1、第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换 321325yx求从变量 x1 x2 x3到变量 y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 213215yx故 3121xy 3214769y 321347692 已知两个线性变换 32135yx321z求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知21321540yx 3210543z 31609z所以有 321326094zxz3 设 求 3AB2A 及 ATB A15042B解 1132 29407309658 658121BAT4 计算下列乘积 (1) 70532解 174102753)(44965(2) 23)(解 (132231
2、)(10) 1)(3) )(32解 )21(323)(164(4) 04解 213126587(5) 3231321)(xax解 321231321)(xax(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 21 5 设 问 312A0B(1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 648321(2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为 5 2)(29148但 3063BA27156所以(AB )2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为 510 962)(而 71
3、843182BA故(AB)(A B)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 1(2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 110则 AXAY 且 A0 但 XY 7 设 求 A2 A3 Ak 1解 102 33 10kA8 设 求 Ak 解 首先观察 012A21 32323 443406A 535451 kAkk02)1(用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， 0102)(11 kkkA 110)(2)(kkk由数学
4、归纳法原理知 kkkA02)(119 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 10 设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以(AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 ATA BTB 且(AB) TAB 所以AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 521解 |A|1 故 A1存在 因为 25*12故 |(2) co
5、sin解 |A|10 故 A1存在 因为iA cosin*21所以 |(3) 1453解 |A|20 故 A1存在 因为A 436*2311所以 *|1A176230(4) (a1a2 an 0) na021解 由对角矩阵的性质知naA 021 na102112 解下列矩阵方程 (1) 126435X解 1264538023(2) 4102解 13X0321413 582(3) 1014X解 123042 136(4) 021340X解 1 012341024313 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 35321x解 方程组可表示为 3215321x故 01321从而有 0321x(2) 53
6、21解 方程组可表示为 0132x故 5321故有 05321x14 设 AkO (k 为正整数) 证明(E A)1EAA2 Ak1 证明 因为 AkO 所以 EAkE 又因为EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且(EA)1EAA2 Ak1证明 一方面 有 E(EA)1(EA) 另一方面 由 AkO 有E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak)(EAA2 A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(E A)1 就有(EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵 A 满足 A2A
7、2EO 证明 A 及 A2E 都可逆 并求 A1及(A 2E)1 证明 由 A2A2EO 得A2A2E 即 A(AE)2E 或 由定理 2 推论知 A 可逆 且 )(1由 A2A2EO 得A2A6E4E 即(A2E)( A3E)4E 或 1)(由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 )(1)(A证明 由 A2A2EO 得 A2A2E 两端同时取行列式得|A2A|2 即 |A|AE|2 故 |A|0 所以 A 可逆 而 A2EA2 |A2E|A2|A|20 故 A2E 也可逆由 A2A2EO A(AE)2EA1A(AE)2A1E )(又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A
8、3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 16 设 A 为 3 阶矩阵 求|(2 A)15A*| |解 因为 所以*|1|25)(| 11|21|2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*) 1(A1)* 证明 由 得 A*|A|A1 所以当 A 可逆时 有|1|A*|A|n|A1|A|n10 从而 A*也可逆 因为 A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又 所以*)()|(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明 (1)若|A|0 则|
9、A*|0 (2)|A*|A|n1 证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有 A*(A*)1E 由此得AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以 A*O 这与|A*|0 矛盾，故当|A| 0 时 有|A*|0 (2)由于 则 AA*|A|E 取行列式得到|1|A|A*|A|n 若|A |0 则|A*| |A|n1 若|A |0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A *|A|n119 设 ABA2B 求 B 3解 由 ABA2E 可得(A 2E)BA 故 3210)1B120 设 且 ABEA2B 求 B 02A解 由 ABEA2B 得(AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(A
10、E) 因为 所以(AE)可逆 从而01| 2321 设 Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求 B 解 由 A*BA2BA8E 得(A*2E)BA8E B8(A*2E)1A18A(A*2E)18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14diag(2 1 2)1),(diag42diag(1 2 1) 22 已知矩阵 A 的伴随阵 8031*且 ABA1BA13E 求 B 解 由|A*|A| 38 得|A| 2 由 ABA1BA13E 得ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A*)26*( 103031623 设 P1AP 其中 求 A11 42解 由 P
11、1AP 得 APP1 所以 A11 A=P11P1.|P|3 *3而 11120故 34411A684273124 设 APP 其中 205求 (A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1*|1230120 425 设矩阵 A、B 及 AB 都可逆 证明 A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为A1(AB)B1B1A1A1B1 而 A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以 A1(AB)B1可逆 即 A1B1可逆 (A1B1)1A1(
12、AB)B11B(AB)1A 26 计算 30213012解 设 1A21B302则 21OE2A而 4530301B 92A所以 211BOE21A903425即 3030127 取 验证 DCBA| DCBA解 41021021而 |DCBA故 | 28 设 求|A 8|及 A4 2034OA解 令 1则 2A故 818O821 620| 46424125A29 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆 求(1) 1OB解 设 则 4321C AsnEOBA2143由此得 snEBCO2143124所以 AB(2) 1BCOA解 设 则4321D snEOBDCA4231由此得 snEBDCOA42311432所以 130 求下列矩阵的逆阵 (1) 250381解 设 则AB 5211 8532811于是 05038211BA(2) 412解 设 则210A43B21C 1141203BAO 412581036
