1)规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。因为梁内各点都处于单向应力状态，所以在外载比例增加的情况下，必然是简单加载，可以使用全量理论，直接建立应力与应变的物理关系。,或 所以只要求出曲率 ，即可确定梁内各点的应力。 三、 的关系 由截面上的力的合成得：(12-2) 上式建立了曲率 与弯矩 之间的关系。给定 可求出相应的 ，但给定 反求 时，须视 的形式，如 形式不是十分简单，则给定 不易求 。可通过绘 曲线来求。确
5、定 关系是解决梁弯曲问题的关键。,四、理想弹塑性材料梁对于理想弹塑性材料，其应力应变关系如下表示：当弯矩超过一定大小，使得梁截面上一部分区域进入塑性之后，梁截面上的应力分布如图。 是塑性区的边缘到中性轴的距离。以 代入（5-1）得:,(12-3)得(12-4)其中 是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。 是截面 一块塑,性区对中性轴的静矩。 五、梁的变形及挠度 在弹性区 梁的位移分量为 梁的应变分量为满足应变协调方程 。在弹性区的边界处 ，由,所以梁轴的挠曲方程为故如梁的横截面是高为h 、宽为b 的矩形，则,令 即得梁刚开始产生塑性变形时的弯矩最大弹性弯矩 。即得梁截面全部进入塑性状态时的弯矩塑性极
6、限矩 。,令和 相应的梁的曲率半径为 ，此时即得这是梁屈服以后曲率半径和弯矩的关系。 屈服前为,求 的显式为：给定 可求得相应的 ，然后可求得梁截面上的应力分布。同样可以得 的关系,六、幂次强化材料设梁的材料为幂次强化材料，其单向拉压时的应力-应变关系服从幂规律式中B和n为常数，由实验测定， 。单拉时,式中 ，为截面的一种几何性质（n=1时，即为惯性矩）给定 即可求出 ，从而可求得应变和应力分布。 对于矩形截面梁，宽为 （高为 ）。,可得应力分布为：弹性状态及理想塑性极限状态都是幂次强化的特例。（ 为线弹性关系， 即为理想塑性极限状态） 七、线性强化材料梁设梁的材料为线性强化，其单向拉伸时的应
7、力-应变关系为：,则梁的应力为,那么上式的适用范围是 对宽为 (高为 )的矩形截面,一、研究对象及基本假设 考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制成。荷载作用在对称平面xy平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设： （1）、平截面假设； （2）、小变形，挠度 ； （3）、各层间相互挤压不计； （4）、长度远大于横向尺寸，因而 。 材料不可压缩，即取 。,12-3 横力弯曲,梁的位移分量为： 梁的应变分量为：满足应变协调方程 。梁的纵向纤维是受简单拉伸或压缩。在弯矩M增长时，每一单元体的加载显然都是简单加载，故可以用全量理论求解。 二、本构方程在本构方程中忽略次要应力（即挤压
8、应力 和横向剪应力 ）的影响，材料处于轴向应力的单向拉压状态。对于理想弹塑性,材料，应力应变关系为其中， 为屈服应变，即应力刚达到屈服应力 时的应变。 三、平衡微分方程（不计体力）略在 求出后，挤压应力 和横向剪应力 可以根据上述方程求出。,四、内力和应力分量由假设，有 ， 满足平衡微分方程及物理方程。作用在横截面上的内力有：弯矩M和剪力 分别为（ 纯弯、 横力弯曲）要求截面上的应力分布，还必须借助于变形条件。由于平面假设，当梁处于纯弹性时,当梁产生塑性变形时，由上面的假设，Mises屈服条件为可以证明塑性区 ，故屈服条件为五、横截面上的弯矩和弹塑性区的关系由于材料是各项同性的，截面又是对称的
9、，故随着M的增加， 也在增加。塑性变形是由梁截面边缘对称地向内部发展的。当最外层纤维上的应力达到 时梁就进入塑性阶,段。在梁的横截面上弹性区和塑性区是共存的。在弹性区应力按线性分布，在塑性区按上式分布。两者交界处，正应力正好等于 。当材料是理想弹塑性材料时，则 ，继续增加弯矩，截面上的应力分布分成三个区域，即：,其中 是塑性区边缘到对称轴的距离。随着各截面的弯矩的不同， 也不同，因此 是的函数，即 。当 时，该截面全部进入塑性状态。现在进一步考察 与M的关系。 时，即最外层纤维刚开始屈服，这时的弯矩,称为最大弹性弯矩或弹性极限弯矩 。当 时，整个截面都进入塑性状态，在忽略掉剪应力影响的情况下，
10、这时的弯矩称为极限弯矩 。式中 ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩。，是截面 一块塑性区对中性轴的静矩。,如梁的横截面是高为h 、宽为b 的矩形，则 ， ， 四、受有均布荷载的矩形截面简支梁的弹塑性区域的分布如是受有均布荷载的矩形截面简支梁，材料仍然是理想弹塑性材料（Mises）。,整理后为： 这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线为双曲线。设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 ，则 即为在弯矩最大的截面( 处)刚开始进入塑性即 时的值，它可由上式得：,五、极限荷载当 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构，进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这时的 称为极限荷载，用 表示。且 。在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的荷载，在目前的情形就是极限荷载 。在许用应力的设计中，只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，也即最大荷载是 。但是当梁中有,一小部分进入塑性状态时，梁的挠度仍受中间弹性区的限制，不会过分增大，梁上荷载还可以增加，理论上可以达到 ，也即增加50%。这样可以充分发挥材料的潜力，节省材料和更合理地使用材料。但梁是否会因变形过大而影响使用？ 六、梁的挠度进一步的研究表明，当荷载 时，也就是在约束塑性变形阶段，梁的最大挠度小于弹性最大挠度的两倍，梁的挠度仍然属于弹性量级。,
