1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 3402解 (下一步 r 2(2)r1 r3(3)r1 )1 (下一步 r 2(1) r3(2) ) 03 (下一步 r 3r2 )12 (下一步 r 33 )0 (下一步 r 23r3 )12 (下一步 r 1(2)r2 r1r3 )0 1(2) 74032解 (下一步 r 22(3)r1 r3(2)r1 )174032 (下一步 r 3r2 r13r2 ) (下一步 r 12 )012 35(3) 124301解 (下一步 r 23r1 r32r1 r43r1 )5 (下一步 r 2(4) r3(3) r4(5) )
2、105063841 (下一步 r 13r2 r3r2 r4r2 )2 001(4) 34720831解 (下一步 r 12r2 r33r2 r42r2 ) (下一步 r 22r1 r38r1 r47r1 )1870942 (下一步 r 1r2 r2(1) r4r3 )4 (下一步 r 2r3 )012 432 设 求 A 987652101A解 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵 E(1 2(1) 其逆矩阵是10E(1 2(1) 10987654321A 2103 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 (1) 251解 031024 12/ 2/973 2/0/067
3、故逆矩阵为 213(2) 103解 102103 594 20143201 6 102310 64故逆矩阵为 10234 (1)设 求 X 使 AXBA23B解 因为 132 4) ,(BA412350 r所以 4501X(2)设 求 X 使 XAB32A132B解 考虑 ATXTBT 因为 1410) ,( 41072 r所以 72)(TT从而 411BAX5 设 AX 2XA 求 X 0解 原方程化为(A 2E)X A 因为101 , 0所以 1)2(1AEX6 在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r1 阶子式? 有没有等于 0 的 r 阶子式? 解 在秩是 r 的矩阵中 可能存在等
4、于 0 的 r1 阶子式 也可能存在等于0 的 r 阶子式 例如 R(A)3 01A是等于 0 的 2 阶子式 是等于 0 的 3 阶子式 7 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎样?解 R(A)R(B) 这是因为 B 的非零子式必是 A 的非零子式 故 A 的秩不会小于 B 的秩 8 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)解 用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角矩阵 01此矩阵的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 (1) ;4310解 (下一步 r
5、 1r2 )43120 (下一步 r 23r1 r3r1 ) (下一步 r 3r2 )564012 矩阵的 是一个最高阶非零子式2秩 为 413(2) 8507解 (下一步 r 1r2 r22r1 r37r1 )13223 (下一步 r 33r2 )57094 013矩阵的秩是 2 是一个最高阶非零子式7(3) 0231857解 (下一步 r 12r4 r22r4 r33r4 ) (下一步 r 23r1 r32r1 )023140567 (下一步 r 216r4 r316r2 ) 02317 7矩阵的秩为 3 是一个最高阶非零子式 0285010 设 A、B 都是 mn 矩阵 证明 AB 的充
6、分必要条件是 R(A)R(B) 证明 根据定理 3 必要性是成立的 充分性 设 R(A)R(B) 则 A 与 B 的标准形是相同的 设 A 与 B 的标准形为 D 则有AD DB由等价关系的传递性 有 AB 11 设 问 k 为何值 可使321k(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 k)2(10kkr(1)当 k1 时 R(A )1 (2)当 k2 且 k1 时 R(A)2 (3)当 k1 且 k2 时 R(A)3 12 求解下列齐次线性方程组:(1) 022431xx解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 3/1于是 43241x故方程组的解为(k 为任意常数) 134
7、21x(2) 050564321x解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 12于是 432410x故方程组的解为(k1 k2为任意常数) 021432kx(3) 07265431431xx解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 74216510于是 04321x故方程组的解为 04321x(4) 327016754141xx解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 3127645017293于是 434231709x故方程组的解为(k1 k2为任意常数) 073192432kx13 求解下列非齐次线性方程组:(1) 8311024x解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 04603418
8、于是 R(A)2 而 R(B)3 故方程组无解 (2) 694185zyx解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 69143285021于是 zyx即 (k 为任意常数) 021k(3) 124wzyx解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 1240012/于是 0wzyx即 (k1 k2为任意常数)012kzyx(4) 25342wzyx解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 141007/59/61于是 wzyx7596即 (k1 k2为任意常数 )0756901752kzyx14 写出一个以104231cx为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得 104231432cx与此等价地
9、可以写成 24132cx或 43或 021x这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时 非齐次线性方程组2321x(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解?解 21B 2)1()2(10r(1)要使方程组有唯一解 必须 R(A)3 因此当 1 且 2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解 必须 R(A)R(B) 故(1)(2)0 (1)(1)20 因此 2 时 方程组无解 (3)要使方程组有有无穷多个解 必须 R(A)R(B)3 故(1)(2)0 (1)(1)20 因此当 1 时 方程组有无穷多个解.16 非齐次线性方程组 2321x当 取何值时有解？并求出它的解 解 21
10、B)2(10要使方程组有解 必须(1 )(2)0 即 1 2 当 1 时 21B方程组解为或 321x321x即 (k 为任意常数) 0321当 2 时 412B01方程组解为或 231x31x即 (k 为任意常数)032117 设 1)5(422)(31xx问 为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解 解 B 15422 )4()0(10要使方程组有唯一解 必须 R(A)R(B)3 即必须(1)(10)0所以当 1 且 10 时 方程组有唯一解.要使方程组无解 必须 R(A)R(B) 即必须(1)(10)0 且(1 )(4)0 所以当 10 时 方程组无解.要使方
11、程组有无穷多解 必须 R(A)R(B)3 即必须(1)(10)0 且(1 )(4)0 所以当 1 时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B 2方程组的解为3321 x或 (k1 k2为任意常数)02132k18 证明 R(A)1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT 使 AabT 证明 必要性 由 R(A)1 知 A 的标准形为 )0, 0即存在可逆矩阵 P 和 Q 使 或 )0, 1(PAQ11)0 ,(QPA令 bT(1 0 0)Q1 则 a 是非零列向量 bT是非零行向量 1a且 AabT 充分性 因为 a 与 bT是都是非零向量 所以 A 是非零矩阵 从而 R(A)1
12、因为1R(A)R(abT)minR(a) R(bT)min1 11 所以 R(A)119 设 A 为 mn 矩阵 证明(1)方程 AXEm有解的充分必要条件是 R(A)m 证明 由定理 7 方程 AXEm有解的充分必要条件是R(A)R(A Em)而| Em|是矩阵 (A Em)的最高阶非零子式 故 R(A)R(A Em)m 因此 方程AXEm有解的充分必要条件是 R(A)m (2)方程 YAEn有解的充分必要条件是 R(A)n 证明 注意 方程 YAEn有解的充分必要条件是 ATYTEn有解 由(1) ATYTEn有解的充分必要条件是 R(AT)n 因此，方程 YAEn有解的充分必要条件是 R(A)R(AT)n20 设 A 为 mn 矩阵 证明 若 AXAY 且 R(A)n 则 XY证明 由 AXAY 得 A(XY)O 因为 R(A)n 由定理 9 方程 A(XY)O只有零解 即 XYO 也就是 XY
